基于含復合轉動直線驅動單元的并聯機構運動原理分析

許允斗,仝少帥,王增照,劉 宇,姚建濤,趙永生,*

(1.燕山大學 河北省并聯機器人與機電系統實驗室，河北 秦皇島 066004； 2.燕山大學 先進鍛壓成型技術與科學教育部重點實驗室，河北 秦皇島 066004； 3. 河北農業大學 理工學院，河北 滄州 061100)

0 引言

并聯機器人整體剛度是影響其是否能應用的一個最為重要的指標[1-4]，而單自由度運動副數目是決定機器人整體剛度的一個關鍵因素，單自由度運動副數目越少，則機器人越容易實現高剛度結構的設計[5]，因此現在很多并聯機器人采用了運動副的簡化設計。崔學良等[6]采用3個轉動副來組成復合球鉸，設計了一種3-RPS并聯機構并對其進行了剛度模型分析。劉鐵柱等[7]采用兩個以銷軸鉸接的桿件來組成球鉸，對3-RPS并聯機構進行了靜力學研究。此外還有6UPS六自由度[8-9]及3UPS-S三自由度并聯機器人[10-12](U、P和S分別表示虎克鉸、移動副和球副)，將中間的直線驅動單元設計成既能實現直線驅動，同時也能夠實現微小的被動轉動，這兩部分運動可采用同一絲杠副實現[13]，即沒有將直線驅動單元螺母的周向運動完全限制死，在運動過程中直線運動單元能發生微小的轉動，但是在發生轉動的同時，直線單元的位移也將發生改變，也就是螺旋運動，因此在進行機器人的運動學分析時，需要將由于螺旋運動產生的這部分直線位移考慮到動平臺和定平臺支鏈的長度變化中。本文以三自由度并聯機器人3UPS-S為例，對此并聯機器人的運動學原理進行剖析，為此類并聯機器人的設計、控制及使用提供重要的參考依據。

1 基于3UPS-S并聯機構簡化設計的三自由度并聯機器人3UPHU-S

3UPS-S并聯機器人是由動平臺、定平臺、3條驅動支鏈UPS以及中間約束支鏈S副(由軸線交于一點的虎克鉸和轉動副組成)組成，其機構簡圖如圖1所示。鉸鏈點均勻分布于上、下平臺，定平臺半徑為R，動平臺半徑為r，動平臺中心距離定平臺中心高度為h，初始位置動、靜平臺的扭轉角為γ。

圖1 3UPS-S三自由度并聯機構簡圖
Fig.1 3UPS-S three-degree-of-freedom parallelmechanism diagram

三條UPS驅動分支為滿自由度分支[11]，對動平臺不施加任何約束，所以該機構動平臺自由度完全由中間約束支鏈S副決定，故3UPS-S并聯機構整體具有3個轉動自由度，三條轉軸即為S副的三條軸線[14]。

為增大工作空間，UPS驅動支鏈中S副一般設計成可以由3個轉動副相交于一點的結構[15]。為了簡化運動副結構，直線驅動單元集成了移動自由度和一個沿同方向的轉動自由度，但其在轉動的過程中由于電動缸內部結構為滾珠絲杠副，該轉動會伴隨微小移動，即直線驅動單元本質上提供了一個移動自由度和一個單自由度的螺旋運動[16-17]，3UPS-S并聯機構簡化成了3UPHU-S并聯機構，螺旋副(H)的存在是兩者在結構上本質的區別所在，如圖2所示。

圖2 3UPHU-S三自由度并聯機構簡圖
Fig.2 3UPS-S three-degree-of-freedom parallelmechanism diagram

2 3UPHU-S并聯機器人機構運動原理分析

對于3UPS-S并聯機構，直接根據動平臺姿態求解各直線驅動單元的輸入位移量就可以。建立圖1所示坐標系，定坐標系A：O-XYZ位于定平臺中心，X軸沿OB1方向，Z軸沿Ob4方向，動坐標系b4-xyz位于中間約束支鏈的S副中心，且初始姿態與定坐標系平行。

(1)

o為動坐標系原點沿定坐標系Z軸方向的位置矢量，即o=[o,o,h]T。

可計算得并聯機構3個驅動支鏈的長度為

Ali=Abi-ABi，

(2)

