一種加權正交匹配追蹤的盲多帶信號重建方法

陳明夫， 渠剛榮， 石 磊

（北京交通大學 理學院，北京 100044）

香農采樣定理是現代通訊和信號處理的理論基礎，它將模擬信號與離散表示法連接起來[1]。對于信號，如果當時，其傅里葉變換的值為0，那么信號被稱作-帶限的。這里：t表示時間；表示實數域上的Lebesgue平方可積函數空間；表示頻率；表示一個常數。香農采樣定理說明一個-帶限的信號能夠從它所有的等步長的采樣點準確重建[2]。

本文考慮一類多帶信號，其所有的頻帶都是連續的區間段，且組合一起分布在一個寬的頻譜內。信號的重建是在時間區間內進行采樣，由這些采樣點求出其頻譜，通過傅里葉逆變換重建原信號。在采樣階段，如果已知頻帶位置及其寬度，信號模型就定義了可能輸入的子空間。為了在這種情況下進行有效的重建，Landau[3]發展了一種等于帶寬和的最小率，它低于相應的Nyquist率，并且對任意一種采樣方法都適用。文獻[4-5]分別把Landau的方法應用于低率均勻采樣和周期非均勻采樣，Lin等[6]把范圍擴展到多帶信號。

盲頻譜系統（spectrum-blind systems）意味著既需要盲采樣，又需要盲重建。因為在采樣之前探測頻譜的支集通常不可能或代價太高難以實現，所以研究盲頻譜系統非常重要。盲頻譜系統在一系列文章[7-9]中被首次提出。這些工作不需要準確的支集，但必須滿足一個與多帶模型的簡單性質沒有直接關系的數學條件，即已知占用率的一個上界，占用率定義為支集的勒貝格測度與支集譜跨度（spectral span）的勒貝格測度的比值。甚至當該條件滿足時也不能保證準確的重建，因為他們提出的采樣率接近Landau最小率。文獻[10]中，Mishali等證明了有效的盲重建需要一個更高的采樣率。文獻[10-11]有相同的性質，即都不需要對頻帶的位置作限制[9]。Herley等[12]以及Venkataramani等[13]提出一種半盲頻譜系統，在這種情況下，信號以一種不依賴于頻帶位置的多陪集（multi-coset）采樣策略進行采樣。

壓縮感知中的方法力求以次最優性為代價實現易于處理的恢復算法[14-17]，其解決的經典問題是離散且有限向量的恢復。雖然在文獻[18-19]中研究了壓縮感知結果對連續信號的適應性，但這些論文并沒有解決多帶信號的情況。

盲多帶信號重建的困難一方面在于，各頻帶的位置是未知的，這意味著取定適當大的頻率區間后，該區間內的頻譜都需要被恢復，當連續的頻譜被適當小的間隔離散后，直接重建要求采樣點數等于離散點數，采樣代價高。考慮到離散點的幅值大部分是零，可以將其視作特殊的稀疏向量，其中數值不為零的元素聚集成頻帶數目部分，且每個部分中都沒有零元素，因此可以用壓縮感知技術以少的采樣點來恢復該稀疏向量。以OMP（orthogonal matching pursuit）算法為例，不僅要求觀測矩陣滿足RIP（restricted isometry property），還要求其 RIC（restricted isometry constant）越小越好。因此，盲多帶信號重建的另一方面的困難是采樣后得到的矩陣A作為觀測矩陣其RIC不夠小，無法成功恢復稀疏向量。本文前期工作[20]研究的對象是一般的帶限信號，用多次加權的方法改善線性方程組系數矩陣的條件數，提出的加權Landweber方法對理論上嚴重不適定的帶限信號外推有明顯的改進，該加權方法可以改善條件數。文獻[21]的研究結果證明了條件數越小、RIC也越小，因此，該方法也可以用于壓縮感知技術解決盲多帶信號重建問題中。

1 盲多帶信號重建

根據文獻[21]中的定理2，離散間隔取定后，由時域上的采樣點可以求出頻域上的離散點，然后作傅里葉逆變換得到重建信號，當離散間隔趨于零時，重建信號一致收斂到原信號。對適當大的內的離散化的時候，取滿足重建誤差范圍的適當小的離散間隔，則有

在文獻[21]中，王倩等給出定理1和定理2并且證明了：a. 觀測矩陣的越小，越小；b. 對于觀測矩陣的條件數適當大的情況，基于奇異值分解，對觀測矩陣加權得到新的奇異值相同的觀測矩陣（此時它的條件數為1）比原觀測矩陣有更小的，所以加權后得到的新觀測矩陣的RIC小于原觀測矩陣的RIC，從而改進了重建的結果。

