一類捕食-食餌模型正解的存在唯一性與穩(wěn)定性

楊夢娜, 李艷玲

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710119)

1 引言

具有Holling-III 型功能反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型作為一類重要的生物模型，得到了國內(nèi)外很多學(xué)者的關(guān)注[1-6].其中文獻[1]使用迭代方法和構(gòu)造相關(guān)序列研究了一類具有Holling-III 型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型，得到了正常數(shù)平衡解的全局漸近穩(wěn)定性；文獻[2]利用錐上不動點理論和線性穩(wěn)定性理論研究了一類具有Holling-III 型非線性密度制約的捕食-食餌模型，得到了正解的存在性與穩(wěn)定性；文獻[4]利用分歧理論、隱函數(shù)定理以及攝動技巧研究了一類具有非單調(diào)生長率且功能反應(yīng)函數(shù)為Holling-III 型的捕食-食餌模型，得到了其正解在一維情形下的存在性及穩(wěn)定性.本文是在文獻[4]的基礎(chǔ)上，進一步研究如下的捕食-食餌模型

本文主要利用不動點指標理論和擾動理論研究問題(2)在N 維情形下正解的存在唯一性與穩(wěn)定性.

2 預(yù)備知識

本節(jié)首先給出一些基本的定義和引理，其次運用極值原理和上下解方法得到問題(2)正解的先驗估計和正解存在的一些必要條件.

如果問題(2)的一個解滿足對任意的x ∈?, u(x) ＞0 且v(x) ＞0，則稱(u,v)為問題(2)的一個正解.

設(shè)q(x)∈Cα(?)(0 ＜α ＜1), λ1(q)為如下特征值問題

的主特征值.由文獻[9]可知，λ1(q(x))連續(xù)依賴于q(x)，且λ1(q(x))是簡單的.另外，λ1(q(x))是關(guān)于q(x)的遞增函數(shù).為了簡單起見，定義λ1(0) = λ1，對應(yīng)的特征函數(shù)記為φ1，且φ1＞0, x ∈?.

考慮以下非線性邊值問題

和

由文獻[10]可知，若a ≤λ1，則問題(4)只有平凡解u = 0；若a ＞λ1，則問題(4)存在唯一正解，記為θa.特別地，θa＜a 且連續(xù)依賴于a.由文獻[4]可知，若α ?d ＞λ1(q(x))，則問題(5)存在……