基于小波理論的混凝土壩變形PCA-IPSO-SVM預測模型

柳志坤，周蘭庭

(河海大學水利水電學院，南京 210098)

0 引 言

混凝土壩變形監測數據能直觀可靠地反映大壩的運行狀況，監測序列是一種隨時間變化的數據信號，主要受到水壓、溫度和時效的影響，二者之間是一種非線性映射的關系，加之監測過程中常帶有一定的系統噪聲和觀測噪聲，往往會掩蓋實際變形值，這使得變形監測序列具有較強的非線性和不確定性，增加了資料分析的困難度。目前常采用的監控模型主要有統計型、混合型、確定型及其衍生的各種改進模型，隨著智能算法的發展，遺傳算法(GA)、神經網絡(BP)、支持向量機(SVM)等均被應用到大壩安全監控中。在處理大壩變形監測數據這類高維數、非線性的問題上，SVM是一種較為理想的模型，錢秋培等[1]應用SVM建立了混凝土壩變形監控模型，論證了其短期預測能力優于長期預測能力，合理選擇測試集數目對模型預測影響明顯；孫小冉等[2]將粗集理論與SVM結合，簡化了大壩變形影響因素和效應量之間的映射關系，優化了模型輸入使模型更能體現大壩的運行機制；趙二峰等[3]基于結構風險最小化原則和提升算法強化學習的思想，提出一種穩定性好的AdaBoost-SVM變形預測模型，增強了模型的泛化能力和預測精度；杜傳陽等[4]利用馬爾科夫鏈(MC)對原始數據的殘差進行處理，并基于SVM理論建立大壩變形監測模型；黃夢婧等[5]利用差分自回歸移動平均模型(ARIMA)來處理非平穩時間序列，對SVM模型的殘差進行處理，改進了原有大壩變形監控模型；張海龍等[6]將極限學習機(ELM)用于混凝土壩變形監控模型的構建中，并通過改進粒子群算法進行參數尋優，提高了模型的學習能力；針對大壩變形影響因子繁多，因子之間關聯性強的問題，陳斯煜等[7]利用主成分分析(PCA)對監測數據降維，將提取的主元影響量作為徑向基神經網絡(RBF)的輸入量，建立了混凝土壩位移趨勢性預測模型。本文在前述研究的基礎上，通過對實測數據進行去噪，并利用主成分分析提取影響因子的主元，采用支持向量機對非線性問題進行預測，但考慮到模型參數的合理選擇對預測精度有較大的影響，本文利用粒子群算法的全局搜索能力及魯棒性強的特點，采用改進的粒子群算法對模型參數進行尋優，建立了基于PCA-IPSO-SVM的組合預測模型。

1 理論方法

1.1 小波理論

小波分析理論[8,9]是在Fourier的基礎上發展起來的一種時頻分析方法，克服了傳統變換的缺點，通過小波基函數的伸縮變換實現對信號的多尺度分析，大壩變形監測數據就是一個時間序列，小波理論憑借良好的時頻局部化和多分辨率分析的能力，在大壩監測數據處理領域得到廣泛應用。

大壩變形監測數據為一離散的時間序列，故在應用小波理論時采用其離散形式：

(1)

式中：f(t)為變形時間序列；φ*為小波基函數的復共軛；a0、b0均為實常數；j、k為整數。

小波分析的實質是對信號根據尺度大小由粗到細地分解，不斷地將低頻信號進一步分解為低頻和高頻信號，分解N層后即可得到N個高頻信號和1個低頻信號，進而實現把信號分解為任意頻率上的高頻和低頻。

大壩變形監測序列本身包含著大壩實際運行狀態的信息，但在監測過程中往往受到環境、儀器等因素的影響，序列中的噪聲會給建模分析帶來一定的偏差，故將監測序列視為一維信號進行去噪處理，以提高數據分析的精度。小波去噪的關鍵在于控制閾值的選取，閾值過小會保留過多噪聲，閾值過大則會產生失真現象，此處采用使最大風險最小化的極大極小值閾值法來確定閾值，公式如下：

λ=σ(0.393 6+0.182 9log2n)

(2)

σ=median(|ωj|)/0.674 5

(3)

式中：σ為標準差；n為數據個數；median(|ωj|)為小波系數絕對值中值。

選定閾值后，采用式(4)的軟閾值法去噪，當小波系數的絕對值大于或等于閾值時，將兩者相減，符號保持不變；而小于閾值時直接置為零，最后對小波系數重構可得去噪后的監測數據。

(4)

式中：λ為閾值；ω為小波系數；ωλ為閾值處理后的小波系數。

1.2 主成分分析(PCA)

在建立混凝土壩變形的預測模型時，需要將與變形相關的各影響因子作為模型的輸入量，但因子數量繁多且因子間相互關聯性復雜，不僅降低模型的精度還增加了運算時間。因此，借助主成分分析法[10,11]提取主要因素作為模型的輸入量，將原始高維數據轉化成低維數據，消除原數據間的相關性，并能在最大程度上反映原數據包含的信息。