提出一種加權的OMP方法之前，回顧一下OMP算法。

2 數值模擬

模擬的多帶信號是

頻譜中包含了矩形、三角形、正弦等典型頻帶，同時它滿足定義1。模擬信號在給定頻率區間內的頻譜如圖1所示。模擬中，對適當大的頻率區間內的頻譜進行離散化時，取滿足實際重建誤差范圍的適當小的離散間隔。離散間隔取定之后，頻率區間內的離散點數和幅值非零的離散點數就確定下來。

圖1 模擬信號在給定頻率區間內的頻譜Fig. 1 Spectrum of the simulated signal in a given frequency range

圖2 有效重建率隨增大的采樣區間的變化Fig. 2 Changes of the rate of efficient reconstruction with the increasing size of the sampling interval

圖3 有效重建率隨增加的采樣點數的變化Fig. 3 Changes of the rate of efficient reconstruction with the increasing number of the sampling points

圖4 有效重建率隨增加的稀疏度的變化Fig. 4 Changes of the rate of the efficient reconstruction withthe increasing sparsity

圖2顯示，采樣點數不變，采樣點相同的條件下，加權的OMP方法比未加權的OMP算法有更高的有效重建率。接下來，保持采樣區間的大小不變，改變采樣點的個數。取，加權次數。

圖3顯示，采樣區間不變，采樣點相同的條件下，與未加權的OMP算法相比，加權的OMP方法的有效重建率更高。

本文提出的加權的OMP方法不僅能夠用于盲多帶信號重建，還能夠改善壓縮感知中常見的觀測矩陣的RIC，改進對一般的稀疏向量的恢復結果。現有的Gaussian隨機矩陣、Bernoulli矩陣、Toeplitz矩陣和稀疏隨機矩陣都是滿足RIP的，模擬結果顯示加權OMP方法比未加權的OMP算法有略高一些的有效重建率。為了進一步驗證加權的OMP方法的有效性，選擇均勻隨機矩陣作為模擬的對象，而均勻隨機矩陣不滿足RIP，其元素獨立地服從開區間上的均勻分布。用Matlab生成大小為 160×512的均勻隨機矩陣，測量數，信號長度，稀疏信號的支集是隨機從的所有大小為的子集中選取的。，，獨立同分布地服從標準高斯分布。對于每一個稀疏度，實驗重復100次。加權次數。

圖4顯示，對于不滿足RIP的均勻隨機矩陣，加權的OMP方法比未加權的OMP算法有明顯高的有效重建率。

3 結 論

盲多帶信號重建的問題在一定條件下可以用壓縮感知技術恢復頻域上的稀疏向量后作傅里葉逆變換來解決。根據文獻[23]中的定理2，離散間隔取定之后，由時域上的采樣點可以求出頻域上的離散點，再對其作傅里葉逆變換就得到重建信號，離散間隔趨于零時，重建信號一致收斂于原信號。本文在對頻譜進行離散時，取滿足重建誤差范圍的適當小的離散間隔，從而適當大的頻率區間內的離散點數和幅值非0的離散點數被確定。研究問題的驅動：一是用盡可能少的采樣點得到有效的盲多帶信號重建，直接重建要求采樣點數等于離散點數，而OMP算法需要采樣點數不少于兩倍的稀疏度；二是用加權法通過改善觀測矩陣的條件數，從而改善其RIC，當觀測矩陣因為RIC適當大而不能用于重建時，多次加權后得到的等價觀測矩陣只要滿足相應的RIC要求就能用于得到有效的重建，這樣本文提出的加權的OMP方法比未加權的OMP算法[22]有更高的重建率。由時域上的采樣點恢復頻域上的稀疏向量的線性方程組可以簡化成。如果采樣點數非常多，那么由導 出的能夠直接計算，因為此時是 一個酉矩陣。通過改善的條件數進而改善的 條件數，把兩側同時乘以一個與有關的加權矩陣，加權過程重復多次。結合加權同樣次數的和奇異值分解定理可以得到等價觀測矩陣以及等價約束方程。多次加權后得到的新的觀測矩陣的條件數變小，其RIC也變小。在模擬階段，比較加權的OMP方法與未加權的OMP算法的有效重建率。頻域上，給定適當大的頻率區間，取定滿足實際重建誤差范圍的適當小的離散間隔；時域上，在區間內均勻隨機采樣。首先，保持采樣點的個數不變，改變采樣區間的大小。接下來，保持采樣區間的大小不變，改變采樣點的個數。為了驗證加權的OMP方法還能夠改善一般的觀測矩陣的RIC，用Matlab軟件生成大小為160×512的均勻隨機矩陣作為觀測矩陣，而均勻隨機矩陣不滿足RIP。因此最后，對于每一個稀疏度模擬100次，每次以同一個均勻隨機矩陣，對同一個隨機的稀疏向量進行恢復，改變稀疏度。模擬結果驗證了同樣條件下，加權的OMP方法比未加權的OMP算法有更高的有效重建率。