從數學好玩到玩好數學

侯軍 王婭梅

摘 ? ?要：高中數學第一課應是一節數學內涵的“欣賞課”，一節學生數學情感的“重塑課”.教師應該帶領學生一起玩轉高中數學的概念、方法、思想等，讓學生欣賞數學之美，體會數學之用，進而認識到學習數學的意義和價值，幫助學生破除“高中數學難學”的心理障礙和錯誤認識.

關鍵詞：高中數學第一課;概念;方法;思想

高中數學第一課教什么？怎么教？不同的教師有不同的教學構想.筆者認為，高中數學第一課應是一節數學內涵的“欣賞課”，一節學生數學情感的“重塑課”.通過第一課的教學，教師帶領學生一起玩轉高中數學的概念、方法、思想等，讓學生欣賞數學之美，體會數學之用，進而認識到學習數學的意義和價值，幫助學生破除“高中數學難學”的心理障礙和錯誤認識，從而使學生的思想向想要“玩好數學”（學好數學）轉變.

一、情感激發：認識高中數學的“好玩”

2002 年7月，陳省身先生應《上海教育》邀請給廣大青少年題詞：數學好玩.不久，中科院院士田剛教授也題了四個字：玩好數學.一個簡單的“玩”字滲透了兩位老一輩數學家對青少年的勉勵和期待[1].如何才能讓學生玩轉高中數學？入學第一課是關鍵.教師不妨帶領學生先從認識“數學好玩”開始，通過這一過程使學生初步了解高中數學的知識內涵，進而向想要“玩好數學”轉變.

（一）好玩的數學概念

數學在本質上是玩概念的，數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，其抽象的數學表征是學生步入高中面臨的一個重要難題.數學教學實質上就是數學概念的教學，課堂活動或課后作業的布置都是為了深化概念的理解.剛剛步入高中的學生學習數學時常犯的一個錯誤就是忽視概念理解，陷入“套路式”解題模仿.故起始課教學中讓學生認識數學概念的重要性是十分必要的.

【教學片段1】

面對新的教師，新的同學，學生往往比較拘謹，不敢表達，這無疑會影響教師教育教學的質量.故而，教師在課程導入時，不妨以集合的“確定性”為背景和學生開一個小玩笑.

班長：起立！

學生：老師好！

教師笑語：同學們好！請所有長頭發的同學站一下，其余同學請坐下.（停頓幾秒給學生思考）

教師繼續：（目測包含所有站著的學生）請站著的同學中身高低于2米的坐下.

【設計說明】意在建立學生對集合概念的感性認識.“長頭發”的不確定性引發學生思考：多長的頭發算長頭發？部分頭發較長的女生不知所措，有的男生也在糾結自己的坐與站的問題.教師快速追加坐下的條件“身高低于2米”，則所有站立的學生坐下，化解了這一部分學生的尷尬.課堂上，師生談笑間拉近了心理的距離.

教師開始本節課的導入語：首先祝賀大家升入高中的學習，老師剛剛以高中數學中“集合” 的概念為背景和大家開了一個小玩笑.什么是集合？我們全班的全體同學可以是一個集合，全體的男同學或全體的女同學也都是一個集合，但所有長頭發的同學不能構成一個集合，因為集合要滿足其內在的個體（元素）是確定的.這也是引發部分同學不確定自己是坐還是站的原因，而站著的同學中“身高低于2米的同學”顯然是能夠確定的，它是一個集合.集合是現代數學的一個基本概念，也是我們高中數學學習的第一個概念.同學們在后續的學習中要注意數學概念的學習，概念的理解程度決定了我們數學學習的深度，也直接決定了數學解題水平的高低.

【設計說明】通過學生不難理解的集合概念，讓學生體會數學概念在數學學習中的重要性.教學中，教師不必對集合的概念加以定義，以學生的感性認識理解即可，意在提升學生的學習興趣和數學認知，也可留下懸念為后續正式學習集合相關知識鋪墊情感因素.

【教學片段2】

問題1：比較[1.01365，1365，0.99365]之間的大小.

