一類捕食-食餌模型正解的存在唯一性與穩(wěn)定性

楊夢娜, 李艷玲

(陜西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，西安 710119)

1 引言

具有Holling-III 型功能反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型作為一類重要的生物模型，得到了國內(nèi)外很多學(xué)者的關(guān)注[1-6].其中文獻[1]使用迭代方法和構(gòu)造相關(guān)序列研究了一類具有Holling-III 型反應(yīng)函數(shù)的捕食-食餌模型，得到了正常數(shù)平衡解的全局漸近穩(wěn)定性；文獻[2]利用錐上不動點理論和線性穩(wěn)定性理論研究了一類具有Holling-III 型非線性密度制約的捕食-食餌模型，得到了正解的存在性與穩(wěn)定性；文獻[4]利用分歧理論、隱函數(shù)定理以及攝動技巧研究了一類具有非單調(diào)生長率且功能反應(yīng)函數(shù)為Holling-III 型的捕食-食餌模型，得到了其正解在一維情形下的存在性及穩(wěn)定性.本文是在文獻[4]的基礎(chǔ)上，進一步研究如下的捕食-食餌模型

本文主要利用不動點指標理論和擾動理論研究問題(2)在N 維情形下正解的存在唯一性與穩(wěn)定性.

2 預(yù)備知識

本節(jié)首先給出一些基本的定義和引理，其次運用極值原理和上下解方法得到問題(2)正解的先驗估計和正解存在的一些必要條件.

如果問題(2)的一個解滿足對任意的x ∈?, u(x) ＞0 且v(x) ＞0，則稱(u,v)為問題(2)的一個正解.

設(shè)q(x)∈Cα(?)(0 ＜α ＜1), λ1(q)為如下特征值問題

的主特征值.由文獻[9]可知，λ1(q(x))連續(xù)依賴于q(x)，且λ1(q(x))是簡單的.另外，λ1(q(x))是關(guān)于q(x)的遞增函數(shù).為了簡單起見，定義λ1(0) = λ1，對應(yīng)的特征函數(shù)記為φ1，且φ1＞0, x ∈?.

考慮以下非線性邊值問題

和

由文獻[10]可知，若a ≤λ1，則問題(4)只有平凡解u = 0；若a ＞λ1，則問題(4)存在唯一正解，記為θa.特別地，θa＜a 且連續(xù)依賴于a.由文獻[4]可知，若α ?d ＞λ1(q(x))，則問題(5)存在唯一正解，記為θα,d(q)，并簡記θα,d(0) = θα,d.因此，在一定條件下，問題(2)存在半平凡解(?u,0)及(0,?v)，其中?u=θa, ?v =θ1,d.

1) 若F′(y)具有α 性質(zhì)，則indexW(F,y)=0；

2) 若F′(y)沒有α 性質(zhì)，則indexW(F,y)=(?1)β，其中β 是F′(y)的所有大于1 的特征值的代數(shù)重數(shù)之和.

引理2[11]令q(x) ∈Cα()(0 ＜α ＜1)，M 為正常數(shù)，使得對任意的x ∈, ?q(x)+M ＞0，則以下結(jié)論成立：

1) λ1(q(x))＜0 ?r[(?△+M)?1(?q(x)+M)]＞1；

2) λ1(q(x))＞0 ?r[(?△+M)?1(?q(x)+M)]＜1；

3) λ1(q(x))=0 ?r[(?△+M)?1(?q(x)+M)]=1；其中r[(?△+M)?1(?q(x)+M)]為算子(?△+M)?1(?q(x)+M)的譜半徑.

引理3如果(u,v)為問題(2)的正解，則

證明 假設(shè)(u,v)為問題(2)的正解，從關(guān)于u 的方程可以得到

因此?u 可以作為下述問題

令z =cu+mv，結(jié)合u 和v 的方程，則z 滿足

由極大值原理可知

又由于z =cu+mv，從而

引理4如果問題(2)存在正解，則

證明 設(shè)(u,v)是問題(2)的正解，則

對上式兩端同時乘以u，再在? 上積分，運用格林公式，則

又由Poincar′e 不等式可知

從而a ＞λ1.

從v 的方程中，可以得到

因此

3 正解的存在性

本節(jié)主要利用不動點指標理論[2,12]研究問題(2)正解的存在性.為了計算不動點指標，引入以下記號：

則通過計算得到：

取M 充分大，使得(u,v)∈D 時

定義算子F: E →E:

則F :D →W 是緊算子，則問題(2)有解等價于算子方程F(u,v)=(u,v)有解.

