基于圍巖變形的預應力錨桿受力特征分析及錨固機理

趙呈星 ，李英明

（1.安徽理工大學 能源與安全學院，安徽 淮南232001；2.煤礦安全高效開采省部共建教育部重點實驗室，安徽 淮南232001）

錨桿、錨索加固支護技術在水利工程、土木工程、巖土工程、采礦工程已廣泛應用，大量的工程實踐也推動了錨固技術發展，并認識到采礦工程中預應力錨桿對煤礦巷道圍巖控制起決定性作用[1-4]。隨著我國煤礦采深及強度的增加[5]，巷道圍巖節理裂隙發育、松軟破碎、破壞范圍大，預應力錨桿承載能力需不斷增強，因此研究預應力錨桿在實際支護過程中與圍巖相互作用力學機制及預應力錨桿桿體應力分布特征是圍巖控制技術中重要內容。

國內外學者通過理論分析[6-9]對預應力錨桿錨固機理及應力分布特征展開了大量的研究工作。文獻[10]在不同錨固長度條件下建立力學模型分析探討了預應力錨桿對圍巖的控制效果，認為留設一定長度的自由段有助于錨桿預緊力在圍巖中的擴散，當錨桿間排距較大時，增大預緊力、減小錨固段長度可提升錨桿錨固性能；文獻[11]研究了圓形托盤對預應力錨桿應力場分布的影響；文獻[12-14]通過數值模擬及工程實踐經驗研究了預應力錨桿的作用機理及錨固效果，并探討了相關因素對預應力錨桿支護的影響；文獻[15]在考慮圍巖離層影響的條件下通過理論分析得出預應力錨桿錨固段軸力和剪應力均會增大的結論。而在巷道開挖后，由于圍巖初始地應力場破壞，靠近巷道表面內圍巖開始進入塑性破壞狀態形成圍巖破碎區，預應力錨桿實際支護時正是對支護范圍內的圍巖產生徑向約束，控制破碎區的再次擴大，所以分析預應力錨桿應力分布規律應當考慮圍巖的實際變形。因此，在已有的研究基礎上，建立了預應力錨桿－圍巖相互作用模型，在考慮圍巖實際變形及錨固體滑移的情況下分析了錨桿自由段及錨固段受力狀態，得到了預應力錨桿自由段及錨固段應力分布計算解析式，進而獲得自由段、錨固段應力分布規律，為錨固支護設計提供一定的理論基礎。

1 預應力錨桿－圍巖支護模型

預應力錨桿受力不僅與錨固系統材料、尺寸、屈服強度、預緊力大小等有關，圍巖強度、節理裂隙分布、圍巖應力等對錨固系統支護強度同樣有顯著影響。巷道的開挖，使得原本處于平衡的圍巖應力重新分布，淺部圍巖應力由三向變為兩向，造成圍巖塑性區內出現破碎區。而預應力錨桿能對圍巖進行有效支護主要因為其錨固部分有效控制了圍巖破碎區范圍的擴大，因此假定錨桿在塑性區內破碎區外，建立的預應力錨桿－圍巖支護力學模型如圖1。

錨桿分為自由段與錨固段，桿體長度為L，自由段長度L1，錨固段長度L2，p0為圍巖應力，F 為人為施加的預緊力。

2 預應力錨桿受力分析

2.1 錨桿自由段受力分析

從建立的力學模型可看出預緊力和圍巖變形是影響錨桿受力的主要因素，而預應力錨桿對圍巖進行有效支護時，桿體分為自由段和錨固段2 部分，且錨固長度不大于錨桿長度的1/3[16]。由于錨桿自由段位于圍巖破碎區且與圍巖之間無錨固劑，所以預緊力是影響錨桿自由段軸力的主要因素。

圖1 預應力錨桿－圍巖支護力學模型Fig.1 Supporting mechanics model of pre-stressed bolt and surrounding rock

由彈性理論，錨桿自由段沿其軸向的剛度C為：

式中：As為錨桿橫截面面積；Es為錨桿彈性模量；L 為桿體長度。

所以，可得到錨桿自由段軸力N1為：

式中：△L 為錨桿自由段在外荷載作用下軸向變形量。

△L 由自由段兩端圍巖變形確定，則有：

式中：U0為巷道圍巖表面位移；U1為錨桿自由段末端處巖體徑向位移。

2.2 錨桿錨固段受力分析

錨桿錨固段位于圍巖塑性區內，桿體與圍巖通過錨固劑黏結。錨固劑一般為水泥漿、樹脂等，與桿體形成錨固體控制圍巖破碎區，而錨桿錨固段受力包括預緊力作用下的受力及圍巖變形引起的受力2部分。據此，對錨桿錨固段單元受力分析，錨固段單元受力分析示意圖如圖2。

