建筑智能設(shè)計中的拓?fù)鋬?yōu)化方法綜述

錢文亮，黃永，李惠

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院）

1 引言

隨著社會經(jīng)濟和文化水平的發(fā)展，人們對于建筑結(jié)構(gòu)的美學(xué)和力學(xué)性能要求越來越高，同時人們也不再單一地要求設(shè)計優(yōu)美的建筑或者性能優(yōu)越的結(jié)構(gòu)，而是希望美學(xué)和力學(xué)性能之間實現(xiàn)一個有機的融合[1]。傳統(tǒng)的建筑師往往更加注重建筑的美學(xué)，考慮更多的是如何設(shè)計出更加優(yōu)雅的建筑，而傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)設(shè)計師則更加偏重于結(jié)構(gòu)的受力性能設(shè)計。拓?fù)鋬?yōu)化方法可以提供一個兼顧建筑美學(xué)和力學(xué)性能的設(shè)計框架，可以將建筑設(shè)計師和結(jié)構(gòu)設(shè)計師更加緊密地聯(lián)系在一起。在建筑領(lǐng)域中，拓?fù)鋬?yōu)化一般用于高聳結(jié)構(gòu)的支撐體系設(shè)計、橋梁的概念設(shè)計以及建筑立面的設(shè)計等[2,3]。本文其余的章節(jié)安排為：第二章介紹基本的拓?fù)鋬?yōu)化算法，第三章介紹拓?fù)鋬?yōu)化在建筑領(lǐng)域中的具體應(yīng)用，第四章總結(jié)目前拓?fù)鋬?yōu)化方法在建筑領(lǐng)域中應(yīng)用的現(xiàn)狀以及急需解決的問題。

2 拓?fù)鋬?yōu)化算法介紹

拓?fù)鋬?yōu)化方法主要用于在給定荷載和邊界條件下尋找設(shè)計域中最優(yōu)的材料布局方案。自從Bends?e 和Kikuchi在1988 年提出使用均勻化理論進行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計之后[4]，研究者提出了眾多用于尋找結(jié)構(gòu)最優(yōu)化設(shè)計的拓?fù)鋬?yōu)化方法，其大致可以分為：①密度方法[5]；②進化方法[6]；③水平集方法[7,8]以及其他方法。密度方法利用和節(jié)點或者單元相關(guān)的設(shè)計變量，然后利用優(yōu)化算法更新設(shè)計變量以達到最小化設(shè)計目標(biāo)的目的。同樣的，進化算法也是利用和節(jié)點或者單元相關(guān)的設(shè)計變量，但是不同于密度方法使用優(yōu)化算法來更新設(shè)計變量，進化算法采用啟發(fā)性原理來更新設(shè)計變量，即逐步移除設(shè)計域中低效的材料，其概念簡單易于被工程師接受，但缺乏嚴(yán)格的數(shù)學(xué)收斂性證明。進化算法常常又稱為“硬殺”方法或者“離散”方法。水平集方法則是通過高一維度的函數(shù)來描述優(yōu)化結(jié)構(gòu)的邊界，該方法可以得到顯示的邊界，從而更好用于結(jié)構(gòu)設(shè)計。其他方法還包括相場方法、拓?fù)涿枋龊瘮?shù)方法以及獨立連續(xù)映射方法等。目前，隨著人工智能的發(fā)展，也有一些學(xué)者提出了基于深度學(xué)習(xí)的拓?fù)鋬?yōu)化方法。學(xué)者Yonggyun Yu[9]等介紹了一種利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來預(yù)測在給定邊界和優(yōu)化參數(shù)下拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)的方法。其主要做法是，首先獲取在不同設(shè)計參數(shù)下的不同分辨率的拓?fù)鋬?yōu)化訓(xùn)練集，然后使用低分辨率的訓(xùn)練集訓(xùn)練卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN），之后再利用模型預(yù)測的低分辨率的拓?fù)鋬?yōu)化和高分辨率的真實拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)訓(xùn)練生成對抗網(wǎng)絡(luò)（GAN）來預(yù)測更加精細(xì)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

由于密度方法的概念簡單，有較為成熟的數(shù)學(xué)優(yōu)化算法，同時對于設(shè)計域的適應(yīng)性高以及易于和有限元軟件結(jié)合，目前大多數(shù)商業(yè)軟件中內(nèi)置的優(yōu)化方法都是基于密度方法。下面本文以常見的柔順度優(yōu)化問題為例，簡單介紹拓?fù)鋬?yōu)化的基本原理。基于最小化柔順度的拓?fù)鋬?yōu)化問題通常可以用公式(1)進行描述：