但是對于基于3UPS-S機構簡化設計的3UPHU-S并聯機構，其運動學反解并不能直接根據動平臺姿態求解出直線驅動單元的輸入位移變化量，這是因為機器人運動過程中螺旋副產生轉動后會附加一定的直線運動，該運動量將影響驅動支鏈的整體長度。因此，對于3UPHU-S并聯機構，需求解出支鏈中螺旋副附件產生的支鏈位置位移變化量。

簡化設計的并聯機構運動原理可歸納為：首先根據動平臺姿態求解得到驅動桿的桿長變化，同時求解被動H副需產生的轉角大小；計算H副由于轉動而產生的附加直線位移；進而最終求解出直線驅動單元所需的輸入位移變化量。

(3)

其中，i=1,2,3，ΔLi=d·Δqi/360表示第i條驅動支鏈的螺旋副轉動角度Δqi后在直線驅動單元方向產生的微小移動位移。因為螺旋副符合右手定則，當螺旋副的轉動方向與直線驅動單元的移動方向相同時，ΔLi取正值，相反則取負值。

通過以上分析可知，在運動學反解程序中，螺距d為已知量，如何求得各驅動分支螺旋副的轉角Δqi是整個反解程序的關鍵所在。當動平臺的姿態確定后，動平臺上任意一點的位姿隨之確定，即動平臺與各驅動支鏈末端連接點的位姿可以完全確定。此時可將各驅動分支視為已知末端位姿的串聯支鏈，通過求解串聯分支的反解可得到螺旋副轉動角度Δqi。

選取第一驅動分支進行分析，建立各連桿坐標系{0}～{6}，其中{0}系與固定坐標系A：O-XYZ重合，{6}系與動坐標系m：o-xyz重合，如圖3所示。

圖3 3UPHU-S并聯機構單支鏈坐標系
Fig.3 3UPHU-S parallel mechanism single-chaincoordinate system

該支鏈末端坐標系相對于固定坐標系的位姿矩陣已知，即

(4)

根據D-H法[18]，可以建立該支鏈末端坐標系相對其基坐標系的齊次變換矩陣為

式中，q1～q6為第一驅動分支各關節的運動變量。

(6)

根據式(1)和(2)兩邊對應元素相等，可求得各關節變量q1～q6的值，其中q4即為所求的螺旋副轉動角度Δq，可得：

(7)

3 實驗驗證

基于尺度優化得到的一組并聯機器人機構尺度(如表1所示)，研制了該3UPHU-S三自由度并聯機器人樣機，如圖4所示。

表1 3UPHU-S并聯機器人結構參數
Tab.1 3UPHU-S parallel robot structure parameters

r/mmR/mmh/mmlmax/mmlmin/mmγ/(°)16022054052448420

圖4 3UPHU-S并聯機構樣機
Fig.4 3UPHU-S parallel mechanism prototype

設定描述動平臺姿態的歐拉角函數為

(8)

(9)

(10)

將給定輸出角度分成n等分進行插補，利用上述的運動學反解方程，可以求出對應于每一次插補各驅動支鏈螺旋副的轉角、附加位移大小以及直線驅動單元的輸入位移值，如圖5所示。

圖5 各驅動支鏈螺旋副的轉角、附加位移大小和輸入位移曲線圖
Fig.5 Rotation angle, additional displacement magnitude andinput displacement curve of each driving branch helical pair

將上述各驅動支鏈輸入位移值逐步輸出到運動控制卡并對機構直線驅動單元進行實時控制，采用陀螺儀實時測量的動平臺姿態如圖6所示。

圖6 實時監測的動平臺姿態數據
Fig.6 Real-time monitoring of the dynamicplatform attitude data

從圖6可以看出實測的動平臺姿態與預期的動平臺姿態基本相符，各軸轉角誤差的最大值分別為0.534°、0.018°和0.114°，驗證了3UPHU-S三自由度并聯機器人運動學原理分析的正確性。

4 結論

1) 本文對比分析了3UPS-S和3UPHU-S兩種并聯機構，得到了兩種并聯機構在運動學原理上的區別在于因螺旋副的存在，在轉動的同時會引起附加的位移，導致了驅動分支桿長的耦合變化。

2) 對3UPHU-S并聯機構進行深入分析，得到了該機構的運動學反解方程，并研制了3UPHU-S并聯機構實驗樣機進行了實驗驗證， 驗證了基于含復合轉動直線驅動單元的并聯機器人運動學原理分析的正確性。研究成果對基于簡化設計的并聯機器人分析、設計及其控制具有重要的參考價值。