基于分形理論的赫巴流體在多孔介質(zhì)中的滲流模型

楊 仙，盧 偉，金 新，陳 娟，馮興法

基于分形理論的赫巴流體在多孔介質(zhì)中的滲流模型

楊 仙1，盧 偉1，金 新2,3，陳 娟4，馮興法5

(1. 湖南科技大學(xué) 資源環(huán)境與安全工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201；2. 中煤科工集團(tuán)西安研究院有限公司，陜西 西安 710077；3. 中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長沙 410000；4. 湖南科技大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201；5. 中煤科工集團(tuán)重慶設(shè)計(jì)研究院有限公司，重慶 400016)

泥漿是一種用途廣泛的工程漿液，在工程施工過程中會(huì)滲流進(jìn)入地層，給工程帶來一定的影響。為深入研究泥漿的滲流機(jī)理，把地層模擬為多孔介質(zhì)，泥漿模擬為能更全面地反映其流變性能的赫巴流體，基于分形理論，建立赫巴流體在多孔介質(zhì)中的滲流模型。基于滲流模型計(jì)算結(jié)果，詳細(xì)分析壓力梯度、流性指數(shù)、稠度系數(shù)及孔隙率等參數(shù)對(duì)多孔介質(zhì)中赫巴流體瞬時(shí)平均流速的影響，指出流速變化與壓力梯度、流性指數(shù)及稠度系數(shù)的變化均呈冪指數(shù)關(guān)系，與孔隙率變化呈二項(xiàng)式關(guān)系，且流性指數(shù)是一個(gè)影響赫巴流體滲流速度的極敏感因素。滲流模型計(jì)算結(jié)果為相關(guān)工程中泥漿方案的設(shè)計(jì)與施工奠定了一定的理論基礎(chǔ)。

泥漿；赫巴流體；多孔介質(zhì)；分形理論；滲流模型

泥漿是一種用途廣泛的工程漿液，其在鉆井工程、頂管工程、鉆孔灌注樁和地下連續(xù)墻等施工中都是必不可少的[1-2]。工程施工過程中，泥漿會(huì)滲流進(jìn)入地層，給不同的工程帶來有利或不利影響。建立泥漿在地層中的滲流模型，深入研究其滲流機(jī)理，有利于在施工過程中更好地控制滲流過程，增加滲流的有利影響，減小其不利影響。要建立泥漿滲流模型，首先需要選擇泥漿流變模型。當(dāng)前，研究者們常采用賓漢流體和冪律流體描述泥漿的流變性能[3-4]。賓漢流體多用于表征泥漿的塑性特征，冪律流體多用于表征泥漿的假塑性特征，賓漢流體和冪律流體均可看作赫巴流體的一種特殊形式。赫巴模型既能反映泥漿的塑性特征，又能反映其假塑性特征[5]，比賓漢模式和冪律模式更全面，對(duì)于塑性和假塑性均較為明顯的泥漿，采取赫巴流體進(jìn)行模擬更為合適，準(zhǔn)確率最高[6]。分形理論是數(shù)學(xué)家本華·曼德博首先提出的，即用分形分維的數(shù)學(xué)工具來描述研究客觀事物[7]。眾多研究者指出巖土介質(zhì)適宜于使用分形理論來進(jìn)行研究：C. Sparrow[8]指出天然多孔巖土體往往具有良好的分形特征；D. Avnir 等[9]提出了巖土多孔介質(zhì)具有分形特征的概念；J. P. Hansen等[10]用盒子法測得了砂巖的分形維數(shù)；A. J. Katz等[11]和C. E. Krohn[12]基于SEM實(shí)驗(yàn)，結(jié)合分形理論表征出砂巖的孔隙結(jié)構(gòu)；郁伯銘團(tuán)隊(duì)較全面地論述了多孔介質(zhì)輸運(yùn)性質(zhì)的分形分析理論[13-17]；員美娟等[18]基于服從分形分布的彎曲毛細(xì)管束模型，運(yùn)用分形幾何理論推導(dǎo)出卡森流體在多孔介質(zhì)中流動(dòng)的流量、流速、啟動(dòng)壓力梯度和有效滲透率的分形解析解；萬秀峰[19]在研究砂卵石地層水泥–水玻璃復(fù)合注漿加固時(shí)，基于分形理論，把漿液簡化為賓漢流體，推導(dǎo)其在地層中的滲透模型；周子龍等[20]根據(jù)分形理論推導(dǎo)出孔隙通道的曲折效應(yīng)方程，并通過冪律流體本構(gòu)方程導(dǎo)出考慮孔隙曲折效應(yīng)的漿液擴(kuò)散模型。由上述研究可以看出，已有研究基于分形理論，把工程漿液模擬為賓漢流體和冪律流體，研究其在巖土體中的滲流機(jī)理。考慮到對(duì)于某些塑性和假塑性均較為明顯的泥漿，采取赫巴流體描述流體特性更全面、更準(zhǔn)確，本研究中把地層巖土體簡化為多孔介質(zhì)，泥漿模擬為赫巴流體，基于分形理論建立了赫巴流體在多孔介質(zhì)中的滲流模型，并對(duì)其計(jì)算結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)分析。

