《數學歸納法》教學案例記學生核心素養的培養之路

王洪艷

在高考數學中，數列常常會涉及到數列的放縮，對于我們學校的學生，尤其是C層次的學生，大多數可能認為這類問題無從下手，有些學生遇到此類問題甚至會望而生卻！為了鼓勵學生，也為了學生不輕易放棄這類問題，本人特意研究了一下今年的高考大綱與往年的區別！研究發現，今年高考大綱對數學歸納法的要求大大增加，而數學歸納法恰好是解決此類問題的一種極為重要的方法。為此學生學會和學懂這種方法就顯得極為重要。

課堂實錄

1.課堂導入

師：請學生思考一下，問題1，如何驗證？問題2是否正確？問題3應該是什么？

生：問題1，一個一個驗證就好了……

教師趁機問道：那驗證結果一定正確嗎？生：當然正確了，一個一個驗證的，肯定正確啊！

教師給予肯定，學生繼續回答。生：問題2，我算得的結果是前四項都是1，但是通項……

有些猶豫，教師見狀，給予學生提示，

師：請你算一下第五項是多少啊？生：是25，師：那這個通項對嗎？生：不對！

師：非常好，那問題三你的猜想是什么？

生：我猜想是 。師：那這個正確嗎？生猶豫：應該正確吧。師：你能證明嗎？

學生搖頭，教師給予肯定，并作總結及點評兩種歸納法，即完全歸納法和不完全歸納法，而且講解了兩種歸納法的聯系及區別！

教師提出問題：那么如果來解決不完全歸納法存在的問題呢？不完全歸納法歸納出來的結論是否正確呢？那么我們必須要尋找一種用有限個步驟就可以處理完無限個對象的方法，即數學歸納法。

教師板書點明課題。

設計意圖：由學生知道的實例開始引入，可以使得學生對此產生興趣，并不畏懼新課程。在舊的知識基礎上提出新的疑問，也是引進新課程的方法之一，這樣既可以回顧舊的知識，又可以使得學生聯想到舊的知識和新的知識之間的關聯，同時對本節課的內容產生期待。

由數列前幾項的猜想通項公式，學生也意識到這種方法的殘缺性，所以探求一種新的方法勢在必行，也借此引出本節課的課題。

2.探究發現

師：請大家觀察投影上的三個實例，邊觀察邊思考，要想把紙抽內的紙都抽出來;鞭炮所有的都響;多米諾骨牌全都倒下，需要知道滿足什么條件？

生：紙抽內紙都抽出來，只需要前面一張抽出來后，后面的也跟著出來就可以了;

要想使得鞭炮全都響，只需要前面一個響了，后面的也跟著響就可以了;多米諾骨牌也類似，只需要前一張倒下，后面的跟著倒下就可以了！

師：好，請同桌來說一下。

生：我覺得這三個事件都得滿足第一個得發生。也就是說，第一張紙得抽出來，第一個鞭炮得響，第一張牌得倒下！

師：大家覺得說得有道理嗎？生一同答道：有道理！師：那大家是不是得鼓勵一下啊！班級響起掌聲！

師：那么現在誰能把這三個生活中的實例抽象出數學表達呢？

生：（1）證明當n=1時命題成立，

（2）假設當n=k（k ∈ N+，k≥ n0）時命題成立，

證明當n=k+1時命題也成立。

師：非常棒！但是大家想一下，第一項就一定是n=1嗎？

教師見有的學生搖頭，所以就提問搖頭的學生，

生：應該把第一條改為：證明當n取第一個值n0時命題成立。

師：很好！兩位同學說出了這節課的中心，即數學歸納法證明的步驟，現在老師將它補充完整！即兩個步驟一個結論。

師：數學歸納法也正是解決這類與自然數有關的證明題的一種重要的方法。

設計意圖：類比思想是高中數學常用的一種思想方法，將生活中的實例類比到數學方法中，也讓學生意識到數學來源于生活而高于生活。

數學抽象也是高中數學學科素養之一，將生活中的實例，抽象成數學方法，這樣可以引起學生的高度興趣。

教學反思

本節課是高中選修2-3的內容，對學生難度較大，但作為第一課時，個人認為這樣處理還是比較合理，比較到位的。

由于學生基礎較差，所以這里的難度就顯得更大一些，但從課堂表現來看，本節課收到的效果還是不錯的，我覺得主要表現如下：

1.數學建模思想是高中數學學科素養比較重要的一種思想之一。本節課從生活

實例出發，回歸自然，讓學生觀察發現，得到自己認為比較好的事實結論，再將事實結論歸納總結到數學方法，這正是體現了這種數學建模思想。另外，這樣不僅可以引起學生的興趣，又可以活躍課堂氣氛，使得學生有“話”可說，打破了傳統的教師講，學生聽的教學。

2.運用類比的思想，將一些類似的事物類比到數學思想方法上，這樣更容易理解，

也更容易讓學生接受，不會感到陌生，讓學生在和諧輕松的狀態下學到新的知識是很好的一種教學手段。

3.本節課以學生為主，教師通過適當的引導，使得學生真正理解數學歸納法的本

質及來源，并能夠利用數學歸納法解決一些與自然數相關的數學問題。

4.學會配湊是本節課的一個難點，將n=k+1時的條件配湊成n=k時的結論是學生很難理解，很難實施的一個步驟，然而教師運用一問一答的手段，輕松克服了這個難點。

5.本節課師生對話很多，教師不吝嗇自己的鼓勵，基本上學生的每一個回答都得到了教師肯定及表揚，這也使得課堂氣氛活躍很多。

總之，本節課既能體現高中數學學科素養的培養，又能感受到課堂輕松愉快的氛圍，讓學生在輕松的氛圍中學到新的知識是本節課的最大成功之處。