一加一，有可能不等于二？

涂小圖

在日常生活中，我們的大腦對很多事物都形成了習慣。比如數字，習慣于使用十進制的我們能夠輕易地算出“1+1=2”，但是卻很難對計算機里的二進制數字有直觀的感受。十進制在今天的普遍使用，只不過是人類在生物學上一次偶然進化的結果而已：我們當中的絕大多數人，生來就有10個手指、10個腳趾。除了十進制，二進制、八進制等其他進制又有什么不同呢？

十進制與二進制

十進制計數的規則：①基數為10;②有0—9共10個數字;③逢10進1，借1當10。

二進制計數的規則：①基數為2;②有2個數字，即0和1;③逢2進1，借1當2。

十進制數可以由多位組成，從右向左依次為個位、十位、百位、千位、萬位，等等;與此類似，二進制也可以由多位數組成，從右向左分別為1位、2位、4位、8位、16位，等等。同學們是不是感覺二進制的位數很奇怪，中間似乎還缺了好多位？其實這是我們從十進制數的角度來看二進制數而產生的一種錯覺。

如上表所示，當二進制產生進位時，對應的十進制數為2、4、8、16、32、64、128……二進制雖然只有0和1兩個數字，但是由于數字所處的位置不同，表示的數據也不同。例如二進制數1011共有4位，由3個1和1個0組成，各個數字所處位置不同，所代表的大小也不同，各個數字所處位置在數學上稱作“權”。

二進制數1011從右向左順序各位表示的含義：第一個1表示1的個數，第二個1表示2的個數，第三個0表示4的個數，第四個1表示8的個數。同學們可以類比一下：十進制數1011是由1個1000、0個100、1個10、1個1組成的;二進制數1011是由1個23、0個22、1個21、1個20組成的。

按二進制數1011各位的權列出：1101（二進制）=1×23+0×22+1×21+1×20=11，按這種權展開式，可以很方便地將二進制數轉換為十進制數。

相應地，十進制數轉換成二進制數通常采用“除2取余，逆序排列”的方法。具體做法是用2整除十進制數，可以得到一個商和余數;再用2去除商，又會得到一個商和余數;如此反復，直到商為0而止。然后，再把先得到的余數作為二進制低位，后得到的余數作為二進制高位，依次排列。

舉個例子，將十進制數11轉換為二進制數1011：

11÷2=5……1

5÷2=2……1

2÷2=1……0

1÷2=0……1

目前幾乎所有的計算機內部的邏輯電路都采用了二進制，這是因為電路中通常只有兩個狀態，如開關的“開”和“關”、電壓的“高”和“低”、電流的“正”和“負”等，這些狀態正好可以用數字“1”和“0”表示，十分方便。采用二進制可以使計算機的結構更加簡單可靠，提高計算速度。

二進制的計算規則

【加法】只有以下4種可能（逢2進1）：

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

對于多位二進制數相加，進位采用“逢2進1”的方式，如表2所示，同學們可以動手列出豎式嘗試計算。

對于多位二進制數相減，借位采用“借1當2”的方式，如表3所示，同學們可以動手列出豎式嘗試計算。

【乘法】只有4種可能：

0×0=0

1×0=0

0×1=0

1×1=1

十進制的乘法怎么算？相信這可難不倒各位同學，畢竟大家在小學時就已經把九九乘法表（乘法口訣）背得滾瓜爛熟了，而二進制的乘法規則相對來說還要更簡單。二進制的乘法可以很簡單地轉換為各位的加法運算，如表4所示，同學們可以動手列出豎式嘗試計算。

我們知道，除法是乘法的逆運算，二進制乘法有4種可能，那除法為什么只有2種呢？這是因為0作為除數是沒有意義的。如表5所示，同學們可以動手列出豎式嘗試計算。

至于比較復雜的乘法和除法運算，都能簡單地轉換為加、減和各位的位移操作，所以一般簡單的計算機只需設計一個加法器來控制位數變動即可。

古代也有進制概念

明白了二進制的原理，八進制也就很容易懂了。其實我們可以從中國古代歷史中找到二進制、八進制的概念，比如八卦。八卦最初其實是古人的一種哲學思想、文字的表述符號，只是后來因為被不少“算命先生”用來忽悠人，而被打上封建迷信的標簽。在八卦中，其實也有二進制和八進制的概念，八卦的基本元素就是陰和陽，我們可以把它們看作二進制中的0和1。需要說明的是，八卦和現代計算機中的二進制原理并無關系，僅僅是一種思想上的巧合。

在上圖中長實線代表“陽”，用中間斷開的線代表“陰”。3種這樣的線條組成8種形狀，相當于用3位二進制數表示8種狀態。

在現代，八進制計數通常采用0—7的阿拉伯數字表示。八進制計數的規則：①基數為8;②由8個數字組成，分別是0、1、2、3、4、5、6、7;③逢8進1，借1當8。

十進制數與其他進制數的轉換

上文中將二進制數轉換為十進制數的方法“按權展開”，同樣適用于將其他進制數轉換為十進制數。請看下面這條按權展開公式，學習了數列知識的同學，是不是感覺很親切呢？

（B表示各進制的基數，n表示位數）

類似地，十六進制計數的規則：①基數為16;②由16個數字（符號）組成，分別是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F;③逢16進1，借1當16。例如同學們可以動手試一試將十六進制數BC0D轉換為十進制數：

BC0D（十六進制）

=11×16（4-1）+12×16（3-1）+0×16（2-1）+13×16（1-1）

=48141

此外，我們使用上文中提到的將十進制數轉換為二進制數的“除基數B取余，逆序排列”方法，同樣可以將十進制數方便地轉換為其他進制的數。