基于經緯儀的光束平差法定向方法改進

王偉瑤 尤智偉 黃 劍

(上海航天設備制造總廠有限公司，上海 200240)

1 引 言

經緯儀工業測量系統因其測角精度高、測試無接觸、測量范圍大、便攜性好等特點，廣泛應用于大尺寸空間三維點坐標測量、準直立方鏡姿態測量等檢測任務中。所謂系統定向，是指確定單臺經緯儀與測量基準坐標系之間的空間六自由度位置關系，即沿坐標系三坐標軸方向的平移、旋轉參數。精確互瞄法和光束平差法是兩種經緯儀系統定向的主要方法。其中，基于前方交會原理的精確互瞄法大量運用于航天、航空、軍工等領域中，基于透視投影原理的光束平差法由于照準精度要求高、解算需要迭代、解算存在危險角度等缺點，使用率不高。然而，隨著工業技術的發展，產品的結構越來越復雜，在許多情況下，經緯儀測量系統需要在非通視條件下進行測試[1]。以通視條件為前提的精確互瞄法無法實現非通視條件下的系統定向。

圖1所示為某航天器總裝精度測試中的測站布局示意圖，按設計要求需保證艙體內部設備與艙體外部設備之間的空間位置參數，艙內外多臺測站間的互瞄光路被產品隔絕。本文所提及的非通視條件，均為圖1所示的部分非通視條件，即僅隔絕互瞄光路。

圖1 航天器艙體精測布局圖

光束平差法不需要測站之間精確互瞄，可選擇具備公共視野的地點放置基準完成定向，可以適應圖1的測試環境。在場地適應性上，脫離了互瞄光路的限制，較之精確互瞄法更加靈活。但是這種定向方法難以消除基準點的照準誤差，每一個基準點的兩個觀測角誤差都會累積影響解算，往往無法得到滿足測試精度的定向結果。針對這種現狀，筆者提出了一種結合兩種定向模型的改進方法，在光束平差法的基礎上加入經過互瞄并解算基線長度的兩臺測站作為基站，修正儀器照準基準公共點時的觀測角誤差，實現在系統內除基站以外所有儀器非通視的限制條件下，維持不低于精確互瞄法的測試精度，完成系統定向。

2 基礎定向方法分析

2.1 光束平差法的簡化

如圖2所示，根據透視投影理論[2]，將經緯儀的水平角、豎直角觀測值轉換為虛擬像平面坐標。以經緯儀T1的垂直大地水平向下為+Y，T1的水平角零位方向為+X，通過右手定則擬合出+Z方向，得到一個測量坐標系O1-X1Y1Z1，同理可得T2的測站坐標系O2-X2Y2Z2。P點在測站坐標系下的點坐標如下:

圖2 光束平差模型示意圖

(1)

式中：x、y、z——分別P點的坐標值；H——兩臺測站的水平角讀數；V——兩臺測站的豎直角讀數；i=1,2。

如果提出一個限制條件，限定所有測站在精確整平后測試，測站2相對測站1的旋轉關系只繞y軸旋轉α°。該限制條件將極大地簡化模型后續的計算，同時也符合大多數場所的測試工狀，經緯儀的電子水泡與補償器可以精確整平儀器。根據坐標系的旋轉、平移關系，P點在左右測站坐標系下的坐標值存在如下對應關系：

(2)

式中：t1、t2、t3——測站1坐標系原點在測站2坐標系下的坐標值。將矩陣轉換為等價的方程組：

(3)

(t1-X2×t3)×[Y2×(-sinα×X1+cosα)-Y1]=

(t2-Y2×t3)×[X2×(-sinα×X1+cosα)-(cosα×X1+sinα)]

(4)

若將等式兩邊同除以t3[3]，并將旋轉角的正弦值作為變量，余弦值按正負號分情況討論，可進一步化簡為如下形式(假設余弦值為正)：

(5)

公式(5)包含了3個未知參數L1、L2、r，使用測站1與測站2瞄準1個空間點和一根長度為d的基準尺的兩側端點，可以得到3組類似式的對應關系，將這三組關系式聯立成方程組，通過牛頓迭代法解算出旋轉角r和平移比值L1、L2。根據基準尺長度d，以下式解算t3，從而得到兩測站間的所有定向參數：

(6)

(7)

