繞單軸旋轉的固面可展開天線展開過程研究

徐 彥，成 強，黃 河，周 鑫，李 明

（1.中國航天科技集團有限公司空間結構與機構技術實驗室,上海201108；2.浙江大學航空航天學院，浙江杭州310027；3.西北工業大學力學與土木建筑學院，陜西西安710072）

固面反射面因具有非常高的型面精度而廣泛應用于衛星的口徑天線。然而，固面反射面的結構形式導致其口徑尺寸受到限制及收納性能較差，進而無法提高天線的增益，影響天線的適用范圍。采用固面反射面可展開的形式能有效增大其口徑和提高其收納性能。

目前，可展開固面反射面天線大多采用以中心對稱的花瓣式旋轉收納的可展開結構形式［1-7］，其收納比可降低至0.3～0.4［1］。其中，大型花瓣式空間望遠鏡（large petal-type space mirror，LPSM）模型［3］和新型花瓣式可展開固面反射面天線（new petal-type de-ployable solid surface antenna，NPDSSA）［1］采用的是完整單葉片沿正交雙軸展開的形式；美國湯普森·拉莫·伍爾德里奇（簡稱TRW）公司研發的花瓣式可展開（extended flower）天線模型［8］和固面可展開天線（solid surface deployable antenna，SSDA）模型［9］采用的是葉片通過多個鉸鏈實現折疊和展開的形式。上述模型和天線的每一個葉片都有2個甚至更多的轉動副，這導致可展開結構的可靠性較低。而俄羅斯列別捷夫物理研究所天文空間中心（Astro Space Cen-ter of Lebedev Physical Institute）提出的10 m口徑光譜-M太空望遠鏡［10］的可展開反射面采用完整單葉片繞單軸旋轉的方式，減少了轉動副的數量，從而提高了可展開結構的可靠性。

基于單葉片繞單軸旋轉的原理，筆者主要探究了花瓣式可展開固面反射面天線葉片繞正交雙軸旋轉展開和繞單軸旋轉展開的對應關系及相應的設計方法，并通過實例驗證其展開過程，旨在為繞單軸旋轉展開的固面反射面的設計與分析提供參考。

1 繞雙軸旋轉與繞單軸旋轉的等效變換設計

繞正交雙軸旋轉的固面可展開天線［1］以葉片自身的對稱軸和與中心圓盤邊緣相切的軸線為2個正交的旋轉軸進行展開：先繞葉片自身的對稱軸旋轉θ，再繞與中心圓盤邊緣相切的軸線旋轉ω，最終展開到位。如圖1所示，將拋物反射面分割成中心圓盤和環向等分的拋物面葉片，曲面CDFE是以平面XOZ為對稱平面的主要參考葉片，中心圓盤在平面XOY上的投影半徑為r，完整拋物反射面在平面XOY上的投影半徑為R，則參考葉片在平面XOY上的投影半徑的范圍為［r，R］。定義與中心圓盤邊緣相切的軸線A1A2到中心圓盤頂點O在X方向的投影距離為m，沿Z方向到拋物面的距離為a；葉片自身的對稱軸B1B2的中心沿X方向的投影距離為l，沿Z方向到拋物面的距離為b。

根據Euler定理，任意一種旋轉變換都可以歸結為若干個繞坐標軸旋轉的組合。因此，通過坐標變換，將上述葉片先后繞2條正交軸線B1B2和A1A2的旋轉轉化為繞空間內某個軸線矢量n=（nx，ny，nz）T旋轉φ，得到等效的展開結果。

在參考葉片CDEF旋轉到C'D'E'F'的過程中，通過坐標的旋轉變換，在考慮||n||=1的情況下，可得單軸軸線矢量n、單軸旋轉角φ與雙軸旋轉角θ、ω之間的關系為：

式（1）還可以表示為：（x-x0）/nx=（y-y0）/ny=（z-z0）/nz=p，其中點（x0，y0，z0）在該軸線上。

設葉片CDEF上任意一點M的初始坐標為（xM，yM，zM），通過文獻［1］中的雙軸旋轉坐標公式可求得旋轉后葉片C'D'E'F'上點M'的坐標為（xM'，yM'，zM'），M點在單軸軸線上的垂足H的坐標為（xH，yH，zH）。由相應幾何關系可知，矢量MH垂直于該單軸軸線矢量n，且點M和點M'到垂足H的距離相等，則可得待求軸線上點的坐標，即由軸線矢量n和軸線上某一點的坐標即可確定該單軸在空間中的位置。因此，通過式（1）和式（2）可以將繞正交雙軸旋轉展開等效變換為繞空間內某一單軸旋轉展開。

2 繞單軸旋轉的固面可展開天線展開實例

基于上述繞雙軸與單軸旋轉的等效變換設計原理，設計了一個10 m口徑星載固面可展開天線。該天線反射面的拋物面方程為x2+y2=12 000z，其焦距f=3 000 mm，反射面半徑R=5 000 mm，中心圓盤半徑r=1 600 mm，葉片數N=20，則π/N=9°；參考葉片的設計參數為：a=120 mm，b=120 mm，m=1 200 mm，l=2 400 mm。當葉片繞雙軸旋轉展開時，首先繞軸線B1B2旋轉 -45°，再繞軸線A1A2旋轉-75°，即θ=-45°，ω=-75°。

