全變分的疊加迭代降噪算法的研究

顏 鼎，呂東澔，張 勇

內(nèi)蒙古科技大學(xué) 信息工程學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014010

1 引言

隨著科技的飛速發(fā)展，信號(hào)的準(zhǔn)確性在實(shí)際應(yīng)用中變得越來越重要，設(shè)備采集到的原始信號(hào)必然夾雜著一定的噪聲，這些噪聲會(huì)對(duì)后期的信號(hào)分析和處理造成干擾。因此，提升信號(hào)降噪的準(zhǔn)確性是非常有必要的，這也是當(dāng)今的研究熱點(diǎn)。傅里葉分析、小波閾值、聚類分析、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解等降噪方法目前應(yīng)用廣泛，但是對(duì)于稀疏信號(hào)的降噪，這些算法會(huì)造成有效信號(hào)的幅值丟失。全變分降噪算法（Total Variation Denoising，TVD）能夠?qū)ο∈栊盘?hào)進(jìn)行有效降噪而且應(yīng)用廣泛，針對(duì)全變分降噪中構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)求取最小值的問題，Selesnick I W等人提出了關(guān)于該問題的不同算法，例如Majorization-Minimum（MM）算法[1]，有效地利用優(yōu)化-最小值的算法找到噪音中的最小值點(diǎn)，但對(duì)峰峰值大范圍跳變的稀疏信號(hào)進(jìn)行降噪會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。Soft算法[2]整體能夠?qū)崿F(xiàn)信號(hào)的降噪，但降噪后的信號(hào)幅值會(huì)丟失準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[3]針對(duì)參數(shù)罰函數(shù)，對(duì)罰函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行約束，以保證目標(biāo)函數(shù)的凸性。但降噪后原信號(hào)的框架會(huì)有所丟失。Graber H L等人[4]對(duì)文獻(xiàn)[1]進(jìn)行改進(jìn)，提出了采用離散時(shí)間濾波器對(duì)MM算法進(jìn)行改善，提升了算法效率，節(jié)省了大量時(shí)間。在信號(hào)平滑性的改善中。文獻(xiàn)[5]提出的算法，把降噪后的信號(hào)變得更加平滑，文獻(xiàn)[6]提出了一種新的小波變換算法對(duì)信號(hào)降噪，高效地提高了降噪信號(hào)的準(zhǔn)確性。文獻(xiàn)[7]聯(lián)系了文獻(xiàn)[2]與文獻(xiàn)[4]中的算法，對(duì)一范數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)，這樣不僅能減少噪聲的影響，同時(shí)還能夠保存目標(biāo)函數(shù)的原特性。Wu K等[8]結(jié)合了MM算法與POB算法，提出了MM-POB算法，有著較強(qiáng)的實(shí)用性。劉盈娣等[9]介紹了基于曲率差分的全變分降噪算法，極大平滑了信號(hào)邊緣的原始信號(hào)，文獻(xiàn)[10-15]解決了分?jǐn)?shù)階全變分和全變分模態(tài)的優(yōu)化問題。

本文提出的基于全變分的疊加迭代降噪算法在TVD算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，通過對(duì)原信號(hào)的差分和疊加形成新的信號(hào)，對(duì)該信號(hào)再進(jìn)行TVD算法的濾波降噪，極大地抑制了噪聲對(duì)信號(hào)的干擾。通過該算法降噪后的信號(hào)與原始信號(hào)框架更加接近，而且提升了信號(hào)幅值的準(zhǔn)確性。

2 TVD降噪原理

TVD算法在降噪領(lǐng)域里應(yīng)用廣泛，該方法的具體思路是把需要降噪的信號(hào)的目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建成一個(gè)凹函數(shù)，對(duì)這個(gè)凹函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，找到凹函數(shù)的最小值，這個(gè)最小值就是利用全變分降噪方式后的降噪后的信號(hào)[2]。

λ為懲罰項(xiàng)的系數(shù)。可構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)：

式中，y∈RN，λ>0。

由于目標(biāo)函數(shù)J(x)為凹函數(shù)，所以能夠被迭代求解出最小值，該最小值即為降噪后的信號(hào)。Nit為需要迭代的次數(shù)。TVD算法可以簡寫成：

TVD算法步驟可總結(jié)如下：

（1）設(shè)置n=1，選擇 λ>0。

（2）對(duì)TVD構(gòu)建的目標(biāo)函數(shù)J(x)求微分。

（3）目標(biāo)函數(shù)中對(duì)二范數(shù)求微分可求，但由于對(duì)一范數(shù)求微分存在多種不同情況，故可設(shè)計(jì)不同算法公式來解決這一問題。