對于任意的t ∈[0,1]，定義

引理5假設(shè)a ＞λ1，則有：

1) degW(I ?F,D)=1；

2) 若?d+1 ?=λ1，則indexW(F,(0,0))=0；

證明 1) 由引理3 知，F(xiàn) 在?D 上沒有不動點，因此degW(I ?F,D)有意義，對于任意的t ∈[0,1]，F(xiàn)t的不動點為下述方程的解

則對于任意的t ∈[0,1]，F(xiàn)t的不動點滿足u ≤a, v ≤R.因此Ft的不動點一定落在D 內(nèi)，再由度的同輪不變性知，degW(I ?Ft,D)不依賴于t，于是

degW(I ?F,D)=degW(I ?F0,D)=degW(I ?Ft,D).

當t=0 時，問題(7)只有平凡解(0,0)，所以degW(I?F0,D)=indexW(F0,(0,0)).注意到

記

由引理1 知，indexW(F0,(0,0))=1，因此degW(I ?F,D)=1.

如果ξ ＞0，則a = λ1，這與已知相矛盾.因此ξ ≡0，同理可證η ≡0.從而I ?F′(0,0)在(0,0)上可逆.

又由于a ＞λ1，則同時ra為算子(?△+M)?1(a+M)的主特征值，對應(yīng)的特征函數(shù)φ ＞0，取t0= r?1a，則0 ＜t0＜1，并且(I ?t0F′(0,0))(φ,0)=(0,0)∈S(0,0)，因此F′(0,0)具有α 性質(zhì)，從而由引理1 知，indexW(F,(0,0))=0.

3) 通過計算得到

若η ?≡0，則由η ∈K 知

記

由于

從而由引理2 可知，r(A) ＞1 且是算子A 的主特征值，相應(yīng)的特征函數(shù)φ ＞0，取t0=r?1(A)，則0 ＜t0＜1, (0,φ)∈(u?,0)S(u?,0)，并且

因此F′(u?,0)在W(u?,0)上具有α 性質(zhì)，從而由引理1 知，indexW(F,(u?,0))=0.

4) 由上節(jié)可知，當

時，I ?F′(u?,0)在(u?,0)上可逆.由于

從而r(A) ＜1.假設(shè)F′(u?,0)在(u?,0)上具有α 性質(zhì)，則存在0 ＜t ＜1, (φ1,φ2) ∈(u?,0)S(u?,0)，使得

于是

又由于φ2∈K{0}.從而為算子A 的一個特征值，這與r(A) ＜1 相矛盾.因此F′(u?,0)在W(u?,0)上不具有α 性質(zhì)，根據(jù)引理1 可知，indexW(F,(u?,0)) = (?1)β，其中β 是F′(u?,0)的所有大于1 的特征值的代數(shù)重數(shù)之和.

即

如果η ?≡0，則

從而矛盾，因此η ≡0.

若ξ ?≡0，則

從而矛盾.因此F′(?u,0)沒有比1 大的特征值.于是根據(jù)引理1 得indexW(F,(?u,0))=1.

類似引理5，我們可以證明如下結(jié)論：

引理6設(shè)?d+1 ＞λ1，則：

1) 若a ＞λ1時，則indexW(F,(0,?v))=0；

2) 若a ＜λ1時，則indexW(F,(0,?v))=1.

從而由引理5 和引理6，以及度的可加性得到問題(2)正解的存在性定理.

定理11) 如果?d+1 ＞λ1, a ＞λ1時，則問題(2)除(0,0), (?u,0), (0,?v)之外，至少還有一個正解；

2) 如果?d+1 ＜λ1，則問題(2)存在正解當且僅當

證明 1) 根據(jù)引理6 和引理7 可以得到

1=degW(I ?F,D)=indexW(F,(0,0))+indexW(F,(?u,0))+indexW(F,(0,?v))=0,從而矛盾，因此問題(2)至少還有一個正解.

從而矛盾，因此問題(2)至少有一個正解.

4 正解的唯一性與穩(wěn)定性

本節(jié)主要運用度的可加性質(zhì)和線性算子的擾動技巧[14-16]來討論當參數(shù)m 充分小時，問題(2)正解的唯一性與穩(wěn)定性.

首先考慮下述方程

引理7設(shè)

則當m ＞0 且趨于0 時，問題(2)的任意正解都是非退化且線性穩(wěn)定的.

