基于窗口傅里葉變換的線性相位誤差抑制

陳 瑜，潘永強*，劉丙才，田愛玲，李 靚

(1.西安工業大學 光電工程學院，西安 710021； 2.教育部薄膜與光學制造技術重點實驗室, 西安 710021)

1 引 言

光學干涉測量作為一種非接觸測量方法被定義為新世紀精密測量技術的重要發展方向。相位提取是光干涉測量過程中的關鍵技術，干涉圖的相位測量精度直接影響后續面形精度[1]；傳統相位提取技術主要有相移法(Phase-shifting Technique,PST)和傅里葉變換算法(Fourier Transform,FT)[2]，但其在實際應用中各有局限性[3-5]。為克服這一缺點，研究人員提出將窗口傅里葉變換(Windowed Fourier Transform,WFT)應用于相位提取技術中，在一定程度上解決了傳統算法的不足，實現了信號局部分析[6]。

窗口傅里葉變換相位提取法是一種空頻分析法，其不但可以考慮到局部細節，還可以降低噪聲對圖像信號的影響，獲得較高的提取精度[7]。需要說明的是，在窗口覆蓋區域內，條紋幅度被假定為恒定，同時假設相位亦是恒定的，因此，局部頻率也應為恒定[8]。而在實際條紋圖中，條紋圖案的相位一般為非線性分布，這就導致在相位提取中存在了線性相位誤差，影響后續相位提取精度。研究者對此情況下的線性相位誤差進行了抑制嘗試：Chong Yang[9]等人對WFT算法的窗口尺寸選取進行了研究，推導窗口尺寸與二階相位導數的關系，通過對理論推導的窗口尺寸進行仿真分析驗證了其選取依據較傳統算法對線性相位誤差有抑制效果；錢克矛[10]結合對窗口尺寸的理論推導，根據不同類型條紋的特點及其噪聲因素的影響，研究在不同窗口尺寸變換下條紋圖案的去噪問題，認為針對非線性度較大的干涉圖案，選取小尺寸窗口(σ≤10 pixel)可抑制條紋線性相位誤差。以上研究均通過對窗口尺寸進行了調整從而達到抑制線性相位誤差的作用，發現在空域內選取小尺寸窗口可使范圍內條紋信息成分近似線性，從而抑制線性相位誤差。但由于窗口傅里葉變換是一個空頻聯合域處理技術，其在空域內的小尺寸窗口轉換到頻域內范圍激增，導致該窗口區域內頻率分辨率下降，且在窗口范圍內的頻譜成分中，低頻成分易受背景光強干擾導致相位連續性降低，使線性相位誤差在抑制的同時受到新的因素干擾，故在WFT技術處理之前對輸入條紋的背景光強進行濾除顯得尤為重要。

本文基于WFT相位提取算法在實際操作過程中存在的線性相位誤差問題進行研究，具體研究過程為：(1)在傳統WFT相位提取算法原理基礎上，推導利用空頻聯合分析法濾除背景光強的數學理論。(2)開展仿真實驗，首先確定可使WFT技術中線性相位誤差抑制度達最大時的窗口尺寸選取依據，其次基于理論推導及仿真得出的最優窗口尺寸對線性相位誤差做綜合抑制，通過與傳統線性相位誤差抑制作用下的WFT算法精度進行對比，評價其線性相位誤差的抑制程度。(3)對大口徑拋物面進行面形重構，通過實驗驗證本文線性相位誤差抑制技術可解決傳統WFT技術在抑制線性相位誤差時存在的問題并將該技術運用在相位提取算法中，實現算法精度的提高。

2 基本理論

2.1 窗口傅里葉變換理論

對于二維信號f(x,y)，其光強分布表達式:

f(x,y)=a(x,y)+

b(x,y)cos(φ0(x,y)+f1x+f2y),

(1)

其中：a(x,y)為干涉條紋的背景光強分布，b(x,y)為其對應調制度分布，φ0(x,y)為含有待測波面相位信息的初始相位分布函數，f1,f2分別為沿x,y方向的載頻成分[11]。

其對應窗口傅里葉譜分布表達式可表示為

(2)

(3)

(4)

(5)

如式(4),在窗口覆蓋范圍內定位可使頻譜分布值達最大時的自變量值ξ,η，將該值賦給該區域相位的局部頻率(相位導數)，通過移動窗口表征整幅干涉圖案從而獲取相位[14]，這就使頻譜成分中譜值能量相對較低的噪聲成分被抑制，相較于傳統傅里葉變換相位提取算法，WFT算法有良好的去噪能力。

2.2 背景光強的傅里葉空頻分析法

根據傅里葉變換空頻分析法，對空域內的二維信號f(x,y)做傅里葉變換，得到其頻譜分析:

F(f1,f2)=A(f1,f2)+C+(f1,f2)+C-(f1,f2).