5.根據(jù)對(duì)假設(shè)五檢驗(yàn)得出的結(jié)論，筆者認(rèn)為，除了相關(guān)準(zhǔn)則要完善對(duì)企業(yè)無形資產(chǎn)研發(fā)支出資本化的規(guī)定，會(huì)計(jì)師事務(wù)所在對(duì)企業(yè)進(jìn)行審計(jì)時(shí)，也要更加注意該方面內(nèi)容的審計(jì)，重視報(bào)表附注對(duì)開發(fā)支出的披露，尤其是對(duì)報(bào)表附注披露不規(guī)范的情況實(shí)施相應(yīng)的審計(jì)程序，從第三方角度進(jìn)行監(jiān)督管理，以避免企業(yè)利用準(zhǔn)則的漏洞做出一些違規(guī)舞弊行為，擾亂經(jīng)濟(jì)秩序，誤導(dǎo)報(bào)表使用者做出錯(cuò)誤判斷。

（4）令目標(biāo)函數(shù)微分后的公式為零求得對(duì)應(yīng)最小值的X，該X即為所要求的降噪后的信號(hào)。

（5）n=n+1。

（6）返回步驟（2），依次迭代，直到出現(xiàn)信號(hào)最準(zhǔn)確的代數(shù)為止。

3 本文算法

為了更好地消除噪音對(duì)信號(hào)的影響，基于TVD算法和MM算法的各自優(yōu)點(diǎn)，提出了一種新的降噪算法，其基本思想如下：

首先對(duì)原信號(hào)y進(jìn)行TVD降噪，求得第一次降噪后的信號(hào)x1，如下式表示：

再對(duì)x1進(jìn)行TVD方式降噪得：

隨后用第一次降噪獲得的信號(hào)與第二次降噪獲得的信號(hào)相減，保留了連續(xù)兩次TVD降噪后的信號(hào)框架，得到一個(gè)新的信號(hào)β。

其中，0<α<1,α的數(shù)值是根據(jù)本文算法所迭代的次數(shù)進(jìn)行定義的，具體數(shù)值為迭代次數(shù)的倒數(shù)，通過改變?chǔ)恋臄?shù)值來使本文算法對(duì)迭代次數(shù)有更低的敏感度，以此來提高本文算法的消噪魯棒性，把β進(jìn)行α倍的縮小，再和原信號(hào)相加得到y(tǒng)1。得到的y1不僅包含著原始的y信號(hào)，并且還含有連續(xù)兩次對(duì)原始信號(hào)的降噪后的結(jié)果，得到的新的信號(hào)更具有這兩方面的特點(diǎn)，降噪效果更接近原始信號(hào)。

再對(duì)y1進(jìn)行TVD方式的連續(xù)迭代降噪。迭代次數(shù)為Nit，降噪到信號(hào)出現(xiàn)最準(zhǔn)確的代數(shù)為止：

上述過程的目的是使TVD算法求得的信號(hào)每次迭代都進(jìn)一步地接近理想信號(hào)。每次求得的新信號(hào)，不僅含有原始信號(hào)的信息，而且含有連續(xù)兩次TVD降噪后的信號(hào)的信息。每次迭代后都能在原TVD信號(hào)降噪的基礎(chǔ)上接近有效信號(hào)。該算法降噪后信號(hào)的準(zhǔn)確性優(yōu)于TVD算法。

本文算法步驟可總結(jié)如下：

（1）設(shè)置n=1:Nit，其中Nit為需要迭代的次數(shù)。

（2）對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行第一次迭代降噪：x1=tvd(y,lam,1)。

（3）對(duì)第一次TVD降噪后的信號(hào)再次進(jìn)行TVD降噪：x2=tvd(x1,lam,1)。

（4）對(duì)兩次TVD降噪后的信號(hào)和原始信號(hào)進(jìn)行按比例相結(jié)合，求得新信號(hào)y1:y1=y+α[x1-x2]。

（5）再對(duì)y1進(jìn)行多次迭代降噪xn=tvd(y1,lam,Nit)。

（6）n=n+1。

（7）返回步驟（2），依次反復(fù)迭代，直到出現(xiàn)信號(hào)最準(zhǔn)確的代數(shù)為止，把本文最優(yōu)降噪迭代的次數(shù)設(shè)置為Nit。

4 數(shù)據(jù)分析及實(shí)驗(yàn)結(jié)果

本文實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分為A組、B組，兩組信號(hào)的原始稀疏信號(hào)相同，噪聲信號(hào)不同。其中A組采用文獻(xiàn)[1]中的含噪信號(hào)，B組采用均值為0，方差為1的隨機(jī)噪聲信號(hào)。使用MM算法、Soft算法和本文算法對(duì)兩組信號(hào)進(jìn)行降噪，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：

從A組實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看到，本文算法的降噪效果明顯優(yōu)于MM算法和Soft算法。圖1中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：本文算法能夠有效地保留原始信號(hào)的框架，實(shí)現(xiàn)了對(duì)峰峰值區(qū)間內(nèi)噪聲的抑制。

