軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)測(cè)量的雙線逼近法＊

田中旭 李廣洲 王恒宇

（1.上海海洋大學(xué)，上海 201306；2.上海交通大學(xué)，上海 200240）

主題詞：瞬時(shí)轉(zhuǎn)速 扭振 壞點(diǎn) 雙線逼近法 諧次提取

1 前言

各種機(jī)械設(shè)備的傳動(dòng)軸系會(huì)因機(jī)械、動(dòng)力和負(fù)荷等方面的原因發(fā)生短暫或持續(xù)的扭矩波動(dòng)，從而使軸系產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)不僅會(huì)導(dǎo)致傳動(dòng)系零部件應(yīng)力顯著增加，還會(huì)引起較大的噪聲[1-4]。因扭轉(zhuǎn)振動(dòng)分析常受到動(dòng)力學(xué)模型精度和數(shù)值計(jì)算可靠性影響，測(cè)試仍然是軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)最可靠和直接的研究方法[5-6]。

扭轉(zhuǎn)振動(dòng)測(cè)量采用的傳感器主要有光電編碼器和磁電式傳感器。磁電式傳感器因安裝方便、適應(yīng)性強(qiáng)、測(cè)試結(jié)果穩(wěn)定等因素得到了廣泛應(yīng)用。磁電式傳感器主要由電磁感應(yīng)探頭和齒輪盤(pán)組成。測(cè)量時(shí)，齒輪盤(pán)每轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)齒，會(huì)因磁通量變化引起電磁感應(yīng)探頭產(chǎn)生類(lèi)似諧波的電壓變化，從而達(dá)到測(cè)量轉(zhuǎn)速變化的目的[7-9]。在測(cè)量中，最關(guān)鍵的是記錄轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)齒的時(shí)間，從而可進(jìn)一步計(jì)算出轉(zhuǎn)速。齒輪制造誤差、轉(zhuǎn)速波動(dòng)可導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果嚴(yán)重失真，并產(chǎn)生測(cè)量誤差[10-11]。本文以多缸發(fā)動(dòng)機(jī)軸系為研究對(duì)象，在對(duì)測(cè)試結(jié)果失真問(wèn)題進(jìn)行深入分析的基礎(chǔ)上，提出采用雙線逼近的方法處理獲得的電壓信號(hào)，以提高信號(hào)處理的穩(wěn)定性。

2 轉(zhuǎn)速測(cè)試原理和失真問(wèn)題分析

扭振可以通過(guò)角度、角速度或角加速度來(lái)描述，其中角速度最為常用。在發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸前端安裝齒輪盤(pán)，常用的齒數(shù)為60，則相鄰齒的角度間隔為6°，而轉(zhuǎn)速傳感器每經(jīng)過(guò)1個(gè)角度間隔便輸出1個(gè)脈沖，即輸出的電壓信號(hào)變化1 個(gè)周期。如圖1 所示，如果可以得到2 個(gè)連續(xù)脈沖的上升沿時(shí)間差，即可計(jì)算得到相應(yīng)的瞬時(shí)轉(zhuǎn)速。在實(shí)際的2個(gè)采樣點(diǎn)之間插入1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，以確定過(guò)零時(shí)刻（上升沿與檢測(cè)電平的交點(diǎn)，如圖2 所示），對(duì)這2 個(gè)采樣點(diǎn)按拉格朗日線性插值，則可獲得過(guò)零時(shí)刻。設(shè)2 個(gè)采樣點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻分別為T(mén)n和Tn+1，電壓分別為Vn和Vn+1，則第i個(gè)齒上升沿過(guò)零時(shí)刻為：

圖1 傳感器輸出的信號(hào)波形

圖2 拉格朗日線性插值

故相鄰上升沿過(guò)零時(shí)刻的時(shí)間差為：

則齒輪盤(pán)上第i個(gè)齒的角速度為：

考慮到經(jīng)過(guò)每個(gè)齒的時(shí)間極短，故認(rèn)為前、后2 個(gè)過(guò)零時(shí)刻的平均值為第i個(gè)齒經(jīng)過(guò)傳感器的時(shí)刻，即：

為了更加準(zhǔn)確地記錄電壓變化以提高測(cè)量精度，往往采用很高的采樣頻率。當(dāng)采樣頻率較高時(shí)，往往因齒形誤差、傳感器抖動(dòng)等造成測(cè)試結(jié)果失真現(xiàn)象，如圖3所示。