式中：X1、X2、Y1、Y2——分別為測站1與測站2觀測空間點P時的角度讀數相關三角函數，X11、X12、Y21、Y22——分別為兩臺測站觀測基站尺兩端點時的角度讀數相關三角函數。

2.2 定向誤差的實用性分析

通過三組測試數據，由公式(5)改寫為以下關系式：

F=f1+f2+f3=0

(8)

式中：f1、f2、f3——分別對應一組觀測值。代入公式(5)得到的多項式

將F以泰勒級數展開，假設觀測角的測量誤差在±3″區間內，可將觀測角讀數與迭代所得定向參數視為近似值，忽略二次項以上多項式，得到以下關系式：

(i=1,2,j=1,2,3)

(9)

從公式(9)可見，如果六項觀測角多項式的任意一項存在誤差，為了滿足和為0的條件，都將使三項定向參數產生偏差，三個空間點的測量誤差將累積影響定向參數。光束平差法直接將帶有照準誤差的測角讀數作為方程組系數，方程組的解指向錯誤的定向位置。在該位置，測站視準軸以帶有照準誤差的測角讀數在空間點P處完美交會。模型內缺少其他精度更高的參數構造約束條件來判斷照準誤差、定位誤差。

3 改進方法

3.1 引入約束

為了解決這個問題，在多臺儀器聯機測試模型內添加兩臺已經精確互瞄并解算基線長度的經緯儀作為基站。在測試圖1所示的艙體時，因為兼顧并行工序的要求以及現場場地的限制，為了滿足測試艙體內部基準立方鏡與艙外設備的相對位置關系的設計要求，在諸多限制下只得如圖3所示布局儀器，組成測量坐標系。僅艙內的兩臺測站T1、T2具備互瞄條件，艙外其余測站所有的互瞄光路被隔絕。將T1、T2精確互瞄并選作基站，在具備公共視野的區域與基站同時測量基準尺兩端與兩個空間點位靶標，用光束平差法解算各測站相對T1、各測站相對T2的旋轉、平移參數。該方法在完成初步定向的同時，兩臺基站T1、T2可對其余測站形成虛擬互瞄軸約束。

3.1.1虛擬互瞄軸約束

如圖3所示，以修正T3的定向參數為例，當三個式(5)形成的方程組有解時，T1與T3的視準軸必定以指定角度的水平角、豎直角兩兩相交，且交點位于基準尺兩端與空間點位靶標。根據三角形相似原理可證以T1、T3的連線上任意一點作為測站中心，以相同零位、水平、豎直角讀數形成的視準軸都將與T1的視準軸相交。同理，T2與T3照準相同的基準點后也能指定一條相同的連線。當T1、T2照準基準點的觀測角為真值時，T3的測站坐標必定位于T1-T3連線與T2-T3連線的交點處。這兩條連線即T1、T2與T3互瞄時的互瞄視準軸線，在非通視條件下是無法測量到的，但可以通過光束平差法解算得到的平移參數比值確定，因此將這兩根軸線稱之為虛擬互瞄軸。該條件是T1、T2兩臺儀器同時對T3形成的，約束了T3相對基準的旋轉與平移參數比例，即T3初始零位固定，且測站中心位置與虛擬互瞄軸交點重合。

圖3 測站定向投影示意圖

3.1.2基線長度約束

同時基線長度對T3的測站位置形成另一個約束。如圖4所示，在虛擬互瞄軸上，T3存在唯一位置滿足照準軸交點間的點距與基準尺長度d相等。該條件建立了T1或T2單臺儀器與T3的空間關系，約束了T3與該儀器之間的基線長度，確定了T3在虛擬互瞄軸上的具體位置。

3.1.3定位精度判定條件

通過牛頓迭代法分別解算T1與T3、T2與T3的光束平差方程組，可以得到兩組滿足基線長度約束的T3測站坐標。如果T3不存在照準誤差，則這兩組T3測站坐標與虛擬互瞄軸交點必定三點重合。然而，考慮到照準誤差的累積，部分交會角不理想，滿足三點重合條件的測站位置并不唯一。為了剔除粗差、方便后續平差，因此T3與T1、T2還需觀測第四個基準點，以此驗證在滿足三點重合條件的測站位置上，以規定角度形成的視準軸能否與T1、T2的視準軸在第四點交會，確保測站位置的唯一性。所以，三點重合條件與第四點交會條件可當作解算、編程時的判定條件，來判斷光束平差法的定位精度是否符合要求。

