基于快速傅立葉變換法設計FIR濾波器

毛煒　崔俊杰

摘 要：控制系統的速度在相當大的程度上取決于控制算法，設備的控制質量取決于控制算法運算量的大小。文章介紹了基于快速傅立葉正負變換設計FIR濾波器的新算法，在層層迭代中進行快速傅立葉正變換和快速傅立葉反變換的交替轉換，從而滿足對信號分析所需的時域和頻域條件，利用FFT實現序列的卷積算法，使所設計的濾波器在頻域中逼近理想頻率響應的結果。算法特性是被變換的抽取點數變多，因此，該設計極大地減少了運算量。

關鍵詞：快速傅立葉變換;FIR濾波器;Matlab

1 ? ?FIR濾波器及快速傅立葉變換

1.1 ?FIR濾波器

有限脈沖響應（Finite Impulse Response，FIR）濾波器廣泛應用于數字信號處理中，主要用途是將不感興趣的信號過濾清除，留下有用信號。也就是說，能夠通過和阻止某一頻率信號，在保證任意幅頻特性的同時，具有嚴格的相位線性特性，其單位沖激響應是有限的、全零點結構，系統永遠穩定[1]。因此，FIR濾波器在通信、圖像處理分析、模式識別等領域都有著廣泛應用。通過對抽樣數據進行數學處理來達到頻域濾波目的。FIR濾波器具有線性延時的特征和不存在系統極點的優點，在有效頻率范圍內分析所有信號，相位上不失真，對信號處理非常重要[2]。

1.2 ?快速傅立葉變換

快速傅立葉變換是離散傅立葉變換所需要的乘法次數大為減少的一種快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上很難看出具體特征，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征。有限長序列可以通過離散傅立葉變換將其頻域也離散化成有限長序列，將產生的短序列進行適當組合，刪除重復計算，從而減少乘法運算和簡化結構。本文所運用的是按時間抽取的FFT算法，利用其對稱性和周期性，對設計對象的算法分若干步進行，從而達到簡化的目的[3]。

2 ? ?用快速傅立葉變換法設計 FIR濾波器的算法

2.1 ?FIR數字濾波器的設計原理

截止頻率為ωs（rad/s）理想濾波器，其傳遞函數的表達式為：

（1）

取樣響應為h（n），長度為N，為了產生有限長度的沖激響應函數，其系數函數為H（z）：

（2）

用h（n）表示截取hd（n）后沖激響應，即：

h（n）=ω（n）hd（n） ? （3）

式中，ω（n）為窗函數，長度為N。當τ=時，截取的h（n）關于τ=（N-1）/2對稱，可使得所設計的濾波器相位線性。圖1為FIR濾波器設計流程。

2.2 ?用快速傅立葉變換法設計FIR濾波器的算法

給定下列技術指標：導通頻率ωp，截止頻率ωs，導通頻帶最大波動系數δp和截止頻帶最大波動系數δs。頻域的約束如式（4）：

Hid（ejω）-Ed（ω）≤Hd（ejω）≤Hd（ejω）+Ed（ω） ? ? （4）

Hid（ejω）為理想濾波器的響應，而且得到：

（5）

快速傅立葉變換法設計FIR濾波器，是在層層迭代計算中進行快速傅立葉正變換和快速傅立葉反變換的交替變換，從而滿足時域和頻域約束的條件。設計步驟如圖2所示。

（1）為了產生初始序列h0（n）。取理想頻域響應的傅立葉反變換hid（n）=F-L﹣1[Hid（ejω）]為初始值：

（6）

其中，N要以原點對稱，才能得到零相位。

（2）在第k次循環中，用FFT法計算hk（n）的傅立葉反變換函數，得到頻域函數Gk（ejω）。在頻域上施加以下約束：

（7）

（3）對Gk（ejω）進行傅立葉反變換得到gk（n）。施加時域上的條件約束，gk（n）中在區域N以外取值為零。

（8）

（4）連續在層層迭代中不斷進行時域約束和頻域約束條件，得到的頻率響應趨近于理想的頻率響應范圍，有限長序列將收斂為濾波器理想的序列。濾波器的階數可以先取值N=2M+1，M由Kaiser窗函數設計階數公式估算。用此階數進行循環，如果達不到設計要求，依次對M增加1，直到滿足要求。在迭代法中，傅立葉變換是由離散傅立葉變換來實現，也就是減少乘方次數的變化的效果。因此，FFT算法的階數應取足夠大。對于2M+1階數的濾波器，FFT算法的階數通常取大于10倍M，來滿足設計要求，得到相應的所需結果[4]。

3 ? ?基于快速傅立葉變換設計FIR濾波器的算法設計高通濾波器

截止頻率為ωs的線性相位理想高通濾波器的頻率響應為：

（9）

即在 ωs≤ω≤π范圍內，Hd（ejω）的幅值是1，其幅頻響應示意圖如圖3—4所示。

圖3 ?截止頻率為ω1的理想高通濾波器幅頻響應

圖4 ?截止頻率為ω2的理想高通濾波器幅頻響應

理想高通濾波器的單位沖擊響應為：

（10）

其中，Hd（n）是中心點在τ的偶對稱無限長非因果序列，要得到有限長的h（n），需要對hd（n）做加窗處理，為了分析問題方便，選窗函數WN（n）為矩形窗RN（n），N是矩形窗長度。由于要求FIR濾波器的相位是線性的，h（n）必須偶對稱（或奇對稱），即其對稱中心為窗長的1/2，也就是τ=，故FIR高通濾波器有限長沖擊響應為：

h（n）=hd（n）RN（n）

=，（11）

0≤n≤N-1

此時，一定滿足h（n）=h（N-1-n）這一線性相位條件，上述即為線性相位FIR濾波器的設計過程。

4 ? ?結語

用快速傅立葉變換的一次正變換和反變換設計FIR濾波器的算法，隨之帶來的交替頻域約束條件和時域條件，使所得濾波器的頻率響應無限逼近理想頻率響應，也得到在時域中無限逼近單位沖激響應序列。FFT的過程極大地簡化了在計算機中進行DFT的過程，減少了許多復雜且難以計算的運算量。設計上千階數的濾波器在普通計算機上僅需要很短的時間，但是，算法設計的濾波器階數較高。由于FIR濾波器采用非遞歸結構，在實際計算時幾乎不考慮穩定性問題，運算誤差小。利用快速傅立葉變換，在相同的階數下，運算速度更快，更加體現優越性，也正因為設計方法的直觀性和簡單性，才普遍將其應用來研究相關信號問題。

[參考文獻]

[1]VINAY K.數字信號處理[M].劉樹棠，譯.西安：西安交通大學出版社，2001.

[2]雷學堂，徐烯.FIR數字高通濾波的時域和頻域物理分析[J].吉首大學學報，2010（5）：66-68.

[3]黃翔東，王兆華.基于全相位幅頻特性補償的FIR濾波器設計[J].電路與系統學報，2012（2）：1-5.

[4]張學敏，呂曉麗，鐘菲.基于高通濾波器的FIR帶通濾波器的設計與仿真[J].長春工程學院學報，2014（3）：34-37.