圖3 某段存在壞點(diǎn)的拉格朗日插值圖

3 信號(hào)處理的雙線逼近法

壞點(diǎn)的表現(xiàn)形式是檢測(cè)電平零線附近存在波動(dòng)的采樣點(diǎn)，如圖4所示。

壞點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致上升沿多計(jì)算1 個(gè)齒（見(jiàn)圖3），這是由于出現(xiàn)壞點(diǎn)的這段時(shí)間內(nèi)，有多段與零電壓相交的上升沿，由于時(shí)間范圍極短，故考慮兩側(cè)上升沿與零電壓的交點(diǎn)，2個(gè)過(guò)零時(shí)刻均利用前、后2個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行拉格朗日線性插值計(jì)算得出。2 個(gè)過(guò)零時(shí)刻之間會(huì)產(chǎn)生突變的角速度，如圖5所示，計(jì)算誤差很大，因此需要去除這些壞點(diǎn)。

圖4 采集信號(hào)放大后出現(xiàn)的壞點(diǎn)

圖5 400 kHz采樣頻率下未去除壞點(diǎn)的角速度

雙線逼近法采用2條對(duì)稱靠近檢測(cè)電平的平行線，如圖3所示，在上升沿采樣點(diǎn)中，不斷更新下方數(shù)據(jù)點(diǎn)，直到數(shù)據(jù)點(diǎn)超過(guò)下基準(zhǔn)值，記錄滿足上、下基準(zhǔn)值數(shù)據(jù)范圍內(nèi)的點(diǎn)，直到數(shù)據(jù)點(diǎn)超過(guò)上基準(zhǔn)值。令零電壓下方的點(diǎn)不斷向零電壓逼近，當(dāng)下個(gè)點(diǎn)電壓為正時(shí)，停止逼近，記錄A點(diǎn)，同理，上方的點(diǎn)不斷逼近直到記錄B點(diǎn)。點(diǎn)A、B進(jìn)行拉格朗日線性插值得到點(diǎn)C，以去除A、B之間的壞點(diǎn)，由插值定理得：

式中，tA、tB、tC分別為點(diǎn)A、B、C的時(shí)間；VA、VB分別為點(diǎn)A、B的電壓。

雙線逼近法的流程如圖6所示。

圖6 雙線逼近法的流程

4 扭振響應(yīng)的諧次提取算法

以某1.4 L 四缸四沖程活塞式發(fā)動(dòng)機(jī)為例，曲柄每旋轉(zhuǎn)2轉(zhuǎn)為1個(gè)工作循環(huán)周期，每周期記錄的齒數(shù)（包括兩端）為：

依次記錄第i個(gè)齒的時(shí)間ti和角速度ωi。

為了消除平均角速度的影響，采用梯形公式求平均角速度ω0，如圖7所示。

圖7 角速度與平均角速度

設(shè)周期為：

各齒經(jīng)過(guò)傳感器時(shí)的轉(zhuǎn)速瞬時(shí)波動(dòng)量為：

若起點(diǎn)與終點(diǎn)轉(zhuǎn)速之差大于轉(zhuǎn)速波動(dòng)上限10 r/min，則認(rèn)為轉(zhuǎn)速波動(dòng)過(guò)大，不計(jì)算該周期轉(zhuǎn)速，其判斷公式為：

如果轉(zhuǎn)速峰值超過(guò)3 000 r/min，不計(jì)算該周期轉(zhuǎn)速：

為研究某一數(shù)值范圍內(nèi)的平均轉(zhuǎn)速，將滿足上述2個(gè)條件的第j組平均角速度ω0j轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)速：

若nj與nj-1,nj-2,…,n1(j＞1)的差值絕對(duì)值均小于10 r/min，則不計(jì)算該組轉(zhuǎn)速，否則提取該組轉(zhuǎn)速。

考慮階數(shù)n=0.5p(p=1,2,…,20)這20 組諧波函數(shù)，計(jì)算n階諧波函數(shù)的傅里葉系數(shù)。已知諧波函數(shù)ansinnωt、bncosnωt的系數(shù)為：

