多屬性直覺模糊容差粗糙集模型

徐偉華 苑克花 李文濤

1西南大學人工智能學院,重慶,400715 2西南大學數學與統計學院,重慶,400715

0 引言

波蘭數學家Pawlak所提出的粗糙集理論作為一種數學工具,在處理不確定信息方面有重要作用[1].它主要應用在概念近似與屬性約減兩個方面[2].概念近似即利用已知的數據,對目標集從上下兩個方面對其進行逼近,進而減少目標集的不確定性．經典的概念近似是基于等價關系對分類型數據進行比較刻畫[3].由于現實生活中數據的復雜多樣化,數據類型還有數值型、區間型、集值型、直覺模糊型等,各對象之間的關系也不僅僅局限于等價關系,所以經典情況下的概念近似有一定的局限性[2-7].

不少學者基于不同數據之間的不同關系進行了很多研究,尤其是對于直覺模糊型數據．直覺模糊型集同時考慮對象對某一集合的正隸屬度、負隸屬度和猶豫度,具有更強的信息表達能力,能夠較好地描述和刻畫客觀世界的不確定性.文獻[8-10]揭示了直覺模糊集理論與粗糙集理論之間的關系,證明每個模糊粗糙集實際上是一個直覺L-模糊集,然后利用直覺模糊集的概念定義了直覺模糊逼近空間中的逼近算子.Liu等[11]通過求解沖突距離來確定對象之間的相似度,進而構建直覺模糊粗糙集模型對研究對象進行刻畫.另外,利用區間直覺模糊集和粗糙集相結合的方法,林夢雷等[12]在區間直覺模糊關系的基礎上,構造了區間直覺模糊粗糙集模型,主要是利用隸屬度與非隸屬度求解漢明距離,沒有利用猶豫度.本文將進一步結合猶豫度,求解任意兩者之間的相似度,并加以樂觀悲觀思想構建基于容差關系[13]的直覺模糊粗糙集.

本文在直覺模糊信息系統下,結合Jensen等[14]所定義的模糊相似關系,從樂觀悲觀兩個角度出發,提出基于容差關系的直覺模糊粗糙集模型.首先說明構建模型的理論知識,然后構建多屬性下樂觀、悲觀直覺模糊容差粗糙集模型,接著給出實例分析,最后得出結論.

1 預備知識

本節主要介紹了有關直覺模糊系統(IFS)下構建基于容差關系的模糊粗糙集模型的理論基礎以及容差關系.

定義1稱集合C={〈x,μC(x),νC(x)〉|x∈U}是定義在論域U上的直覺模糊集,其中:μC(x)表示x對集合C的隸屬度;νC(x)表示x對集合C的非隸屬度;同時0≤μC(x)+νC(x)≤1,πC(x)=1-

μC(x)-νC(x)表示x對集合C的猶豫度,顯然πC(x)∈[0,1].有序對〈μC(x),νC(x)〉是x在集合C下的直覺模糊值.

定義2稱I=(U,C,IF,V)為直覺模糊信息系統,其中:U={x1,x2,…,xn}是非空有限論域;C={c1,c2,…,cm}是非空有限條件屬性集;IF:U×C→V是U與C的關系集,并且V(x,c)=〈μc(x),νc(x)〉,(?x∈U,c∈C);V是不同對象在不同屬性下取值所構成的值域.

為了衡量同一個直覺模糊集合下不同對象之間的相似度,依據文獻[13]選取定義3的相似度函數.

定義3稱Sc(xi,xj)為定義在屬性c下xi與xj的相似度[13],具體定義如下:

Sc(xi,xj)=1-(α(μc(xi)-μc(xj))2+

β(νc(xi)-νc(xj))2+γ(πc(xi)-πc(xj))2)1/2,

其中:

1)α≥β>γ;

2)α+β+γ=1;

3)0≤α,β,γ≤1．

定義4設S=Sc(xi,xj)∈μn×n,其中μn×n表示維度為n×n的模糊矩陣的全體.對于任意的λ∈[0,1],稱Sλ=(sc(i,j)λ)為模糊矩陣S=Sc(xi,xj)的λ-截距陣,其中:

顯然,λ-截距陣Sλ為布爾矩陣.

定義5設U={x1,x2,…,xn}是所研究對象的全體,C={c1,c2,…,cm}是條件屬性集合,X?U是目標集．給定λ的具體取值以及屬性c∈C,結合粗糙集[1]定義,可知在屬性c下有關目標集X的上下近似定義如下:

其中?代表空集,表示兩個集合沒有公共元素.

定義6[2]在直覺模糊信息系統I=(U,C,IF,V)下,給定目標集X,以及屬性子集A?C,則屬性集A下X的近似精度α(A,X)定義為

2 多屬性下直覺模糊容差粗糙集模型

由定義5可以求出直覺模糊信息系統中,某一具體屬性下目標集的上下近似.但是,現實生活中某一對象往往有多個屬性,針對這種情況我們提出樂觀直覺模糊容差粗糙集模型與悲觀直覺模糊容差粗糙集模型.

設U={x1,x2,…,xn}是論域,C={c1,c2,…,cm}是條件屬性集合,X?U是目標集,給定λ的具體取值.

在條件屬性集C中,有關目標集X的樂觀上下近似定義如下:

“∨”表示“或”,“∧”表示“且”.

在條件屬性集C中,有關目標集X的悲觀上下近似定義如下:

證明根據目標集X樂觀與悲觀的上下近似定義可直接推導.

根據定義6中近似精度定義可知:在直覺模糊信息系統I=(U,C,IF,V)下,給定目標集X,以及屬性集C,則屬性集C下X的樂觀近似精度αO(C,X)定義為

相應的悲觀近似精度αP(C,X)可類似定義.

3 實例分析

針對本文所提出的多屬性下直覺模糊容差粗糙集模型,為了進一步驗證其性質,我們給出一個具體的實例,通過求解目標集的樂觀,悲觀上下近似來驗證直覺模糊容差粗糙集模型其性質.

給定一個直覺模糊信息系統I=(U,C,IF,V)(表1),其中:論域U={x1,x2,…,x6},條件屬性集C={c1,c2,…,c6},目標集X={x2,x3,x4}.

表1 直覺模糊信息系統

各個屬性下的相似度矩陣S1，S2，S3，S4分別為

根據相似度矩陣我們可以得到四個屬性下的相似類分別是:

根據上下近似定義可知,目標集X的樂觀悲觀上下近似如下:

根據計算結果,可知:

4 結論

本文在直覺模糊信息系統中提出一種新的多屬性下直覺模糊粗糙集模型.首先,利用相似度函數,通過求解不同對象之間對某一集合的隸屬度,非隸屬度以及猶豫度之間的差值,求出相似度矩陣;然后,根據相似度矩陣求出不同屬性下各個對象的相似類;最后,根據本文所定義的樂觀悲觀上下近似,從上下兩個角度對目標集進行刻畫.另外,通過求解可以發現直覺模糊信息系統下,樂觀近似精度在數值上大于悲觀近似精度.在接下來的工作中,我們可以考慮直覺模糊信息系統下,從樂觀悲觀兩個角度進行屬性約減,進而減少計算時間,節約內存.