(6)

一般地，對于載頻條紋(1)，其頻譜分布主要包含等式(6)右側三項，從左至右依次是干涉圖案背景光強的頻譜分布(或稱為零級譜函數A(f1,f2))、正一級頻譜的分布函數C+(f1,f2)、負一級頻譜的分布函數C-(f1,f2)。選取一個中心頻率為(f1,f2)的濾波器將正一級頻譜提取出來并平移至原點，得到濾除背景光強干擾的正一級頻譜分布，并對其進行二維傅里葉逆變換轉換到空域內[15]，即:

(7)

(8)

同理根據式(5)得，后續相位值為:

φ(u,v)=∠max|SF[u,v;ωx,ωy]|.

(9)

對比式(4), 此方法可實現相位提取，得到的頻譜譜值僅為傳統WFT相位提取中譜值的0.7倍，一般地，干涉條紋的背景光強在整個頻域內占據較高的幅值，而通過傅里葉空頻分析法將其濾除，降低了高譜值背景光強的影響，提高窗口傅里葉脊值的提取精度，從而恢復真實相位，并保留WFT技術良好的去噪能力。

3 仿真分析

3.1 最優窗口尺寸判定

為確定可使線性相位誤差抑制度達到最大時的窗口尺寸選取依據，對WFT技術的窗口尺寸進行仿真判定。定義相位絕對誤差如式(10)，通過對相位絕對誤差的計算分析線性相位誤差對干涉信號的影響程度，其中φ0為初始仿真相位，φ為經相位提取算法提取出的相位N為所處理干涉圖的尺寸，本文中所用干涉圖案均為300×300 pixel。

Δφ=1/N·sum(φ0-φ).

(10)

仿真干涉條紋圖A，對其引入水平方向載頻增加條紋非線性度如式(11)。變換窗口尺寸取值區間為[1,30]，計算每一尺寸下的Δφ的值，為避免由于窗口尺寸過大引入的邊緣效應問題，僅選取條紋圖中心區域(如圖1)進行計算，繪制對應σ-Δφ曲線趨勢圖如圖3的Phase error A所示。

fA(x,y)=255+10cos(φ(x,y)+2x).

(11)

圖1 仿真干涉圖 AFig.1 Simulated interferogram A

在實際干涉圖案中，噪聲成分滲透干涉圖案整個區域，為使研究更具嚴謹，對條紋圖案進行加噪處理，通過仿真分析確定在此情況下的窗口尺寸選取準則。仿真樣本選取干涉圖案A并引入均值μ=0，σ=1的高斯白噪聲如圖2所示，計算不同窗口尺寸下的相位絕對誤差，并繪制對應σ-Δφ曲線趨勢圖如圖3的Phase error B所示。

圖2 仿真干涉圖 A(加噪)Fig.2 Simulated interferogram A

圖3 不同窗口尺寸下干涉圖相位殘差曲線Fig.3 Phase residual curve of interferogram under different window sizes

通過對圖3的分析可知，在綜合了噪聲因素的情況下，兩條曲線趨勢相似。分析其主要原因為，WFT相位提取技術主要針對某一區域內的條紋圖提取局部頻率并最后獲取所需相位，在操作中可對局域內噪聲起到良好的消除作用，因此噪聲因素對其相位提取精度影響不大，確定可對線性相位誤差抑制程度最大的窗口選取依據為小尺寸窗口(σ=5 pixel)，縮小了傳統線性相位誤差抑制技術的窗口尺寸判定范圍。

3.2 線性相位誤差抑制度對比

為驗證本文提出的線性相位誤差抑制技術的可行性，仿真如圖4(a)所示一維信號，長度為1×300 pixel，添加水平方向非線性度及噪聲，圖4(b)為該信號對應的初始相位導數分布曲線。分別利用傳統線性相位誤差抑制技術及本文提出技術應用于圖4(a)一維信號的WFT相位提取處理中，選取可以反映相位變化率的相位導數(局部頻率)為對比參量，通過比較兩種技術處理下得到的相位導數分布情況研究不同方法對線性相位誤差的抑制程度。兩種技術處理過程分別如下[6-7]：傳統線性相位誤差抑制技術可通過選取小尺寸窗口(σ≤10 pixel)實現抑制條紋中線性相位誤差的作用，同時結合本文3.1分析，選定在窗口尺寸σ=5 pixel時為傳統線性相位誤差抑制技術的窗口尺寸選取，圖4(e)為經該方法提取的相位導數。

采取本文提出方法，首先對初始信號進行預處理，即濾除背景光強干擾同時保留包含相位成分的正一級頻譜，圖4(c)為經FT變換得到的初始信號的頻譜分布，其背景光強所在位于(151,0)處，選取中心頻率為(74,0)的矩形濾波窗將虛線區域內所示的正一級頻譜濾出并移至中心位置如圖4(d)，對其做傅里葉逆變換后得到時域內的信號成分并對其做后續WFT相位提取處理，此處窗口尺寸選取抑制線性相位誤差程度達最大的σ=5 pixel，提取相位導數結果圖4(f)，通過對圖5中仿真所獲相位導數進行分析。