圖1 三種不同算法對(duì)A組信號(hào)降噪效果比較

圖2 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：在迭代次數(shù)上，Soft算法隨著迭代次數(shù)的增加，目標(biāo)函數(shù)不斷增加，降噪效果變差，故首次迭代則為最優(yōu)解，如圖1中Soft算法所示。MM算法與本文算法隨著迭代次數(shù)的增加，目標(biāo)函數(shù)趨于最小值。由于本文算法具有保持原始信號(hào)框架的優(yōu)點(diǎn)，故采用本文算法的目標(biāo)函數(shù)最小值優(yōu)于MM算法和Soft算法，明顯提升了降噪效果。

圖2 三種不同算法對(duì)A組信號(hào)目標(biāo)函數(shù)的收斂比較

從圖3和表1的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)整理中也可以發(fā)現(xiàn)：本文算法降噪后的誤差明顯小于MM算法和Soft算法。

圖3 三種不同算法對(duì)A組信號(hào)降噪后的誤差分布

表1 三種不同算法對(duì)A組信號(hào)降噪后誤差指標(biāo)對(duì)比

根據(jù)A組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，與MM算法和Soft算法相比，本文算法降噪后信號(hào)的準(zhǔn)確性得到了顯著的提高，更加接近原始信號(hào)。

B組實(shí)驗(yàn)的目的是為了通過對(duì)隨機(jī)噪聲的有效抑制，表明本文算法更廣泛的適用性。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4、圖5所示。

從B組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：采用MM算法和Soft算法進(jìn)行降噪后的信號(hào)和原始信號(hào)相比，在隨機(jī)擾動(dòng)的信號(hào)中依然無法解決對(duì)稀疏信號(hào)大范圍跳變的點(diǎn)的有效降噪。根據(jù)圖6與表2的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中可以表明采用本文算法有效地實(shí)現(xiàn)了對(duì)帶有隨機(jī)噪聲干擾的稀疏信號(hào)的降噪，更多地保留了原始信號(hào)的細(xì)節(jié)。從目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值和降噪后信號(hào)誤差的分布兩方面的比較都體現(xiàn)出了本文算法的優(yōu)勢(shì)。

本文算法應(yīng)用于針對(duì)峰峰值大范圍跳變的稀疏信號(hào)降噪問題中，從表3的分析數(shù)據(jù)可得，原始仿真信號(hào)的正向信號(hào)平均值與負(fù)向平均值相加遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于原始信號(hào)峰峰值，由此可得原始仿真信號(hào)為峰峰值大范圍波動(dòng)的信號(hào)。

圖4 三種不同算法對(duì)B組信號(hào)降噪效果比較

對(duì)同一含噪信號(hào)分別使用MM算法、Soft算法、本文算法進(jìn)行去噪，通過改變迭代次數(shù)，比較降噪后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，總結(jié)各算法消噪的魯棒性。由圖2、圖5可看出，隨著迭代次數(shù)增加，Soft算法的降噪效果變差，MM算法與本文算法的降噪效果變好，且本文算法的降噪效果更好于MM算法。通過以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果說明了本文算法的魯棒性優(yōu)于MM算法與Soft算法。

圖5 三種不同算法對(duì)B組信號(hào)目標(biāo)函數(shù)的收斂比較

圖6 三種不同算法對(duì)B組信號(hào)降噪后的誤差分布

表2 三種不同算法對(duì)B組信號(hào)降噪后誤差指標(biāo)對(duì)比

表3 原始仿真信號(hào)各指標(biāo)

在實(shí)際采樣中，高電壓脈沖下，生物組織的電流信號(hào)與電壓信號(hào)，均為方波信號(hào)，求導(dǎo)后信號(hào)值為零，通過判斷零信號(hào)和求導(dǎo)后的零信號(hào)占總體信號(hào)一半以上，這樣確定的信號(hào)是稀疏的。圖7與圖8為實(shí)際工程中的電壓信號(hào)與電流信號(hào)，與本文所濾波的信號(hào)相匹配，均為稀疏信號(hào)。

圖7 降噪前的電流信號(hào)

圖8 降噪前的電壓信號(hào)

圖9 與圖10實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文算法在實(shí)際應(yīng)用中效果顯著，保留了原信號(hào)中的基礎(chǔ)框架，對(duì)噪聲進(jìn)行了有效濾除。在對(duì)實(shí)際工程的稀疏信號(hào)降噪中具有應(yīng)用價(jià)值。

圖9 降噪后的電流信號(hào)

圖10 降噪后的電壓信號(hào)

5 結(jié)束語

本文基于TVD算法提出了一種全變分后疊加迭代的降噪算法，該算法疊加帶噪信號(hào)和全變分一次迭代降噪信號(hào)的信息構(gòu)建新信號(hào)，對(duì)新信號(hào)進(jìn)行迭代降噪。通過對(duì)既定含噪信號(hào)和隨機(jī)擾動(dòng)含噪信號(hào)的降噪實(shí)驗(yàn)可以看出，本文算法能夠有效地解決峰峰值大范圍跳變的稀疏信號(hào)的降噪問題，在保留原始框架的基礎(chǔ)上，提升了信號(hào)幅值的準(zhǔn)確性。