式中，τ為函數(shù)x(t)的周期；ω=2π/τ為基波頻率；a0、an、bn為常系數(shù)。

結(jié)合式（13）～式（15），運(yùn)用梯形公式，得：

于是角速度僅用余弦項(xiàng)表示為：

由式（19）得角位移的傅里葉展開(kāi)式為：

諧次提取算法的數(shù)據(jù)處理流程如圖8所示。

圖8 諧次提取算法流程

5 測(cè)試算例

為驗(yàn)證雙線法處理壞點(diǎn)的精度與有效性，收集某1.4 L汽油機(jī)快拉升、慢拉升2種工作狀態(tài)在400 kHz 采樣頻率下的時(shí)間和電壓，比較不同狀態(tài)下瞬時(shí)轉(zhuǎn)速的各階諧波函數(shù)的振幅、相位角的變化規(guī)律。

5.1 瞬時(shí)轉(zhuǎn)速比較

運(yùn)用Fortran95編程，繪制瞬時(shí)轉(zhuǎn)速曲線如圖9所示。

圖9 400 kHz采樣頻率下去除壞點(diǎn)的轉(zhuǎn)速

由圖5、圖9可知，當(dāng)采樣頻率為400 kHz時(shí)，在發(fā)動(dòng)機(jī)運(yùn)轉(zhuǎn)的初始階段，快拉升與慢拉升工作狀態(tài)下采集的信號(hào)中各存在某些壞點(diǎn)，運(yùn)用雙線逼近法可以有效去除壞點(diǎn)，使得瞬時(shí)轉(zhuǎn)速曲線平穩(wěn)波動(dòng)。通過(guò)圖5a 和圖5b突變的轉(zhuǎn)速，可以精確地判斷出信號(hào)中壞點(diǎn)存在的位置。對(duì)于圖3的2個(gè)插值過(guò)零時(shí)刻：當(dāng)經(jīng)過(guò)信號(hào)中正常的上升沿時(shí)，2 個(gè)過(guò)零時(shí)刻相同，于是輸出1 個(gè)時(shí)刻；當(dāng)經(jīng)過(guò)有壞點(diǎn)的上升沿時(shí)，2個(gè)過(guò)零時(shí)刻不等，輸出2個(gè)時(shí)刻，于是出現(xiàn)了突變的轉(zhuǎn)速。

5.2 振幅和相位角

各階諧波函數(shù)的相位角以1 階諧次歸一和單位換算，記為(φn-φ1)×180°/π，并將各諧波函數(shù)按轉(zhuǎn)速排序，400 kHz采樣頻率下部分結(jié)果如表1、表2所示。

各階諧波函數(shù)的角速度振幅曲線如圖10所示。圖10c、圖10d 中，快速拉升諧波函數(shù)振幅出現(xiàn)了拉平，這是由于快拉升在該段滿足約束條件的轉(zhuǎn)速數(shù)據(jù)數(shù)量較少。從圖10總體來(lái)看，快、慢轉(zhuǎn)速拉升曲線分布基本一致，說(shuō)明扭振穩(wěn)定較快。

表1 快拉升不同轉(zhuǎn)速下各階諧波函數(shù)振幅與相位角

表2 慢拉升不同轉(zhuǎn)速下各階諧波函數(shù)振幅與相位角

圖10 400 kHz采樣頻率下各階諧波函數(shù)振幅

6 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)軸系扭轉(zhuǎn)振動(dòng)測(cè)量，給出了能夠適應(yīng)含壞點(diǎn)的測(cè)量結(jié)果的信號(hào)處理方法，并通過(guò)實(shí)際測(cè)試信號(hào)檢驗(yàn)了算法的有效性，得到以下結(jié)論：

a.軸系扭振測(cè)量中，當(dāng)采樣頻率較高時(shí)易出現(xiàn)壞點(diǎn)的原因在于高采樣頻率記錄了測(cè)試電壓信號(hào)在零點(diǎn)附近的波動(dòng)。

b.本文提出的雙線逼近算法可以較好地處理測(cè)試信號(hào)的壞點(diǎn)，適應(yīng)性和穩(wěn)定性較好。

c.從汽油機(jī)測(cè)試實(shí)例可以看出，內(nèi)燃機(jī)在新的轉(zhuǎn)速下可以在非常短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到扭轉(zhuǎn)振動(dòng)穩(wěn)定狀態(tài)，即振幅響應(yīng)快速趨于穩(wěn)定。