1 赫巴流體在單根圓直管中的滲流模型

要研究赫巴流體在多孔介質(zhì)中的滲流模型，首先，需要研究赫巴流體在圓直管中的滲流模型。赫巴流體在圓直管中的滲流情況如圖1所示。

圖1 赫巴流體在圓直管中的滲流示意

在圖1中，針對(duì)流體單元柱元素，有如下表達(dá)式：

式中：為注漿壓力；為流體流經(jīng)的距離；為剪切應(yīng)力；為徑向距離；d/d為壓力梯度。

赫巴流體本構(gòu)方程：

由式(1)和式(2)得到：

當(dāng)0≤≤p時(shí)，每一層流體相對(duì)于鄰層，保持靜止?fàn)顟B(tài)，速度均相等。當(dāng)p<≤0時(shí)，每一層流體相對(duì)于鄰層，保持運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，速度不相等。

假設(shè)赫巴流體的流動(dòng)方式為層流，則邊界條件為：當(dāng)=0時(shí)，=0。

當(dāng)p<≤0時(shí)：

結(jié)合邊界條件及式(4)和式(5)，可得：

當(dāng)0≤≤p時(shí)：

假設(shè)

圓管中，赫巴流體的流量是通過相對(duì)靜止區(qū)(0≤≤p)和相對(duì)運(yùn)動(dòng)區(qū)(p<≤0)兩部分的流量總和：

式中：0為管道半徑；p為塞流層半徑；p為塞流層流速；為單管流量。

2 多孔介質(zhì)分形理論基礎(chǔ)

根據(jù)分形理論，多孔介質(zhì)孔隙大小分布在一定范圍內(nèi)，且在統(tǒng)計(jì)上滿足分形標(biāo)度關(guān)系[21]：

式中：表示尺度；()表示物體的體積、面積、質(zhì)量或曲線長度等指標(biāo)；f為分形維數(shù)，取值0~2。分形物體累計(jì)數(shù)與顆粒大小的分布也滿足如下的標(biāo)度關(guān)系[21]：

式中：max為最大孔隙尺寸；為孔隙尺寸。

對(duì)式(11)進(jìn)行微分，得到：

多孔介質(zhì)的隨機(jī)彎曲通道長 度T可根據(jù)分形理論得出[17]：

式中：0為通道的直線長度；T為迂曲度分形維數(shù)；T=1時(shí)表示毛細(xì)通道是直線；T取值范圍為1~2。從式(13)可以看出，T和半徑有關(guān)，越大，則T越小。

對(duì)式(13)微分可得到：

孔隙分形維數(shù)計(jì)算f公式如下[17]：

多孔介質(zhì)迂曲度分形維數(shù)T計(jì)算公式如下[17-20]：

流線迂曲度的表達(dá)式為[17-20]：

多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)計(jì)算公式為[17]：

式中：，為多孔介質(zhì)的平均粒徑。

多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)于流體在多孔介質(zhì)中的滲流影響很大。如，單個(gè)孔隙大小直接影響滲透率和滲流速度，小孔體積占巖樣孔隙總體積的比例越大，其滲透率和滲流速度就越小。根據(jù)毛管模型理論與達(dá)西定律的關(guān)系可知，滲透率的平方根與平均孔隙半徑成正比[22]。在分形理論中，充分考慮了多孔介質(zhì)的結(jié)構(gòu)參數(shù)問題，因此，新建立的滲流模型能夠更好地表征實(shí)際滲流情況。

3 赫巴流體在多孔介質(zhì)中的滲流模型

在多孔介質(zhì)中，流體實(shí)際滲流路徑有一定的隨機(jī)性，可看作是彎曲管道中的滲流，如圖2所示。

圖2 赫巴流體在多孔介質(zhì)中的滲流示意

因此，在式(8)中用T代替，并假設(shè)：

則：

3.1 赫巴流體在多孔介質(zhì)中的流量

由于多孔介質(zhì)中彎曲的管道大小不一，且在統(tǒng)計(jì)學(xué)上服從分形冪規(guī)律，因此，多孔介質(zhì)橫截面的總流量可以通過積分計(jì)算得到：