圖4 視準軸相交示意圖

3.2 約束條件的計算

3.2.1 虛擬互瞄軸的單位向量

如上文虛擬互瞄軸約束介紹，雖然基站T1、T2與T3無法互瞄，但仍能解算出T1、T2指向T3時的單位矢量。以T1為例，根據公式(4)，建立T1與T3的定向關系，兩邊同除以t2：

(10)

以三組空間點位的觀測數代入式(10)中，以牛頓迭代法求解，可得到T3相對T1的平移參數對t2方向分量的比值M1、M3。同理，由式(5)的解算結果，可得到T3相對T1的平移參數對t3分量的比值L1、L2。按符號象限分別計算T1指向T3時的水平角θ和豎直角ε：

(11)

(12)

根據水平角θ與豎直角ε，同時通過建立基準時的互瞄值已知該測站零位相對基線的旋轉角φ，可得T1的旋轉矩陣：

(13)

矩陣R第一列元素是X軸的三個分量，即為虛擬互瞄軸的單位矢量：

(14)

3.2.2兩虛擬互瞄軸的最短距離中點

假設T1虛擬軸矢量為μ，T2虛擬軸矢量為γ。T1測站坐標指向T2測站坐標的矢量為ω。當兩虛擬軸在T1-T2測量坐標系下取到最短距離時，各自直線上的最近點坐標對應向量為：

(15)

兩點距離為最大不相交誤差，它們的中點為虛擬互瞄軸的相交坐標，下文簡稱虛擬相交坐標。

3.3 照準誤差的修正

比較虛擬相交坐標與光束平差方程解算坐標，若虛擬相交坐標與解算坐標重合，且T3與T1、T2在基準點P4上的交會，則說明T3的照準誤差符合精度要求；反之，若以上兩個條件有其中之一沒有達成，則說明定位誤差過大，照準基準點的水平角、豎直角讀數需要修正。

假設T3的照準精度存在±2″的誤差，將這組照準讀數視為近似值。筆者在本文提出以1″為精度遍歷T3的6個觀測角讀數在±2″區間內所有數值，對每一個數值都進行三點重合與第四點交會判定，循環執行直到找到一組符號定向精度的照準讀數，使之對應的解算結果同時滿足上文提到的約束條件。該方法計算量大，迭代次數多且耗時。但是判斷條件明確，如果測量誤差在規定的區間內，必定可以得到高精度的定向數據。通過編程可以大量節省運行時間，預設的遍歷區間越大，運行時間越久。使用clock函數計算執行一次迭代所消耗的時間為0.025s。遍歷±2″的所有值，理論上每層循環需要遍歷-2″至+2″的5個浮點型數字，6層循環需要執行15625次迭代，運行時間為390.625s。

3.4 基準最大不相交誤差分配

上文所示的約束計算方法中，T1、T2的測點角度讀數都是作為方程組系數加入解算，如公式(9)分析，是影響解算精度的誤差來源之一，需要較高的測量精度。然而點位的測試精度依靠測試人員的人眼保證，可靠性有待驗證。為了提高觀測質量，不僅需要作多余觀測，同時也需要將最大不相交誤差平均分配給兩臺基站，以消除兩臺基站點位不交會的矛盾。如圖5所示，假設T1、T2的以滿足最大不相交誤差的前提下測量基準點，得到符合兩根視準軸最短不相交距離的中點坐標。分別連接T1、中點與T2、中點，得到的兩根新的照準軸對應的觀測角即為修正后的值。

圖5 視準軸交會誤差示意圖

4 試驗數據

為了驗證上文方法的實用性，本文將通過一組定向實驗，以精確互瞄法作為參照，對比新方法修正后的定向效果。將六臺經緯儀以及基準尺、基準點按圖3所示方位布置，模擬圖1所示的艙體測量環境。先使用精確互瞄法標定測站，通過測試軟件MetroIn[4]得到的觀測值和解算結果如表1所示。

表1 精確互瞄法定向結果Tab.1 Orientationresultofmutualcollimationmodel測站名X(mm)Y(mm)Z(mm)RX/(°)RY/(°)RZ/(°)T1000002.3158T23006.6400-0.0050-0.27800032.3361T3-1762.90703657.65104.14300.00060.000797.4402T4-1400.6380-2130.66208.5910359.99930.0004203.2849T54429.06403503.598020.47600.00050.000149.8925T64008.2380-2183.981010.0580359.9992359.9995129.8623