證明 采用反證法來證明.假設(shè)存在mi→0，使得問題(2)在m = mi時的正解(ui,vi)是退化的或者線性不穩(wěn)定的，則存在(ξi,ηi)?≡(0,0)，使得如下線性化問題的特征值μi滿足Re(μi)≤0，不妨設(shè)‖ξi‖2+‖ηi‖2=1.

顯然，當mi→0 時，(ui,vi) →(?u,v?).記ˉξi和ˉηi分別是ξi和ηi的共軛算子，對(9)式的第一個方程乘以ˉξi，第二個方程乘以ˉηi，然后在? 上積分，最后兩者相加得到

由引理3 知，ui和vi都有界，所以Re(μi)和Im(μi)有界，因此μi有界.可設(shè)μi→μ，則Re(μ)≤0.又由Lp估計和Sobolev 嵌入定理可得，ξi和ηi有界，設(shè)ξi→ξ, ηi→η.

再對(9)式兩端關(guān)于i 取極限，得到

若ξ ?≡0，則算子?△?(a ?2?u)I 的特征值全大于0，因此μ ≥λ1(?a+2?u) ＞0，從而與Re(μ)≤0 相矛盾，因此ξ ≡0.

若η ?≡0，將ξ =0 代入(10)式中第二個方程，則

從而與Re(μ)≤0 相矛盾，因此η ≡0.

所以問題(9)的所有特征值的實部都大于0，這意味著問題(2)的正解是非退化的且線性穩(wěn)定的.

定理2設(shè)

則當m ＞0 且充分小時，問題(2)有唯一正解，而且是非退化和線性穩(wěn)定的.

證明 由定理1 和引理7 可知問題(2)存在正解，而且是非退化和線性穩(wěn)定的，故只需要證明正解的唯一性即可.首先容易驗證平凡解和半平凡解都遠離正解，再根據(jù)緊性理論可知問題(2)至多有有限個正解，記為{(ui,vi) : i = 1,2,··· ,l}.又由引理7 可知，indexW(F,(ui,vi))=1.結(jié)合度的可加性及引理6 可得

因此問題(2)只有一個正解，而且是非退化和線性穩(wěn)定的.

5 數(shù)值模擬

這節(jié)主要討論系統(tǒng)(1)對應(yīng)的一維空間的情形，即

利用Matlab 工具做數(shù)值模擬，根據(jù)直觀圖像來驗證前面研究得到的理論結(jié)果，通過計算可得λ1=.

首先，根據(jù)定理1 的條件進行數(shù)值模擬，參數(shù)取值分別為a = 0.65, b = 1, c =1, d = 0.4, e = 1.25 和m = 0.5.圖1 驗證了系統(tǒng)(1)在一維情形下正解的存在性，這與定理1 的結(jié)論一致，這說明兩物種在定理1 的條件下，食餌和捕食者可以共存.并且隨著時間t 的增大，可以看出兩物種趨于穩(wěn)定.

圖1: 系統(tǒng)(11)的正解(u(x,t),v(x,t))的模擬圖，其中圖(a)和圖(b)分別為正解(u(x,t),v(x,t))的模擬圖；圖(c)為正解(u(x,t),v(x,t))在T =100 時刻的剖面圖；圖(d)為任意時刻正解(u(x,t),v(x,t))在(0,2π)上的L1 范數(shù)

其次，圖2 分別驗證了當食餌種群的生長率充分小時，或者捕食者種群的死亡率充分大時，食餌和捕食者不能共存；除此以外，當食餌種群的生長率充分小且捕食者種群的死亡率充分大時，食餌和捕食者也不能共存，這些符合引理4 的結(jié)論.

下面給出一個二維空間的例子，驗證定理1 的結(jié)論.

這里取a=0.65, b=1, c=1, d=0.4, e=1.25, m=0.5 和t=4，從圖3 中可以看出，系統(tǒng)(12)的正平衡態(tài)解的存在，這說明兩物種可以共存.從圖4 可以看出，隨著時間t 的增大，兩物種趨于穩(wěn)定.

圖3: 系統(tǒng)(12)在t=4 時刻(u(x,y,t),v(x,y,t))的模擬圖，其中圖(a)和圖(b)分別為正解(u(x,y,t),v(x,y,t))的投影圖；圖(c)和圖(d)分別為正解(u(x,y,t),v(x,y,t))的模擬圖

圖4: 系統(tǒng)(12)的正解(u(x,y,t),v(x,y,t))在(0,2π)×(0,2π)上的L1 范數(shù)