計及ψ-i 型JA磁滯電感的變壓器鐵芯仿真建模及驗證

鄒 密

（重慶郵電大學自動化學院，重慶400065）

0 引 言

變壓器是電力系統中最關鍵的設備之一，其電磁暫態建模時，從變壓器組成結構上看，通常需要計及變壓器繞組和鐵芯兩部分［1-3］。變壓器繞組對應為變壓器電路結構，通常為線性模型，可用一定結構的電阻和電感等值電路模擬［4-6］；變壓器鐵芯為變壓器磁路結構，鐵芯通常由鐵磁材料制造而成，鐵芯在變壓器運行過程中將傳導主磁通，具有非線性磁滯特性［7-9］。

鐵芯非線性磁滯特性及動態損耗特性是影響變壓器低頻電磁暫態過程非常關鍵的因素，變壓器鐵芯模型的精確程度直接影響著整個電力系統電磁暫態仿真結果的精確性［10-11］。現有變壓器低頻電磁暫態模型研究中，常采用單值磁化曲線來模擬變壓器鐵芯的非線性特性，該處理方法能夠在一定程度上體現鐵芯的非線性特性［12］。變壓器的非線性特性不僅包含飽和特性，還包含磁滯效應，采用單值初始磁化曲線會造成電磁暫態分析結果誤差偏大，降低整個系統的電磁暫態仿真結果的可信度［13］。在動態損耗表征方面，鐵芯損耗將直接影響鐵磁諧振等低頻電磁暫態過程中電磁能量的轉換，若僅考慮鐵芯靜態磁滯損耗特性，忽略渦流損耗以及額外損耗，將會造成較大的穩態及暫態過電壓、過電流分析誤差［14-15］。

現有磁滯模型通常以磁感應強度B和磁場強度H為輸入和輸出，該類B-H型磁滯模型主要面向于磁性材料特性的應用，難以在以電壓和電流為基準的電磁暫態仿真（Electromagnetic Transient Program-Alternative Transients Program，EMTP-ATP）類軟件中采用軟件底層模塊或語言實現［16-17］。由于現有研究方法在處理變壓器磁滯特性和動態損耗特性等方面的不足，建立更準確的變壓器鐵芯仿真模型仍然是本領域的研究難點和重點。

以傳統B-H型Jiles-Atherton（JA）磁滯方程為基礎，結合電磁暫態仿真中JA 磁滯模型微分方程表達式，提出ψ-i型JA 磁滯模型，并基于磁感應強度與電壓以及磁場強度與電流之間關系，推導建立電壓驅動型動態ψ-iJA磁滯電感模型，研究在EMTP-ATP 中采用Type-94 元件以及Model language 實現上述磁滯電感的流程和步驟，并以單相鐵磁諧振試驗結果為依據，驗證變壓器鐵芯仿真模型的正確性。

1 變壓器鐵芯模型

1.1 經典JA磁滯模型

經典JA 磁滯模型是由Jiles 和Atherton 兩位學者［18］在1984 年提出，并通過試驗進行驗證，其基本思想是磁化過程中磁疇和磁疇壁的彎曲和平移。由能量平衡方程可得靜態JA磁滯模型：

式中：H為磁場強度；M為磁化強度；Ms為飽和磁化強度；a為無磁滯磁化曲線形狀參數；c為磁化因數，可以通過試驗測得；α 為平均場參數，反映磁疇間的耦合；μ0為真空磁導率；k為牽制系數；δ 為方向系數，當dH/dt≥0 時，δ ＝1；當dH/dt＜0，δ ＝ -1。

1.2 ψ-i型JA磁滯模型

由安培環路定律可知，磁感應強度B與磁鏈ψ為線性關系，磁場強度H與電流i存在線性關系，定義連續性方程：

式中：ih為磁場強度電流，im為磁化強度電流，L0為飽和電感，其值與真空磁導率、面積以及繞組匝數等相關。

在經典JA 磁滯模型中，將式中dMan/dH用代替，并將Man、Ms、He、M、H分別用相應電流分量iman、imsat、ieff、im、ih替換，可得到如下ψ-i型JA模型：

式中：ieff為有效電流；ieff＝ih+ αim；iman為無磁滯磁化電流；imsat為飽和磁化電流；δ 為電流方向參數，當dih/dt＞0 時，δ ＝1；當dih/dt≤0 時，δ ＝ -1；其余參數與式（2）中對應參數具有相同物理意義。

1.3 JA磁滯電感的實現

在EMTP-ATP中實現ψ-i型JA磁滯電感，其元件連接如圖1（a）所示。

圖1 ψ-i型JA磁滯電感

具體計算步驟：

步驟1設當前EMTP-ATP 計算時間為t，Norton電流源前一時刻參數g［t-Δ（t）］和I［t-Δ（t）］以及當前時刻輸入電壓u（t）已知；

步驟2通過EMTP-ATP 中HISTORY 語句可以保存上一時刻參數u［t- Δ（t）］，ψ［t- Δ（t）］，ih［t-Δ（t）］，im［t-Δ（t）］，iman［t- Δ（t）］以及ieff［t-Δ（t）］；

