有限單元思想在靜電場與穩(wěn)恒磁場求解中的應用

仰振東，何 沛，沈 陵，王 悅，李偉艷

（銅陵學院 物理教研室，安徽 銅陵 244061）

1 問題的提出

在真空中的靜電場，通過任何閉合曲面的電場強度通量，等于該曲面內(nèi)所有電荷量的代數(shù)和除以ε0[1]，即：

式（1）右邊為閉合曲面內(nèi)電荷代數(shù)和，通常很容易獲得，但式（1）左邊是矢量標積的積分計算，計算過程非常復雜。僅僅在電場對稱分布時，該積分計算過程可簡化，如電場呈球?qū)ΨQ分布（均勻帶電球，球殼），電場軸對稱分布（均勻帶電導線），電場呈鏡面對稱性分布（無限大帶電平板）。它們特定高斯面的電場強度通量有兩種情形[2]。

1.空間存在一電荷量為q，半徑為R的均勻帶電球殼，則通過距離球心為r的球形高斯面的電場強度通量為：

2.空間存在一單位長度所帶電荷量為λ的無限長帶電導線，則通過與帶電導線共軸的柱高為h，底面半徑為r的圓柱閉合高斯面的電場強度通量為：

在真空中的穩(wěn)恒磁場，磁感應強度B?沿任何閉合曲線的線積分等于真空的磁導率μ0乘以穿過以該閉合曲線為邊界所張任何曲面的各恒定電流的代數(shù)和[3]:

磁場分布具有對稱性特征時，式（2）左邊的積分計算可以簡化，如通有電流為I的無限長載流導線，在以長直導線為中心，半徑為r的圓環(huán)上磁感應強度矢量的線積分可表示為[4]：

現(xiàn)有教材對具有對稱性分布電場通過高斯面的電場強度通量以及對稱性分布磁場的環(huán)路積分計算僅僅作簡單的陳述，學生較難理解。對此文中通過引入有限單元思想，將閉合曲面的電場強度通量以及磁場的環(huán)路積分計算進一步深入展開，易于理解。

2 方法解析

對稱性分布的電場經(jīng)過某一閉合曲面的電場強度通量的求解，可以采用有限單元思想，將整個閉合曲面進行網(wǎng)格劃分，獲得N個面元dS，當N取極限時，每個面元均很小，所以面元處的電場可以近似為均勻電場，該面元可以近似為平面，所以整個閉合曲面的電場強度通量可由下式表達：

最后根據(jù)高斯面電場強度的大小方向，以及高斯面面元的大小方向，對式（3）化簡計算得到結(jié)果。

同理，對稱性分布的磁場沿著某一閉合曲線的積分求解，可以將整個閉合曲線進行分段劃分，獲得N個線元dl，當N取極限時，該線元處的磁場可以近似為均勻磁場，該線元可以近似為直線，所以整個閉合曲線的磁感應強度線積分可由下式表達：

最后根據(jù)線元上磁感應強度的大小方向，以及線元的大小方向，對式（4）化簡計算得到結(jié)果。

2.1 球?qū)ΨQ電場強度分布計算

例題1：電荷量為q半徑為R的均勻帶電球殼，產(chǎn)生的電場強度分布。

圖1 球?qū)ΨQ電場強度分布

作如圖1所示的半徑為r的球形高斯面，并將整個高斯面進行網(wǎng)格劃分為N份，其中第i個面元記為，該處電場強度記為，該高斯面的電通量為：

第i個面元的法線方向如圖1所示，由球心沿球半徑向外，與該點電場強度方向相同，可得

將式（6）代入式（5）得

又根據(jù)電場分布的對稱性，即整個球面上的E?大小都相等，令其為E得

將式（8）代入式（7）得

其中dS1+dS2+…+dSN為球面的表面積。

最后根據(jù)高斯定理可得：

當r＜R時，高斯面所包圍的電荷量為零，

所以E=0

當r＞R時，高斯面所包圍的電荷量為q,

2.2 軸對稱電場強度分布計算

例題2：單位長度所帶電荷量為λ的無限長帶電導線所產(chǎn)生的電場強度。

圖2 軸對稱電場強度分布

作如圖2所示與帶電導線共軸的柱高為h，底面半徑為r的圓柱閉合高斯面，則整個閉合曲面的電通量可以寫為：

由于電場的軸對稱分布，S1、S2面上任意面元的法向與該處的電場方向相互垂直，得

S3面，采用網(wǎng)格劃分為N份，其中第i個面元記為，該處電場強度記為，則通過S3面的電通量為：

第i個面元的法向如圖2所示，與該處的電場強度同向，所以

將式（13）代入式（12）得

又根據(jù)電場分布的軸對稱性，即整個側(cè)面S3上的電場強度大小都相等，令其等于E可得

將式（15）代入式（14）得

其中dS1+dS2+…+dSN為圓柱側(cè)面表面積。

將式（11）、式（16）代入式（10）得：

最后根據(jù)高斯定理

2.3 軸對稱磁場分布計算

例題3：通以電流為I的無限長直導線所激發(fā)的磁場在空間的分布。

圖3 軸對稱磁場分布

作如圖3 所示垂直于軸線平面內(nèi)以軸線為中心，半徑為r的圓環(huán)。將圓環(huán)分割為N份，其中第i個弧段記為，該處記為，則通過整個圓環(huán)的線積分可表示為：

第i個弧段，弧線方向如圖3所示，與該處的磁場方向相同，所以

將式（18）代入式（17）得：

又根據(jù)該磁場分布的軸對稱性，即整個圓環(huán)l上的磁感應強度大小均相等，令其等于B得：

將式（20）代入式（19）得：

其中dl1+dl2+…+dlN為圓環(huán)周長。

最后根據(jù)穩(wěn)恒磁場的安培環(huán)路定理得：

3 結(jié)束語

本文通過引入有限元思想，對靜電場高斯面的電場強度通量以穩(wěn)恒磁場的環(huán)路積分作詳細分析，充分體現(xiàn)了有限元思想在物理學中的應用，便于理解對稱性分布電場以及對稱性分布磁場的計算過程。