目標(biāo)函數(shù)：

式中：U 和F 為結(jié)構(gòu)整體位移向量和荷載向量，K 為整體剛度矩陣，ue為單元位移向量，k0為初始單元剛度矩陣，xe為單元設(shè)計變量，p 為懲罰系數(shù)，V0為設(shè)計域體積，V(x)為材料體積，volfrac 為體積約束分子。從公式(1)中可以看出來，拓?fù)鋬?yōu)化問題在數(shù)學(xué)上屬于一個優(yōu)化問題，但是拓?fù)鋬?yōu)化中的優(yōu)化問題有其本身的特點，比如說設(shè)計變量和單元網(wǎng)格精度相關(guān)、目標(biāo)函數(shù)值的獲取需要調(diào)用有限元分析以及目標(biāo)函數(shù)往往只能得到一階導(dǎo)數(shù)等。因此拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域中學(xué)者們提出了多種用于拓?fù)鋬?yōu)化的優(yōu)化算法。目前的優(yōu)化算法有優(yōu)化準(zhǔn)則方法（OC）、序列線性規(guī)劃方法（SLP） 以及移動漸進算法（MMA）等，而較為常用的是MMA 算法，其核心包含兩步：①構(gòu)造原始優(yōu)化問題的近似子問題；②使用對偶定理簡化近似子問題。由于MMA 算法屬于一階優(yōu)化算法，因此需要計算目標(biāo)函數(shù)關(guān)于設(shè)計變量的靈敏度信息，目標(biāo)函數(shù)的靈敏度計算如公式(2)所示：

拓?fù)鋬?yōu)化中往往會存在棋盤格現(xiàn)象和網(wǎng)格依賴現(xiàn)象，常常采用啟發(fā)式的過濾技術(shù)[10,11]。學(xué)者Lazarov 等將濾波之后的設(shè)計變量隱式的定義為Helmholtztype 微分方程的解[11]，如(3)所示：

其中Rmin為濾波半徑。同時，使用密度方法進行拓?fù)鋬?yōu)化的時候，往往會產(chǎn)生灰色區(qū)域，為了產(chǎn)生清晰的邊界往往使用投影技術(shù)[12]，關(guān)于投影之后的設(shè)計變量計算如所示：

其中是xp投影之后得到的設(shè)計變量，xf為濾波之后得到的設(shè)計變量，xβ和β 為常數(shù)。下面本文用經(jīng)典的MBB梁優(yōu)化問題來說明拓?fù)鋬?yōu)化濾波和投影技術(shù)的作用。如圖 1 (a)所示，MBB 梁長度為6m，高度為1m，跨中的集中荷載為100 kN，材料為鋼材，楊氏模量為200×109Pa，泊松比為0.3。

在經(jīng)過拓?fù)鋬?yōu)化之后，直接得到最優(yōu)的設(shè)計結(jié)構(gòu)(b)，可以看出來該結(jié)構(gòu)邊緣呈鋸齒狀。產(chǎn)生鋸齒狀的主要原因是由于網(wǎng)格精度問題。因此如果不采用濾波技術(shù)，則會導(dǎo)致使用不同的網(wǎng)格精度將得到不同的優(yōu)化解。為了解決這一問題，使用如公式(3)所示的濾波技術(shù)，經(jīng)過濾波之后得到的結(jié)構(gòu)如(c)所示，此時雖然不再和網(wǎng)格的精度有關(guān)，但是優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)會存在大量的灰色區(qū)域。為了解決灰色區(qū)域問題，可以使用如公式(4)的投影技術(shù)，之后得到的最優(yōu)結(jié)構(gòu)如(d)。在(d)中可以看出，當(dāng)使用濾波和投影技術(shù)之后既能得到和網(wǎng)格精度無關(guān)的優(yōu)化結(jié)構(gòu)，又能得到清晰的優(yōu)化結(jié)構(gòu)邊界。

圖1 (a) MBB 梁初始設(shè)計域 (b) 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) (c) 濾波之后得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)(d) 濾波和投影之后得到的最優(yōu)結(jié)構(gòu)