問題2：它們之間相差大嗎？

【設計說明】問題1到問題2意在建立矛盾沖突，學生通過自己的直覺即可回答問題1，然而再用直覺判斷問題2則會帶來錯誤.事實上，教師引導學生使用科學計算器完成以上數據的計算，可得[1.01365=37.78343433289]，[0.99365=0.02551796445229].進一步的，教師運用Geogebra等動態可視化軟件帶領學生進一步觀測不同指數、三個數值之間的差異，初步體會從函數的視角看數值的變化，簡單了解函數的單調性及指數爆炸等數學概念.并引導學生思考：努力學習和不努力學習的差異，努力一周和一年、三年的差別.

（二）好玩的數學方法

數學方法即用數學語言表述事物的狀態、關系和過程，并加以推導、演算和分析，以形成對問題的解釋、判斷和預言的方法.數學方法是學習者解決具體問題的數學手段，是數學概念應用于解題過程的顯化.教師在起始課教學中，不妨讓學生初步感受高中數學中常見的數學方法.例如基于“二分法”設計的猜數字游戲，再如基于“算兩次”設計一些代數或幾何問題，以提高學生對數學方法的理性認識.需要注意的是，問題設計應貼合學生認知水平，不可超出學生的“最近發展區”.下面是基于作差法比較大小的第一課教學片段.

【教學片段3】

一個唱片商店里，有兩類唱片，其中30張老式硬唱片一塊錢2張，另外30張唱片是一塊錢3張.那天，這60張唱片全賣完時，老板經過計算，30張一塊錢2張的唱片共賣15元，30張一塊錢3張的唱片共賣10元，總共是25元.第二天老板又拿出這樣的60張唱片，他想何必自找麻煩來分唱片？30張老唱片是一塊錢2張，另30張一塊錢3張，何不把60張唱片放在一起，按2塊錢5張來賣？這一天60張唱片全按2塊錢5張賣出去了，可是老板點錢時發現只賣得24元，不是25元，這1元錢到哪兒去了？老板百思不解，你能幫助分析原因嗎？

現實生活中，市場上經常有兩種物品混合售賣的情況，例如水果的混合、瓜子的混合、糖果的混合等等，商家如何搭配銷售才能贏利？

我們可以利用數學方法作如下更一般性的分析，請同學們思考以下問題.

問題1：假設價格較高的甲商品買[a]單位需要[b]元， 價格較低的乙商品買[c]單位需要[d]元，則甲、乙兩種商品單價分別為多少？

學生：甲商品單價為[ba]元/單位，乙商品單價為[dc]元/單位.

問題2：兩種商品混合后的售價為多少？（取平均售價）

學生：兩種商品混合后的售價為：[21ba+1dc=2ab+cd=2bdad+bc].

教師：故只需比較混合后的銷售額：[2bdad+bc（a+c）] ，未進行搭配的銷售額為[b+d].

問題3：回到上面的唱片案例，可知[a=30，b=15，c=30，d=10]，故混合后的銷售額：[2bdad+bc（a+c）=24]，未進行搭配的銷售額為[b+d=25]，搭配銷售虧了1元錢.怎樣才能賺錢或不虧呢？（啟發學生比較大小）

學生：顯然[ba>dc]，即[bc>ad]，

兩種銷售方式的額差為[（b+d）-2bd（a+c）ad+bc=（d-b）（ad-bc）ad+bc]

因為[bc>ad] ?∴[ad-bc<0]，

當[b>d]時，搭配銷售吃虧;當[b=d]時，搭配前后一致;當[b

【設計說明】以問題串的形式讓學生的思考層層遞進，案例中主要體現了高中常見的作差比較法，通過對現實生活中實際問題的解決，讓學生體會數學方法對解決問題的重要性，理解學好數學的現實意義.

（三）好玩的數學思想

數學思想是數學的靈魂，教師通過對數學思想的介紹，能讓學生領會知識背后的數學思維方式.常見的數學思想有數學結合思想、函數思想、分類討論思想、極限思想等[2].

【教學片段4】

數學實驗：請學生在移動端的GeoGebra上打開老師做好的旋轉體實驗平臺（初始幾何體為圓柱，如圖1），通過調整幾何體上、下底面半徑、高度[h]三個參數進行如下實驗.