以1～2測量坐標系為基準，假設除T1、T2以外其他測站皆無法互瞄，且只能觀測到相應單側基準。表2為牛頓迭代法解算得到的測站關系轉換到1～2測量坐標系下的結果，每臺儀器都存在±3″的照準誤差。

表2 光束平差法定向結果Tab.2 Orientationresultofbundleadjustmentmodel測量坐標系下X(mm)Y(mm)Z(mm)RX/(°)RY/(°)RZ/(°)T1^T3-1762.89303657.30494.22180097.4165T1^T4-1400.6599-2130.60168.569400203.2865T1^T54426.65803503.342320.47100049.9227T1^T64008.0456-2183.748110.047000129.8573T2^T3-1760.24613657.39684.22000097.4021T2^T4-1400.2166-2129.95278.561800203.3043T2^T54427.04353503.187720.46720049.9134T2^T64008.2188-2184.016110.045700129.8635

計算約束條件，T1、T2指向其它測站的虛擬互瞄軸相交坐標表3所示：

表3 虛擬互瞄軸相交坐標Tab.3 Intersectingpointcoordinateofvirtualmutualcollimationaxises測量坐標系下X(mm)Y(mm)Z(mm)T3-1761.18153658.11454.2218T4-1400.2411-2129.96458.5643T54427.3183503.864620.4726T64008.1127-2183.784710.0459

從數據判斷，迭代所得的測站坐標與虛擬互瞄軸相交坐標不重合，并且與精確互瞄法的定位參數對比，發現存在毫米級的定位偏差。對測量結果進行修正，修正后的定向參數如表4所示：

兩種定向方法的效果對比如表5、表6所示。

試驗數據表明，光束平差法在未修正前，3″的照準誤差將使測站零位角度偏離2′，測站坐標偏離2mm以上。修正后的角度精度可控制在10″以內，測站坐標精度約為0.1mm。

5 結束語

本文在經緯儀光束平差法的基礎上，對解算模型加以簡化，以兩臺已經定向完成的測站作為新的基準，建立了新的約束條件，修正了其余測站定向階段基準點照準的累積誤差，有效提升了定向精度。然而改進后的光束平差法解算效率低、照準精度要求高的缺點依然存在，對于基準點觀測角誤差與定位誤差之間的函數關系有待進一步的研究總結，以生成新的算法代替遍歷法更高效地修正誤差。

表4 修正結果Tab.4 Modifiedorientationresultofbundleadjustmentmodel點距坐標X(mm)Y(mm)Z(mm)RX/(°)RY/(°)RZ/(°)1^3-1762.90763657.64944.14260097.43962^3-1762.90753657.65024.14280097.43981^4-1400.6171-2130.63268.579400203.28572^4-1400.6189-2130.63358.579100203.28561^54428.99733503.440620.45300049.89362^54428.99833503.442420.45320049.89361^64008.2738-2183.927710.048100129.86032^64008.2734-2183.930710.048700129.8604

表5 修正前數據偏差Tab.5 Unreviseddeviationrelativetomutualcollimationmodel修正前X(mm)Y(mm)Z(mm)RX/(°)RY/(°)RZ/(°)T1^T3-0.01390.3460-0.07880.00060.00070.0237T1^T40.0219-0.06030.0216359.99930.0004-0.0015T1^T52.40590.25560.00500.00050.0001-0.0301T1^T60.1923-0.23280.0110359.9992359.99950.0049T2^T3-2.66080.2541-0.07700.00060.00070.0380T2^T4-0.4213-0.70920.0292359.99930.0004-0.0194T2^T52.02040.41020.00880.00050.0001-0.0209T2^T60.01910.03510.0123359.9992359.9995-0.0011

表6 修正后數據偏差Tab.6 Modifieddeviationrelativetomutualcollimationmodel修正后X(mm)Y(mm)Z(mm)RX/(°)RY/(°)RZ/(°)T1^T30.00060.00150.00030.00060.00070.0005T1^T4-0.0208-0.02930.0115359.99930.0004-0.0007T1^T50.06660.15730.02290.00050.0001-0.0011T1^T6-0.0358-0.05320.0098359.9992359.99950.0019T2^T30.00050.00070.00010.00060.00070.0004T2^T4-0.0190-0.02840.0118359.99930.0004-0.0007T2^T50.06560.15550.02270.00050.0001-0.0011T2^T6-0.0355-0.05020.0092359.9992359.99950.0018