式中：為多孔介質(zhì)橫截面的總流量。

假設(shè)：

則：

該積分沒有解析解，可使用MATLAB計(jì)算其數(shù)值解。

3.2 赫巴流體在多孔介質(zhì)中的流速

多孔介質(zhì)橫截面積的計(jì)算公式如下：

式中：為多孔介質(zhì)的橫截面積。

用式(26)除以式(27)即可得到赫巴流體在多孔介質(zhì)中的平均速度。

4 模型計(jì)算結(jié)果與分析

4.1 流速與壓力梯度之間的關(guān)系

圖3 流速隨壓力梯度的變化關(guān)系

由圖3可以看出，壓力梯度與流速之間的關(guān)系符合冪指數(shù)關(guān)系，隨著壓力梯度的增加，流速逐步增加，且流速增加的趨勢越來越明顯，這與實(shí)際工程中的狀況是一致的。本模型計(jì)算的是單位時(shí)間的流量和瞬時(shí)流速，因此，把壓力梯度作為一個(gè)常量代入式(28)。但在實(shí)際工程中，如注漿等施工時(shí)，隨著漿液從注漿口往多孔介質(zhì)彎曲通道中的擴(kuò)散時(shí)間和擴(kuò)散距離的增加，壓力梯度是逐步降低的。因此，如果涉及到注漿時(shí)間累積的計(jì)算時(shí)，壓力梯度不能當(dāng)作常量進(jìn)行計(jì)算。

4.2 流速與n、k值之間的關(guān)系

當(dāng)赫巴流體本構(gòu)方程的相關(guān)參數(shù)=0.9，0=10 Pa時(shí)，變化值，通過式(2)計(jì)算其剪切應(yīng)力。當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度為600 r/min(1 022 s–1)時(shí)，不同值對(duì)應(yīng)的赫巴流體剪切應(yīng)力見表1。

表1 n值變化時(shí)赫巴流體剪切應(yīng)力計(jì)算值

當(dāng)赫巴流體本構(gòu)方程的相關(guān)參數(shù)=0.6，0=10 Pa時(shí)，變化值，通過式(2)計(jì)算其剪切應(yīng)力。當(dāng)旋轉(zhuǎn)速度為600 r/min(1 022 s–1)時(shí)，不同值對(duì)應(yīng)的赫巴流體剪切應(yīng)力見表2。

圖4 流速隨流性指數(shù)n值的變化關(guān)系

表2 k值變化時(shí)赫巴流體剪切應(yīng)力計(jì)算值

圖5 流速隨稠度系數(shù)k值的變化關(guān)系

由圖4、圖5可以看出，流速與赫巴流體本構(gòu)參數(shù)、值之間的關(guān)系均呈冪指數(shù)關(guān)系。結(jié)合表1、表2可知，、值越大，剪切應(yīng)力越大，流速越小。值變化比值變化對(duì)剪切應(yīng)力影響更大，值變化對(duì)流速的影響也更大。結(jié)合圖4、圖5中曲線趨勢及式(2)可知：當(dāng)值不變、值變化，或值不變、值變化，使得兩種赫巴流體的剪切應(yīng)力相同時(shí)，值小的流體，其流速會(huì)遠(yuǎn)大于值更小的流體。由此可見，對(duì)于赫巴流體流速而言，值的變化是一個(gè)極敏感因素。由此可知，要更好地控制泥漿在多孔介質(zhì)中的滲流，簡單地控制黏度不一定能達(dá)到預(yù)期的目的，更為科學(xué)的方法是綜合控制、值，特別是選取合適的值范圍，對(duì)流體滲流速度影響很大。

4.3 流速與孔隙率之間的關(guān)系

圖6為根據(jù)式(28)計(jì)算出來的流速隨孔隙率的變化關(guān)系。選取的計(jì)算參數(shù)有：赫巴流體本構(gòu)方程的相關(guān)參數(shù)=0.6，=0.9，0=10 Pa；計(jì)算選取的多孔介質(zhì)相關(guān)參數(shù)有max=0.05 m，min=0.000 5 m；壓力梯度d/d=200 kPa/m。

圖6 流速隨孔隙率的變化關(guān)系

由圖6可以看出，流速與多孔介質(zhì)孔隙率之間的關(guān)系呈二項(xiàng)式關(guān)系，孔隙率越大，流速越大，且隨著孔隙率的增加，流速增加的趨勢越來越明顯。當(dāng)孔隙率由30%增加到45%時(shí)，流速增加2.3倍；當(dāng)孔隙率由30%增加到60%時(shí)，流速增加7倍。這也解釋了在實(shí)際工程中孔隙率對(duì)滲流影響極大的深層原因。