設大壩變形預測模型有p個影響因子，每個因子有n個監測數據，則數據集X：

(5)

式中：xi=(x1i,x2i,…,xni),i=1,2,…,p。在對變形影響因子進行主成分分析時，按式(6)～(8)對數據集進行標準化處理，并按式(9)計算相關系數矩陣。

(6)

(7)

(8)

(9)

最后根據特征方程求出各特征值和對應的特征向量，并將特征值從大到小排列，此即主成分的排序，根據式(10)、(11)計算各主成分的貢獻率和累計貢獻率，并選取累計貢獻率大于85%的主成分作為最終的主元來代替原始數據。

(10)

(11)

式中：λi為特征值；γi為各主成分貢獻率；Mk為主成分累計貢獻率。

1.3 改進的粒子群算法(IPSO)

粒子群算法[12,13]最早起源于群鳥覓食的現象，算法中的每一個粒子代表優化問題的一個可能解，并通過速度和位置兩個指標來刻畫粒子的行為，粒子的優劣通過適應度值來判斷，而適應度函數則根據具體情況而定，粒子在尋優中通過分析個體極值和群體極值的情況決定是否更新，通過不斷迭代搜尋到全局最優解。

設在一個N維搜索空間中，群體粒子數為m，第i個粒子的位置為xi=(xi1,xi2,…,xin)，速度為vi=(vi1,vi2,…,vin)，個體極值為pi=(pi1,pi2,…,pin)，群體極值為gi=(gi1,gi2,…,gin)，則經過k次迭代后PSO算法按下述公式對粒子的位置和速度進行更新：

vidk=ωvidk-1+c1r1(pidk-1-xidk-1)+c2r2(gidk-1-xidk-1)

(12)

xidk=xidk-1+vidk

(13)

式中：i=1,2,…,m，d=1,2,…,n，c1、c2為加速常數；r1和r2是[0，1]內的隨機數；ω為慣性權重。

粒子群算法中最需要關注的參數是慣性權重ω，這直接關系到算法尋優的效果，ω越大其全局尋優能力越強，局部尋優能力較弱；ω越小其局部尋優能力越強，全局尋優能力較弱。在標準粒子群算法中，ω常取為1，但考慮到實際尋優中，算法在不同時期對全局和局部尋優的需求程度不同，ω不能一成不變，此處規定其初值為0.9，終值為0.4，采用式(14)的線性遞減慣性權重來控制ω的大小，對粒子群算法進行改進，使算法在前期加強全局尋優，后期注重局部尋優。

ω(k)=ωs-(ωs-ωe)(T-k)/T

(14)

式中：ωs為權重初值；ωe為權重終值；T為最大迭代次數；k為當前迭代次數。

1.4 支持向量機(SVM)

支持向量機[14,15]源于模式分類研究，后推廣至回歸問題，通過選定的非線性映射函數將輸入量轉化到高維空間中，并在該空間中構造最優決策函數，它基于結構風險最小化準則，并具有全局最優性和較好的泛化能力，對于大壩變形序列這種復雜的非線性問題，采用該方法能取得較為理想的結果。

給定樣本數據(xi,yi)，i=1,2,…,n，xi∈Rm，yi∈R。采用非線性映射φ(x)將數據映射到高維空間中，并構造線性擬合函數f(x)=ωφ(x)+b，其中ω為權值向量，b為常數。基于結構風險最小化原則求解ω和b，尋優過程等價于下式：

(15)

式中：C為懲罰因子；ξ為松弛變量。

對上述問題建立拉格朗日函數求解：

L(ω,b,ξ,α)=

(16)

式中：αi為拉格朗日乘子。根據KKT條件可求得：

(17)

消去ω和ξi，核函數K(x,xi)取為高斯徑向基函數(RBF)，通過求解方程組最終得到支持向量機的回歸方程，分別見式(18)、(19)。

(18)

(19)