圖4 不同線性相位抑制技術作用下相位導數提取結果圖

傳統WFT法選取小尺寸窗口(σ=5 pixel)以達到抑制線性相位誤差的作用，所獲相位導數(局部頻率)如圖4(e)所示，對比初始相位導數如圖4(b)有很大偏差，分析其原因可能為選取小尺寸窗口降低了窗口范圍內條紋信息的非線性度，從而達到降低線性相位誤差的效果，但空域內小尺寸窗口在頻域內尺寸變大，某些低頻成分受背景光強的干擾，導致相位變化不明顯，相位一階導數(局部頻率)在某些區域處于穩定值，此處相位不發生變化。

本文提出的抑制線性相位誤差技術，在利用小尺寸窗口(σ=5 pixel)削弱條紋非線性度引入的誤差的同時通過空頻聯合分析法消除了背景光強干擾，提取相位的局部頻率如圖4(f)所示，相較于傳統線性相位誤差抑制技術，其處理所得相位一階導數更接近初始相位一階導數(局部頻率)。

4 實驗驗證

為驗證仿真結果的可行性及精度，對大口徑拋物面型進行面形重構實驗，實驗階段所用菲索干涉儀為美國Zygo公司生產的Verifire PE激光干涉儀，該干涉儀是共光路面形計量干涉儀，光源為低功率的632.8 nm的氦氖激光，其干涉儀裝置如圖5，采用PZT移相干涉裝置可對光學元件面形進行檢測。

圖5 Zygo激光干涉儀實驗裝置圖Fig.5 Zygo laser interferometerdevice diagram

圖6 實驗采集干涉圖(截取圖)Fig.6 Experimental interferogram(intercept diagram)

圖6為Zygo干涉儀采集實驗干涉圖，為便于計算機離散化處理，將圓域干涉圖截取為300×300尺寸矩形干涉圖，通過對比重構面形中波面評價參數，驗證傳統線性相位誤差抑制技術及本文所提方法對WFT相位提取精度的影響。為直觀線性相位誤差影響效果，圖7(a)～圖7(c)分別為WFT算法在σ=3 ,5,10 pixel作用下生成的包裹相位圖，圖7(d)為本文提出的線性相位誤差抑制技術作用下WFT算法所獲包裹相位圖。

圖7 不同線性相位誤差抑制技術下WFT算法處理所獲包裹相位圖Fig.7 Wrapped phase obtained by WFT algorithm under different linear phase error suppression techniques

對圖7(a)～圖7(c)中包裹相位圖進行分析可知，選取不同窗口尺寸作用得到的包裹相位均存在線性相位誤差影響，其中圖(a)為選取小尺寸窗口作用下，頻譜中低頻成分受到背景光強影響致使相位在某些區域出現相位模糊的現象。圖(b)在選取較大的窗口尺寸時，窗口區域內非線性度增加，導致圖中所示相位缺失現象；選取窗口尺寸σ=5 pixel時的作用效果最佳如圖(c)所示，但中心區域及邊緣仍有模糊現象，即少部分頻譜成分受到背景光強干擾；采取本文提出的線性相位誤差抑制技術處理所獲包裹相位如圖(d)，較傳統小尺寸窗口抑制作用下的WFT算法所獲相位結果更清晰。為增加實驗結果的可信度，對上述4種包裹相位進行最小二乘法解包裹處理獲得連續相位，并通過Zernike擬合生成如圖8(a)～圖8(d)所示的面形分布。

圖8 不同線性相位誤差抑制技術下WFT算法所獲波面分布

分析圖8可知，受線性相位誤差影響較大程度的包裹相位經擬合生成的波面(如圖8(a)～圖8(b)較圖8(c)～圖8(d)在邊緣處有偏差。為量化數據處理過程，對以上4種面形的波面評價參數PV，RMS進行計算，并與Zygo干涉儀所測數據進行殘差計算，分別記為ΔPV及ΔRMS，并記錄如表1。

表1 Zernike擬合生成波面評價參數匯總(λ=632.8 nm)

對表中數據進行分析，在選取窗口尺寸為σ=3,10 pixel時，線性相位誤差影響較大，致使后續相位提取精度在面形參數上較相移干涉技術偏差較大。在σ=5 pixel時線性相位誤差影響最小，其在面形擬合上評價參數的殘差值較σ=3,10 pixel時降低，即在傳統線性相位誤差抑制技術時，σ=5 pixel可達到最優線性相位誤差抑制效果；采用本文提出的線性相位誤差抑制技術作用生成的面形與相移干涉技術殘差達到最小，較傳統線性相位誤差抑制技術得到了提升。

5 結 論

本文針對傳統WFT相位提取算法中選取小尺寸窗口抑制線性相位誤差的傳統技術進行改進，提出了一種利用空頻聯合分析法對干涉圖案頻譜成分進行預處理，使低頻成分不受背景光強干擾的線性相位誤差抑制技術，并利用仿真分析確定了可使線性相位誤差抑制度達最大時的最優窗口尺寸選取準則，結合以上兩種作用效果對WFT相位提取技術中線性相位誤差做綜合抑制，仿真及實驗的對比分析均表明，本文提出方法較傳統線性相位誤差抑制技術的抑制程度得到了提高，抑制效果體現為算法重構面形精度與相移干涉技術的PV殘差值由0.115 1λ降低到0.079 2λ，波面均方根殘差值由0.019 6λ降低到0.009 2λ。