步驟3采用Integral 語句可以計算此時的磁鏈ψ（t）以及磁鏈增量Δψ，定義磁滯電流變化量最大值為Δihmax＝ Δψ/L0，并據此計算此時ih（t）和im（t），Q為靜態磁滯電流比例系數，其取值范圍為［0，1］）；

步驟4計算有效電流ieff（t）＝ih（t）+αim（t），并據式（4）計算無磁滯磁化電流iman（t）；

步驟5判斷（iman-im）δ 正負，并據式（5）計算dim/dih；通過計算得到的dim/dih修正Q，直到Q滿足要求為止，則完成t時刻的JA微分方程求解。在整個循環計算過程中Q為一個變化的系數不斷更新，直至每次計算出的dim/dih滿足要求為止，Q的初始值設置為0.5。

在Type-94 元件前串聯變比為1∶1的單相理想變壓器，其目的在于Type-94 元件在EMTP-ATP 中默認為內部接地，串聯理想變壓器后，可將默認接地的Type-94 元件轉換為不接地，便于該磁滯電感用于變壓器鐵芯各磁支路建模，在理想變壓器入口接有阻值為10 MΩ的電阻Rinf，主要用于保持仿真時數值穩定性，在Type-94 元件上方接有TACS積分元件，可將電壓積分值直接輸出。將圖1（a）在ATPDraw 采用compress命令壓縮后，對其輸入、輸出接口以及圖標進行編輯，可得如圖1（b）所示的等效電感。

2 鐵磁諧振仿真模型

基于上述動態ψ-iJA磁滯電感，在EMTP-ATP 中建立單相鐵磁諧振仿真電路如圖2 所示，其中u為系統電源，Cs為串聯電容，Cg為對地并聯電容，ATP＿DJA為模擬變壓器的磁滯電感。文獻［19］中指出，鐵磁諧振更容易發生在變壓器或PT 空載或者輕載時，系統串聯阻抗相對于容抗而言很小，可忽略串聯阻抗。由于鐵磁諧振對系統初始條件非常敏感，仿真與試驗采用相同初始條件，即電容殘壓和變壓器剩磁均為零，仿真步長為1 μs。

圖2 EMTP-ATP中單相鐵磁諧振仿真電路

3 實驗結果及驗證

以上述鐵磁諧振仿真電路為基準，采用低壓自制飽和試驗變壓器開展鐵磁諧振試驗研究，變壓器容量為360 VA，電壓變比為1∶1。圖3 所示為單相鐵磁諧振試驗圖，其中電流測量為Tektronix A622 探頭，電壓波形由Tektronix TDS 1002 示波器存儲。

圖3 鐵磁諧振試驗

當系統參數分別為Us＝40 V；f＝50 Hz；Cs＝253 μF；Cg＝42 μF 時。在t0＝100 ms開關打開，圖4 為此時系統電感電壓時域波形圖。從圖中可以看出，經過約90 ms的暫態過程后，試驗變壓器一次側電壓進入穩定基頻鐵磁諧振狀態。試驗所得穩態電壓峰值為36.71 V，而仿真所得穩態電壓峰值為37.38 V，穩態諧振峰值電壓誤差為1.83%，與此時電源電壓相比，試驗與仿真穩態電壓峰值倍數分別為0. 92 p. u.和0.93 p.u.，即此時穩態諧振電壓相對于電源電壓略微下降。

圖4 基頻鐵磁諧振電壓波形圖

單相分頻試驗與基頻試驗激發鐵磁諧振的方式不同，通過多次反復試驗發現，分頻諧振在開關打開，并聯電容已經并聯好的情況下，直接將開關投入電源才能激發。因此，仿真過程中也是通過投入開關進行激發。當系統參數分別為Us＝ 20 V，Cs＝700 μF，Cg＝20.36 μF 時，在t0＝0 投入電源，圖5 為此時電感電壓時域波形圖，經過約80 ms的暫態過程后，電壓進入穩定分頻諧振狀態（仍含有一定50 Hz分量）。試驗所得穩態電壓峰值為26.19 V，而仿真所得穩態電壓峰值為27.48 V，穩態諧振峰值電壓誤差為4.93%，與此時電源電壓相比，試驗與仿真穩態電壓峰值倍數分別為1.31 p.u.和1.37 p.u.，即此時穩態諧振電壓相對于電源電壓升高。

圖5 分頻鐵磁諧振電壓波形圖

4 結 語

提出了一種電壓驅動型動態ψ-iJA 磁滯電感模型，該電感模型以電壓和電流作為輸入和輸出，不再依賴于B-H磁滯回線求取模型參數，該方法為基于動態JA磁滯模型的變壓器低頻電磁暫態模型的工程應用奠定了基礎。

鐵磁諧振試驗和仿真結果表明，所建立的變壓器低頻電磁暫態模型能夠以較高精度用于電磁暫態仿真，穩態諧振峰值電壓誤差為1.83%和4.93%。