1.5 組合預測模型

根據1.1～1.4的理論分析，基于小波理論的混凝土壩變形PCA-IPSO-SVM預測模型建模步驟如下，流程圖見圖1。

圖1 建模流程圖

(1)對混凝土壩變形監測序列Y采用極大極小值的軟閾值法進行去噪處理，記去噪后序列為Y1；

(2)根據影響大壩變形的水壓、溫度、時效三大主因素以及大壩安全監控統計模型選取適當的影響因子，記為D1,D2,…,Dn；

(3)對(2)中選取的影響因子進行主成分分析，并提取累計貢獻率大于85%的因子作為主成分，記為Z1,Z2,…,Zm；

(4)將主成分序列進行歸一化處理，并相應的劃分訓練集和測試集。將主成分作為SVM的輸入量，將去噪后序列作為SVM輸出量；

(5)采用IPSO算法對SVM的參數進行尋優，求解最優的C、σ值，并代回SVM中，完成模型訓練；

(6)用訓練好的模型對測試集進行預測，并分析預測精度。

2 工程實例

某水電站由攔河大壩、壩后溢流式廠房、埋設于壩內的輸水系統、泄水底孔及過木筏等組成，大壩類型為混凝土重力壩，壩頂高程280 m，最大壩高78 m，壩頂全長253 m，本文為分析其位移變化情況，選取該壩的9號壩段引張線測點EX7自2012年12月6日至2013年12月26日的監測數據為樣本，樣本實測位移和上游水位過程線如圖2所示，其中以2012年12月6日至2013年12月6日的數據為訓練集，以2013年12月7日至2013年12月26日的數據為測試集。

圖2 EX7測點實測位移及上游水位過程線

2.1 數據預處理

在實際位移的監測過程中，由于噪聲等因素的影響，實測位移數據往往存在一定的偏差，從而影響建模分析，故對圖2中的實測位移運用小波原理進行去噪處理，以增加數據的真實度。首先，使用正則性較好的db4小波對原始監測數據進行分解，分解層數為4，分解之后的低頻序列和高頻序列見圖3，高頻序列為d1、d2、d3、d4，低頻序列為a4。從圖3中可以看出由于噪聲的存在使得高頻序列波動較為劇烈，因此有必要采用軟閾值法進行去噪處理。

圖3 小波分解過程線

然后通過調用matlab函數庫中的wnoisest函數，提取第一層的細節系數來估計噪聲的標準偏差，通過“極大極小值閾值法”確定閾值，并采用全局閾值處理，即對近似系數不做處理而對細節系數進行處理，最后將處理后的數據進行重構，得到去噪后的變形序列如圖4所示，由圖4可以看出去噪后的數據相對光滑，利于下文建模分析。

圖4 去噪前后數據過程線

2.2 建模分析

運用SPSS對上述9個影響因子進行主成分分析，得到其特征值及方差貢獻率如表1所示。

表1 影響因子貢獻率表

由表1可知，前4個主成分的累計貢獻率為94.425%，可以反映原數據的大部分信息，故選擇前四個主成分作為模型的輸入向量，并得到前4個主成分的評分系數，如表2所示。由式(20)計算主成分，并將歸一化后的數據作為模型輸入變量。

表2 主成分評分系數

Fi=mi1Y1+mi2Y2+mi3Y3+mi4Y4+

mi5Y5+mi6Y6+mi7Y7+mi8Y8+Mi9Y9

(20)

式中：Fi為主成分(i=1,2,3,4)；Y1～Y9為變形影響因子；mi1～mi9為對應的各主成分的評分系數。

基于選定的樣本數據，劃分訓練集和測試機，并利用IPSO算法對SVM的參數C和σ進行尋優。設定粒子個數為20，種群迭代次數為200，C的范圍為[0.1,100]，σ的范圍為[0.01,10]，加速常數c1、c2為1.2，慣性權重采用式(14)的確定方式，適應度函數為SVM輸出值與樣本實測值的均方誤差。

由圖5可以看出，IPSO-SVM模型的最佳適應度要優于未改進模型的最佳適應度，改進后的最佳適應度穩定在0.013附近，此時C=38.398，σ=0.29。將劃分好的訓練集主成分輸入到SVM中進行學習，將測試集主成分輸入到已訓練好的預報模型里，分別得到擬合和預測結果，并與單一SVM模型和BP神經網絡的擬合和預測結果進行對比，各模型擬合和預測曲線見圖6、圖7。

圖5 改進前后適應度比較曲線

圖6 各模型擬合曲線

圖7 各模型預測曲線

根據預測結果，基于均方根誤差(RMSE)、平均絕對百分比誤差(MAPE)和平均絕對誤差(MAE)三項統計指標定量比較各模型的預測精度，計算公式如下，計算結果如表3所示。

表3 各模型預測精度

(21)

(22)

(23)

從表3可以直觀發現，相比于單一的SVM模型和BP神經網絡，本文提出的PCA-IPSO-SVM模型的預測精度較高，三項誤差指標均較小。由于影響混凝土壩變形的各個因素之前往往具有較強的非線性，因此本文提出的模型在混凝土壩變形預測方面有著較強的合理性和優越性。

3 結 論

本文充分考慮實際中混凝土壩變形序列的非線性特征及含噪特性，基于復合建模思想將小波理論、粒子群算法、主成分分析和支持向量機應用到大壩變形預測中，該方法在消除監測噪聲影響的同時也降低了因子之間的關聯性對預測精度的影響，并采用IPSO算法對SVM的參數進行尋優，減少其陷入局部最優的概率，提高了預測精度，彌補了傳統方法數據分析量大、精度欠佳的缺點。工程實例表明，本文提出的方法能較好地進行混凝土壩變形預測，相較于傳統的預測模型，具有更高的實用價值。