本節(jié)中根據(jù)所建立的赫巴流體在多孔介質(zhì)中的滲流模型，著重對(duì)施工參數(shù)(壓力梯度)、流體特性參數(shù)(、值)以及巖土體特性參數(shù)(孔隙率)等對(duì)瞬時(shí)滲流平均流速的影響進(jìn)行了計(jì)算與分析，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際工作狀況相吻合。基于建立的滲流模型，還可以進(jìn)一步分析流體的啟動(dòng)壓力梯度、有效滲透率等與各類參數(shù)之間的關(guān)系；引入時(shí)間因子，還能進(jìn)一步建立滲流擴(kuò)散模型，研究泥漿在巖土體中的擴(kuò)散半徑、擴(kuò)散過程中壓力的衰減以及滲流全程平均流速變化規(guī)律等。

5 結(jié)論

a. 把地層簡化為多孔介質(zhì)，泥漿模擬為赫巴流體，基于分形理論，建立了赫巴流體在多孔介質(zhì)中的滲流模型，并對(duì)滲流模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了分析研究。研究結(jié)果顯示，壓力梯度、赫巴流體本構(gòu)參數(shù)及地層孔隙率均會(huì)對(duì)滲流流速產(chǎn)生影響。

b.壓力梯度與流速之間的關(guān)系符合冪指數(shù)關(guān)系，隨著壓力梯度的增加，流速逐步增加，且流速增加的趨勢越來越明顯；流速與赫巴流體本構(gòu)參數(shù)、值之間的關(guān)系均呈冪指數(shù)關(guān)系，、值越大，剪切應(yīng)力越大，流速越小，且為一個(gè)極敏感因素；流速與多孔介質(zhì)孔隙率之間的關(guān)系呈二項(xiàng)式關(guān)系，孔隙率越大，流速越大，且流速增加的趨勢越來越明顯。

c.為了更好地控制泥漿在地層中的滲流，可以基于建立的滲流模型，在施工參數(shù)及泥漿配置方面提出一些措施。且泥漿配置過程中，需綜合控制、值，特別是選取合適的值范圍，簡單地控制流體黏度可能達(dá)不到預(yù)期目的。

d.基于建立的滲流模型，引入時(shí)間因子，則可進(jìn)一步建立滲流擴(kuò)散模型，對(duì)滲流擴(kuò)散半徑、滲流擴(kuò)散過程中的壓力衰減、滲流全程平均流速等進(jìn)行更為全面深入的研究。

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Fractal theory-based seepage model of Hershel-Bulkley fluid in porous medium

YANG Xian1, LU Wei1, JIN Xin2,3, CHEN Juan4, FENG Xingfa5

(1.School of Resource, Environment and Safety Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China; 2. Xi’an Research Institute Co. Ltd., China Coal Technology and Engineering Group Corp., Xi’an 710077, China; 3. School of Geosciences and Info-physics, Central South University, Changsha 410000, China; 4. School of Information and Electrical Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China;5. Chongqing Engineering Co. Ltd., China Coal Technology & Engineering Group Crop., Chongqing 400016, China)

Slurry is a kind of widely-used engineering fluid. Slurry will seeps into the formation in the process of construction, which has a certain impact on the project. In order to make deeper study on the seepage mechanism of slurry, the formation is simulated as porous medium, the slurry is simulated as Hershel-Bulkley fluid which can more comprehensively reflect its rheological properties, and the seepage model of Hershel-Bulkley fluid in porous medium was established based on Fractal theory. Based on the calculation results of seepage model, the effect of pressure gradient, flow index, consistency coefficient and porosity on the instantaneous average velocity of Hershel-Bulkley fluid in porous medium were analyzed in detail. It is pointed out that the change of velocity has a power exponential relation with the change of pressure gradient, flow index and consistency coefficient, and a binomial relation with the change of porosity. The results provide theory basics for design and construction of slurry grouting in relevant projects.

slurry; Hershel-Bulkley fluid; porous medium; fractal theory; seepage model

TE254.1

A

10.3969/j.issn.1001-1986.2020.03.018

1001-1986(2020)03-0122-06

2019-11-11；

2020-01-22

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51678226)；湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2019JJ50150)

National Natural Science Foundation of China(51678226)；Natural Science Foundation of Hunan Province，China(2019JJ50150)

楊仙，1982年生，女，湖北天門人，博士，講師，從事地下工程施工技術(shù)及環(huán)境影響研究.E-mail：yangxjj@163.com

金新，1982年生，男，陜西咸陽人，博士研究生，副研究員，從事煤礦井下坑道鉆探技術(shù)與裝備的研究和推廣工作. E-mail：Jinxin@cctegxian.com

楊仙，盧偉，金新，等. 基于分形理論的赫巴流體在多孔介質(zhì)中的滲流模型[J]. 煤田地質(zhì)與勘探，2020，48(3)：122–127.

YANG Xian，LU Wei，JIN Xin，et al. Fractal theory-based seepage model of Hershel-Bulkley fluid in porous medium[J]. Coal Geology & Exploration，2020，48(3)：122–127.

(責(zé)任編輯 聶愛蘭)