基于張量投票的網格平滑算法

◆徐磊

（遼寧大學 遼寧 110036）

1 引言

近年來，網格去噪技術由于其具有挑戰性的性質而一直處于非常活躍的狀態，目前幾乎沒有什么技術可以有效地處理所有網格。早期的網格去噪方法大部分都是各向同性的，它們不能保護尖銳的幾何特征。與此同時，作為各向同性方法中最具代表性的一員--拉普拉斯平滑算法[1]，該方法實現速度快且易于實現，然而，由于拉普拉斯算子將一個頂點推到它相鄰的凸組合中，這導致了網格收縮。此外，Fleishman 等人[2]首先將雙邊濾波引入數字幾何處理，產生直接應用于頂點的雙邊網格去噪方法；Sun 等人[3]采用了多級框架即首先過濾面法線，然后更新基于濾波后面法線的頂點位置；Wu 等人[4]利用L1范數對ROF 模型進行了增強。

2 基于張量投票的網格去噪算法

2.1 頂點分類

首先將網格頂點v的法向張量投票定義為與1環面相鄰的加權協方差矩陣的和：

因為一個法向投票張量是一個對稱的正半定二階張量，它可以被分解為如下形式：

其中，可以根據張量T的特征值，將三角網格上的一個頂點分類為角點，邊上點和面上點，假如頂點位于拐角或銳邊上，邊緣強度大約是1，如果它位于一個面上，則其值幾乎為0。分類條件為：

2.2 頂點預處理

2.2.1 各向同性平滑

拉普拉斯算子對于低等級的噪聲效果優良，而這里采用拉普拉斯平滑算子的改進形式，定義如下：是未知頂點位置的矢量化形式，

其中，是用戶自定義平滑參數，L是均勻地加權拉普拉斯矩陣，是輸入的的頂點位置的矢量化形式。

2.2.2 網格去噪的正則約束

正則性一般用來刻畫函數的光滑程度，正則性越高，函數的光滑性越好。

其中，L（pi）是拉普拉斯算子的切向分量，npi是頂點pi的法向量，wij是拉普拉斯算子的權重，本文選用傘狀算子即

2.2.3 各向異性L0 濾波

輸入的噪聲網格經過各向同性平滑后，表面幾何特征會變得模糊，體積也會收縮，因此，需要使用各向異性濾波器來突出幾何特征，其公式如下：

其中，p是未知頂點位置，p*是相應基于區域的預濾波后的頂點位置，μ 和γ 是平衡這三項的權值，R（p）是給定的相應正則約束項。

2.3 聯合雙邊法濾波

為了進一步降低噪聲，保留特征，本文采用聯合雙邊法濾波對各向異性處理后的模型進行改善。即借助于已經過過濾的面法線場來定義頂點更新問題：

3 結果分析

圖1 依次展示了十二面體噪聲模型（b）經過本文的各向同性平滑（c）、各向異性L0 濾波（d）和聯合雙邊法濾波處理后的效果圖（e），即便是高等級噪聲或不規則取樣的干擾，本文算法依然可以魯棒地還原出原始網格模型。

圖1 本文算法執行步驟效果圖

4 總結

本文描述了一個在去除噪聲的同時保留幾何特征（尤其是尖銳特征和淺層特征）的方法，在給定噪聲網格輸入的情況下，首先用改進的拉普拉斯算子對頂點進行濾波，然后添加各向異性L0 濾波強化特征，之后，使用了一種改良的聯合雙邊濾波方法來處理輸入網格的法向量場，最后利用濾波后的面法線更新頂點位置。在各種噪聲模型上的實驗證明了該方法在保留尖銳（高曲率）和淺層（低曲率）特征方面的有效性，本文方法在恢復給定模型的幾何形狀方面具有很好的性能，也驗證了該算法的魯棒性。