葉片CDEF的4個角點的初始坐標為：C（4 938.44，-782.17，2 083.33）mm，D（4 938.44，782.17，2 083.33）mm，E（1 580.30，-250.30，213.33）mm，F（1 580.30，250.30，213.33）mm。由文獻［1］中雙軸旋轉坐標公式可求得4個角點旋轉后的坐標為：C'（108.55，665.50，4 162.77）mm，D'（1 177.02，1 771.66，3 876.48）mm，E'（879.92，-280.69，479.48）mm，F'（1 221.83，73.28，387.87）mm。

將θ=-45°，ω=-75°代入式（1）和式（2）中，可得：n=（0.446 299，0.826 765，0.342 457）T，φ=-85.73°。

再從C、D、E、F中任意選取其中2點（x1，y1，z1）、（x2，y2，z2），并根據第1節所述的幾何關系建立6個方程，聯立方程組可求得所選2點在單軸軸線上垂足的坐標為：（x1H，y1H，z1H）=（1 876.7，1041.3，855.2）mm，（x2H，y2H，z2H）=（1 230.2，-156.3，359.1）mm。

由此可以確定單軸在空間內的位置以及參考葉片繞該軸線的旋轉角度φ，最終得到固面可展開天線繞單軸旋轉的等效模型。

3 繞單軸旋轉的固面可展開天線展開過程的驗證

根據上述實例，建立固面可展開天線的ADAMS（automatic dynamic analysis of mechanical systems，機械系統動力學自動分析）模型。以單一葉片完全展開狀態作為初始狀態，分別繞雙軸旋轉和單軸旋轉完成收攏。葉片繞雙軸旋轉和單軸旋轉的收攏過程如圖2和圖3所示。通過對比參考葉片的最終收攏狀態可知，繞單軸旋轉模型的展開效果等效于繞雙軸旋轉模型，說明本文的設計方法是可行、有效的。

固面可展開天線繞單軸旋轉的展開過程如圖4所示，由電機驅動各旋轉軸展開葉片。結果顯示各葉片之間無相互干擾且展開過程平穩。

在同樣的外力和展開條件下，在天線繞單軸旋轉和雙軸旋轉的展開過程中鉸鏈受到的力和扭矩的變化曲線分別如圖5和圖6所示。在天線繞單軸旋轉展開的過程中，每個葉片只有1個鉸鏈，而繞雙軸旋轉展開過程中每個葉片有2個鉸鏈。由圖5（a）和圖6（a）可知，盡管繞單軸旋轉展開時在展開的后半程鉸鏈所受的力略大于繞雙軸旋轉展開時任一鉸鏈所受的力，但是雙鉸鏈的構造導致繞雙軸旋轉時在2個鉸鏈位置處產生了作用力及初始突變峰值，這大大降低了固面可展開天線的整體可靠性。對比圖5（b）和圖6（b）可知，雖然繞單軸旋轉展開天線中葉片上的鉸鏈所受扭矩也大于繞雙軸旋轉展開天線中葉片上任一鉸鏈的扭矩，但繞雙軸旋轉展開天線的2個鉸鏈均承受與繞單軸旋轉展開同一數量級的扭矩，因此繞雙軸旋轉展開天線中的鉸鏈所承受的扭矩更大，對展開過程產生了一定的影響。

圖2 參考葉片繞雙軸旋轉的收攏過程Fig.2 Folding process of reference blade rotating along two axes

圖3 參考葉片繞單軸旋轉的收攏過程Fig.3 Folding process of reference blade rotating along a single axis

從多體運動的角度分析，相較于繞雙軸旋轉，繞單軸旋轉大大減少了剛體和轉動副的數量，在保證結構平穩展開的基礎上，大幅度降低了多運動副間的作用力，提高了這類可展開結構的展開可靠性。

圖4 固面可展開天線繞單軸旋轉的展開過程Fig.4 Deploying process of solid-surface deployed antenna rotating along a single axis

圖5 天線繞單軸旋轉展開過程中鉸鏈的受力Fig.5 The force on the hinge during the deploying process of antenna rotating along a single axis

圖6 天線繞雙軸旋轉展開過程中鉸鏈的受力Fig.6 The forces on the hinges during the deploying process of antenna rotating along two axes

4 結論

通過繞雙軸旋轉與繞單軸旋轉的等效變換設計，將目前廣泛應用的繞正交雙軸旋轉的固面可展開天線簡化成繞單軸旋轉的等效形式，并提出了簡單可行的設計方法，減少了花瓣式旋轉固面可展開天線的轉動副數量，提高了天線結構的整體穩定性和展開可靠性，降低了天線的設計難度與制造成本，這對固面可展開天線的設計和分析有重要的參考價值。