莫爾圓極點法在平面應力狀態教學中的應用

闕仁波

(廈門大學嘉庚學院土木工程分院，福建漳州 363105)

莫爾圓極點法的概念源于Karl Culmann 1866年提出的圖解法，即平面應力狀態可用一個應力圓來表示[1]，同時他在應力圓上建立了一個點[2]，對于給定的應力狀態，該點具有唯一性，通過該點而平行于任何平面的直線與應力圓的交點代表該面上的應力[3]。Mohr對應力圓進行了更深入的研究，提出了現在通常所采用的雙倍角法(double angle approach)，考慮了三向應力狀態的情況，并基于應力圓發展了最大剪應力強度理論，突破了當時盛行的Sain-Venant所提出的最大應變強度理論，可適應于不同的應力狀態，與許多試驗結果比較相符[1]，或許正是鑒于此，現在應力圓都以莫爾(Mohr)聞名。

相比通常所采用的雙倍角(圓心角)法，采用單倍角(圓周角)的極點法不僅能確定應力的代數值，還能確定應力作用面的幾何方位。但與前者形成鮮明對比的是，除了少量巖土力學方面的教材和文獻外[3-7]，一般材料力學或彈性力學方面的教材和文獻對其鮮有介紹。但它對于確切地表征一點的平面應力狀態十分有用，而一點的平面應該狀態，對于材料力學而言，是個十分重要而需要深刻理解的概念，但它對初學材料力學的同學而言，卻存在一定的難度。

鑒于上述情況，本文將對一點的平面應力狀態、莫爾圓極點法、一點平面應力狀態的莫爾圓極點法表征法和莫爾圓表征法的差異進行深入的分析和辨析，以期對教學和應用有所裨益。

1 平面應力狀態分析

1.1 應力正負號的約定

本文按材料力學的如圖1所示的應力正負號約定[8]：正應力以拉為正，反之，為負；剪應力以使單元體繞其內一點順時針轉動為正，反之，為負。

圖1 應力正負號約定

1.2 一點的平面應力狀態分析

如圖2(a)所示，設單元體的厚度為1，X和Y為體力分量，欲求AB面上的應力。取隔離體如圖2(b)所示，設OC=h為AB邊的高，則由法向n向和垂直于n向的平衡條件可得：

圖2 平衡狀態的單元體

(1)

若令:h→0，則：

(2)

上述求極限的思維方法，是理解一點的應力狀態概念的關鍵。即先采用三角形單元體OAB進行分析，再令h→0，讓單元體趨于點O，從而使AB面成為經過點O的一個面，如圖2(c)所示。一方面，使體力成為比面力更高階的小量從而可忽略；另一方面，如圖2(c)所示，當α變化時，經過點O的平面無窮，但任一平面上的應力解析式均可由一對正交平面上的應力充分必要地確定，如式(2)所示。

由式(2)可得應力圓方程：

2 莫爾圓極點法

對于圖2(a)所示的單元體，可作出其莫爾應力圓如圖3(a)所示，再作aP//OA交圓于點P，則點P即為莫爾圓的極點。PS為經過點P的切線，亦稱極線。

2.1 極點的唯一性證明

在此，將證明建立在莫爾圓的正確性已確證的基礎上。

過b點作OB的平行線，則它與aP垂直而成直角，因為ab為直徑，它所對應的圓周角必為直角，故所作平行線與aP的交點必在圓周上，且為P點。即過a點抑或過b點作圖求極點均可。

又如圖3(b)所示，再設一由x軸逆時針轉θ為其外法線方向的面，則其在應力圓上對應于c點，∠boc=2θ。再過c點作cP′平行于該面，設其交應力圓于P′點，交bP于d點，則由平行關系可得：∠bdc=θ。又因圓心角∠boc=2θ，其對應的圓周角大小應為θ，故d點必在圓周上，且d、P′和P三點合一。

圖3 莫爾圓極點法示意

綜上所述，對于給定的應力狀態，極點具有唯一性。

2.2 莫爾圓極點法的合理性證明

如圖3(b)所示，設一由x軸逆時針轉θ為其外法線方向的面，由點P作該面的平行線交莫爾圓于點c，則由平行關系可得：∠bPc=θ，又由圓心角與圓周角的關系可得：∠boc=2θ，則采用極點法與采用雙倍角法所確定的點重合，而后者的正確性已確證。

3 雙倍角法與極點法的對比

設如圖4(b)所示的三種坐標系所對應的應力單元如圖4(c)～圖4(e)所示，它們的應力分量大小均相等，則在圖4(a)所示的σ-τ坐標系中，由它們作莫爾圓時所用的坐標值a(σx,τxy)和b(σy,τyx)均相同，故應力圓相同，但極點則分別為P、P1和P2。相同的圓心角∠aob(=180°)，對應于不同的圓周角∠aPb、∠aP1b和∠aP2b。若從反演的角度即只知道應力圓而不知道畫該應力圓所依據的應力狀態，則莫爾圓上的一點代表一個面，而若連結該點和極點，則給出該面的方位。故雙倍角法給出：應力的代數值和相對夾角；而極點法則同時給出：應力作用面的絕對幾何方位。故極點法能更全面地反映應力的要素。

圖4 單元體轉動時極點的變化情況

如圖5所示，極點與圓周上任何點的連線均平行于連結點所代表的面，故極點亦可看作不同平面的匯集點，即圖2(c)中的點。

圖5 極點法特性示意

4 結束語

(1)極點法將雙倍角法中代表面的點還原為相同方位的面；將以圓心為參考點的0～360°的圓心角(雙倍角)還原為以極點為參考點的0～180°的圓周角(實際角)。

(2)莫爾圓上的一點代表一個面，而若連結該點和極點，則給出該面的方位。故雙倍角法給出：應力的代數值和相對夾角；而極點法則同時給出：應力作用面的絕對幾何方位。故極點法能更全面地反映一點的平面應力狀態的要素。