3 智能建筑設(shè)計中拓?fù)鋬?yōu)化的應(yīng)用及其算法

本章節(jié)主要介紹拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)在建筑智能設(shè)計領(lǐng)域中的應(yīng)用。拓?fù)鋬?yōu)化在航空航天、機械和土木工程中具有廣泛的應(yīng)用，在建筑領(lǐng)域中的應(yīng)用主要包括高聳結(jié)構(gòu)支撐體系的優(yōu)化、建筑結(jié)構(gòu)立面優(yōu)化以及其他應(yīng)用。下面將通過三小節(jié)內(nèi)容分別介紹這些內(nèi)容。

3.1 高聳結(jié)構(gòu)支撐體系優(yōu)化

在高聳建筑設(shè)計中，設(shè)計者主要關(guān)心的是在側(cè)向荷載下的整體剛度問題。因此在設(shè)計階段，設(shè)計師需要考慮怎樣為高聳結(jié)構(gòu)設(shè)計出一個更優(yōu)的支撐體系，去為結(jié)構(gòu)提供更多的剛度或者位移控制，但是傳統(tǒng)的支撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計大多數(shù)都是采用對角支撐，角度在45°或者50°以及它們之間變化，這種方法設(shè)計出的支撐體系結(jié)構(gòu)形式單一，同時也無法保證是最優(yōu)的支撐體系， 如圖 2(a)和(b)所示的香港中銀大廈和美國的約翰漢考克中心的支撐體系是采用的傳統(tǒng)支撐結(jié)構(gòu)。而采用拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)優(yōu)化得到的支撐體系受力更加合理，建筑美感也更加強，如圖 2(c)和(d)所示的拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)得到的高層支撐體系概念設(shè)計[1]。

圖2 具有支撐結(jié)構(gòu)的現(xiàn)有高聳建筑和使用拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)得到地概念設(shè)計

圖3 工程對稱約束下拓?fù)鋬?yōu)化算法流程圖

國內(nèi)外已有大量的學(xué)者對高聳結(jié)構(gòu)支撐體系的優(yōu)化進行了大量的研究。由于拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)幾何復(fù)雜，不對稱和難于制造的特點，大大增加了優(yōu)化結(jié)構(gòu)建造的成本，因此大量的學(xué)者對于工程可制造約束進行了研究[2]，其中比較簡單的可制造約束是對于優(yōu)化結(jié)構(gòu)加上對稱條件，比較常用的做法是采用濾波技術(shù)使對稱軸兩側(cè)的設(shè)計變量對稱，來實現(xiàn)工程對稱約束[13]。下面，本文將通過一個簡單的算例來說明支撐體系優(yōu)化的過程。在算例中，假設(shè)支撐結(jié)構(gòu)底端為固定約束。結(jié)構(gòu)的寬為0.1m，高度為0.5m，材料線彈性材料，楊氏模量為210e9Pa，泊松比為0.3，側(cè)面作用等間距集中荷載，其大小為10kN。同時為了解決可制造的問題，在設(shè)計中加上對稱約束，其算法流程如圖 3 所示。

使用拓?fù)鋬?yōu)化算法進行50 次迭代得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)示意圖如圖 4 所示：

從圖 4 中可以看出來，沒有可制造約束的時候，得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)是不對稱的，制造難度較大，很難在工程中應(yīng)用。而在使用對稱約束之后，得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)更加易于制造。因此為了使得拓?fù)鋬?yōu)化得到結(jié)構(gòu)在實際工程中可以很好的應(yīng)用，必須要在傳統(tǒng)的算法中加上可制造約束。