建立平衡微分方程有：

式中：N2為錨固段微元所受軸力；r 為錨固段橫截面半徑；τ（x）為錨固段微元所受剪應力；x 為x 點。

預應力錨桿在實際支護過程中大致分為2 個階段：初始階段與圍巖塑性區耦合良好，能有效控制圍巖破碎區的擴大，而隨著圍巖變形量的增加，出現錨固體與圍巖解耦，之間產生相對滑移。按照折線剪切滑移模型[17]計算，有：

圖2 錨固段單元受力分析示意圖Fig.2 Schematic diagram of force analysis of anchorage unit

式中：ξ 為錨固體與圍巖之間的相對位移；τ1為錨固界面臨界剪切剛度，由摩爾庫倫屈服準則確定；τ2為滑移剪切度；α 為界面剪切剛度系數，其表示單位剪切位移所產生的剪應力，一般由剪切實驗確定。

式中：α1為巖體剪切剛度，硬巖取5～10 GPa，軟巖取1.5～3 GPa，風化巖取1～2 GPa，泥巖取1.2～2.5 GPa[18]；α2為錨固體綜合剪切剛度。

有以下關系式成立[19]：

式中：Gs為錨固劑的剪切模量；r1為錨桿橫截面半徑。

在預應力錨桿支護初期，圍巖與錨固體充分耦合。在此階段，預緊力是引起錨固體變形受力的主要因素，現假設x 點處錨固體軸向位移為Us（x），由式（5）可得：

將式（8）代入式（4）有：

并對上式求導可得：

式中：ξs（x）為錨固段軸向應變。

由虎克定律可知：

式中：Ab為錨固體折算橫截面面積；Eb為錨固體折算彈性模量。

Ab表達式如下：

式中：Ac為錨固劑橫截面面積；Ec為錨固劑彈性模量。

由式（10）、式（11）可得：

其中，

式（20）屬于二階常系數非齊次微分方程，可求得其解為：

可得，在圍巖變形條件下錨固段所受軸力及剪應力：

將圍巖變形量及錨固參數分別代入在預緊力作用下及圍巖變形條件下預應力錨桿的軸力、剪應力解析式并進行疊加可得到其自由段及錨固段應力分布。而對于錨桿錨固段應力分布計算，先假定錨固體與破碎區圍巖黏結良好，將上述2 種條件下錨固段軸力及剪應力疊加，然后將各分段疊加后的剪應力與錨固界面臨界剪切剛度比較，若超過，則表示該分段剪應力值為滑移剪切度，處于滑移狀態。滑移段軸力可對式（4）積分計算：

式中：ω 為積分常量，由錨固體滑移段端部軸力確定。

ω 值確定之后，令x=0，便可對整個自由段軸力修正。

3 算例分析

假設巷道埋深350 m，半徑為4 m，圍巖為軟巖，其黏聚力為0.8 MPa，內摩擦角30°，塑性區半徑7 m，錨桿彈性模量200 GPa，直徑16 mm，長度2.5 m，錨固長度0.6 m，錨固劑直徑23 mm，彈性模量為18 GPa，剪切模量為36 MPa，施加預緊力為25 kN，按上述步驟計算可得到預應力錨桿軸力及剪應力分布曲線，預應力錨桿應力分布曲線如圖3。

從圖3（a）可看出，錨桿自由段部分由于錨桿桿體與圍巖未接觸導致所受剪應力為0，在距孔口1.9 m 處錨固界面剪應力急劇增大至1.36 MPa，而錨固界面臨界剪切度按摩爾庫倫準則計算為2.34 MPa，錨固段未發生滑移，所以剪應力達到峰值后沿錨桿長度方向快速衰減至0。從圖3（b）可看出，在圍巖變形及預緊力施加的影響下，孔口位置處錨桿軸力達到峰值為66.44 kN，且在錨桿自由段內保持不變，在錨固段端部所受軸力沿錨桿長度方向下降并于錨固段尾部減小為0。

4 結 論

1）以圍巖變形為基礎，建立了預應力錨桿-圍巖相互作用模型，推導出預應力錨桿在支護過程中桿體的軸力及剪應力解析表達式，并得到了影響錨桿應力分布的因素有預緊力、圍巖性質、錨桿及錨固劑參數。

2）預應力錨桿在未發生滑移的情況下，自由段所受軸力為定值，錨固段所受軸力沿錨桿長度方向減小至0；而錨桿自由段所受剪應力幾乎為0，在錨固段始端剪應力急劇增大至最大值再沿錨桿長度方向衰減至0。預應力錨桿在發生滑移的情況下，需按上述步驟對錨固段軸力進行修正，得到錨桿應力分布規律。

3）在預應力錨桿支護過程中，預應力損失是影響錨固效果的重要因素，如何定量分析預應力錨桿支護過程中預應力損失量有待進一步研究。