實驗一：當上底面半徑逐漸接近于[0]時，圖形是怎樣變化的？（見圖2）

實驗二：當上下底面不相等時，圖形是怎樣的？（見圖3）

實驗三：當幾何體的高度[h]逐漸接近于[0]時，圖形是怎樣變化的？

【設計說明】學生親自動手操作，體會幾何圖形動態的變化過程.圖形之間從量變到質變的轉換可以使學生直觀感知極限思想的內涵.值得一提的是，GeoGebra可以360度查看幾何體各個視角的形態，這為學生建立幾何直觀提供了強有力的技術支持.例如，圖4是實驗三的正視圖，圖5是俯視圖.

【教學片段5】

題目 ? 用函數思想證明一道高考題.（2013年全國高考數學理科新課標Ⅱ卷第23題）

設[a，b，c]均為正數，且[a+b+c=1]，證明：[ab+bc+ca≤13].

證明：由[a+b+c=1]得[c=1-a-b]，

所以[ab+bc+ca-13=ab+][b][1-a-b][+1-a-ba-13]

[=-b2+1-ab-a2+a-13]，

令[y=-b2+1-ab-a2+a-13]，

因為[Δ = 1-a2 + 4 -a2+a-13 =]

[-3a-132≤0]，

所以[ab+bc+ca-13≤0]，故[ab+bc+ca≤13].

【設計說明】在沒有運用高中數學知識的前提下完成一道高考真題，這樣的成就感無疑為學生進一步的學習數學打了一針“強心劑”，也能讓學生認識到數學思想的無限魅力.其中對于[y=-b2+1-ab-a2+a-13]的理解需要教師進行適當的指導.

二、學法指導：如何“玩好”高中數學

學會學習是高中數學教學的一個重要隱性目標，教師不僅要教給學生必要的考試知識，更要教會學生如何學習數學.第一課中，從“數學好玩”到“玩好數學”的過程本質上恰是從授之以“欲”到授之以“漁”的過程.教師在帶領學生完成“數學好玩”的體驗過程后可趁熱打鐵指導學生“玩好數學”，相信學生必能聽之信之.

（一） 數學運算重推理，聽課過程聽“分析”

初中階段的數學運算普遍是技巧層面的代數變形，且運算難度小，高中階段的數學運算則普遍是帶有邏輯推理的運算，且運算量較大.算不對、算不準也就成了高中生學習數學的常態.故在第一課教學中，教師有必要在課堂教學中展示一些往屆學生的數學作業或答題卡的解題圖片，通過展示不同水平畢業生的解題圖片讓學生認識到苦練數學運算的重要性.

數學學習過程外顯的是知識的汲取，內隱的卻是思維的培養.不同于初中階段的數學學習，高中階段，學生聽得懂教師所講的數學知識，但自己獨立運用的時候卻往往又不會解題了.其主要原因是學生的聽課方式不正確，習慣性地關注教師解題步驟的書寫過程，而對教師分析問題（暴露思維）的過程重視不夠.故在第一課教學中，教師需指導學生高中數學聽課的關鍵要點——聽“分析”，即重視聽教師分析怎樣“想問題”，聽教師分析概念、定理、公式內在的知識內涵或思想方法.

（二） 堅定信念苦鉆研，善于糾錯勤復習

數學解題不僅需要扎實的基礎，更需要堅定的信念.高中數學學習過程中，學生遇到難題需要花費較多的時間去思考，要求學生具有堅定的信念和刻苦鉆研的精神.故教師在授課時可介紹一些著名數學家的個人事跡或身邊學生刻苦學習獲得好成績的成功案例，以激勵學生學習的斗志.最后，教師還需指導學生高效整理筆記、錯題的方法以及養成科學復習的好習慣.

高中數學第一課的教學中，認識“數學好玩”立足于學生數學學習興趣的培養、學生數學情感重塑這兩個層面，而如何“玩好數學”則是針對學生學習方法的指導和學習習慣的建議.高中階段培育學生的核心素養首先在于育“情”（對數學的態度、興趣、學習意志等），有“情”的學生才能在日積月累的數學學習中不斷地思考、積累、探索，才能真正地“玩好數學”，才能實現“會用數學的眼光看世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界”的目標.

參考文獻：

[1]謝玉娓.情智數學：數學好玩，玩好數學[J].中國教師，2015（10）：71-74.

[2]侯軍.叩兩端而執其中，探極限而露本質[J].高中數學教與學，2017（10）：16-18.