3.2 建筑立面的美學(xué)設(shè)計

建筑立面設(shè)計是對建筑物外部形狀的設(shè)計。建筑立面的設(shè)計對于結(jié)構(gòu)的美感起到很重要的作用，大多數(shù)時候人們對于建筑的第一印象就來自于建筑立面。使用拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)進行建筑立面設(shè)計，不僅可以有效地承載荷載，還能體現(xiàn)出建筑美感。日本建筑師磯崎利用拓?fù)鋬?yōu)化原理設(shè)計了卡塔爾國家會議中心建筑立面，其立面令人印象深刻。卡塔爾國家會議中心的屋頂由拓?fù)鋬?yōu)化得到的混凝土結(jié)構(gòu)支撐，其混凝土支撐結(jié)構(gòu)類似“樹形柱”的結(jié)構(gòu)，使得建筑的結(jié)構(gòu)外形十分優(yōu)雅。學(xué)者Mezzadri 等使用拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)設(shè)計了一系列的自支撐結(jié)構(gòu)[14]，學(xué)者Christianse 等利用拓?fù)浼夹g(shù)得到了不同約束條件下的屋頂支撐結(jié)構(gòu)[15]，他們都得到了類似卡塔爾國家會議中心的支撐結(jié)構(gòu)。這種自支撐結(jié)構(gòu)的設(shè)計只需要指定好荷載和邊界條件，然后通過拓?fù)鋬?yōu)化算法即可實現(xiàn)。本文用一個樹形自支撐結(jié)構(gòu)的例子來說明設(shè)計流程。在設(shè)計樹形柱的時候，首先需要定義一個荷載區(qū)域，該區(qū)域不可設(shè)計。算例中的優(yōu)化結(jié)構(gòu)初始長為10m，高為3.3m，頂端0.3m 高度范圍內(nèi)為荷載區(qū)域，不可進行設(shè)計，選用彈性材料，楊氏模量為200e9Pa，泊松比為0.3。結(jié)構(gòu)頂端作用均布荷載 -1000 N/m2，結(jié)構(gòu)底部中心0.4m范圍內(nèi)為固定約束。使用拓?fù)鋬?yōu)化算法進行50 次迭代，可以得到上述指定邊界條件和荷載作用下的優(yōu)化結(jié)構(gòu)，其結(jié)果如圖 5 所示。

圖4 等間距集中荷載作用，a) 設(shè)計域b) 無對稱約束得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu) c) 有對稱約束得到的優(yōu)化結(jié)構(gòu)

圖 5 樹形柱的設(shè)計

從圖 5 中可以看出，當(dāng)進行拓?fù)鋬?yōu)化的時候，指定不同的體積分?jǐn)?shù)，會得到不同的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。因此在實際的設(shè)計中，該方法可用于通過稍微改變輸入的參數(shù)來生成明顯不同的設(shè)計。

3.3 其他應(yīng)用

拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)還可以用于其他領(lǐng)域。首先，拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)可以用于大尺度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，比如說飛機機翼、大跨度橋梁的設(shè)計[16,17]。對于大尺度的結(jié)構(gòu)設(shè)計，拓?fù)鋬?yōu)化往往需要使用并行的技術(shù)、GPU 編程以及一些先驗知識來簡化設(shè)計域的方法來提高程序運行效率。其次拓?fù)鋬?yōu)化還可以用于動荷載作用下的結(jié)構(gòu)設(shè)計[18-21]，比如說地震荷載作用的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計，可以將動荷載等效為靜態(tài)荷載或者簡諧荷載，也可以將動荷載建模成零均值的平穩(wěn)白噪聲。此外，拓?fù)鋬?yōu)化還可用于多物理場下結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計[22-25]，比如說可以用來優(yōu)化流固耦合場中受力的結(jié)構(gòu)。

4 結(jié)語

本文首先介紹了拓?fù)鋬?yōu)化問題的數(shù)學(xué)描述以及用來確保穩(wěn)定清晰解的濾波和投影技術(shù)，其次介紹了拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)在建筑智能設(shè)計領(lǐng)域中應(yīng)用。通過拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)在建筑智能設(shè)計中的例子，可以看出使用拓?fù)鋬?yōu)化框架可以將建筑美學(xué)設(shè)計和結(jié)構(gòu)設(shè)計有機結(jié)合在一起，創(chuàng)造出美觀且有明顯結(jié)構(gòu)工程構(gòu)件的建筑。

本文在總結(jié)文獻的基礎(chǔ)之上，也對目前拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)存在的問題以及未來的研究趨勢做出了思考。關(guān)于拓?fù)鋬?yōu)化目前存在的問題，本文認(rèn)為是拓?fù)鋬?yōu)化的計算效率不夠高。雖然目前拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)已經(jīng)大量地應(yīng)用于建筑領(lǐng)域，但是由于拓?fù)鋬?yōu)化問題的設(shè)計變量規(guī)模大和反復(fù)調(diào)用有限元程序，使得拓?fù)鋬?yōu)化很難應(yīng)用在大尺度結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，因此關(guān)于未來拓?fù)鋬?yōu)化的研究趨勢是怎樣提出更加高效快速的優(yōu)化算法。