在數據分析中培育學生統計推理能力

朱榮武

摘? ? 要?? ? 統計推理是個體適應信息社會的必備思維能力，需要從小學階段就結合統計與概率教學進行滲透。在教學過程中要突出過程性、方法性和體驗性，關鍵是緊扣描述數據分析和推斷數據分析兩條主線，引領學生經歷數據分析及其應用過程，在具體的思維活動中發展他們的數據意識、隨機思維及審慎的態度。

關鍵詞? ?統計推理 描述數據分析 推斷數據分析 隨機思維 審慎的態度

統計推理，就是利用統計數據或統計信息進行的推理[1]，其本質是一種歸納推理，前提是一定數量的統計數據，過程是發現并提煉數據中蘊含的信息并依據這些信息做推斷或決策。統計推理是個體適應信息社會必備的思維能力，在小學階段滲透培育，有利于學生體會統計推理的特點，掌握簡單的統計推理方法，學會用隨機思維看待客觀事物及其規律，實現思維的“更清晰、更深入、更全面、更合理”[2]，并形成尊重事實、用數據說話的態度。

立足小學數學課堂培育統計推理能力，關鍵是引領數據分析及其應用過程，要緊扣兩條主線——描述數據分析和推斷數據分析[3]，既讓學生學會從“一堆雜亂無章的數據中提煉信息、尋找規律”[4]，也讓學生經歷簡單的從樣本推斷總體的過程，不斷地體會數據分析方法、體驗數據價值、理解親近數據、積累隨機思維經驗。但日常統計與概率的教學往往只注重顯性的統計、概率知識的教學，弱化了統計推理能力的培育，因此結合日常教學有意識、有預見地滲透統計推理能力的培育，任務迫切。

一、經歷描述數據分析過程，感受數據中的信息

統計學的研究基礎是數據，但統計推理依靠的不是數據本身而是數據中的信息。描述數據分析是不考慮數據隨機性、只針對調查數據本身的一種數據分析形式[3]。結合學生的認知經驗，有層次地引領描述數據分析過程，從數據中提煉信息、發現規律、感受數據與信息的關系，是培育統計推理能力的基礎。

1.理解表達數據本身的信息

數據是信息的載體，通過問題引導學生表達對數據本身含義的理解，提煉信息，產生對數據的親近感，是體驗數據與信息關系的教學起點。比如呈現調查數據（表1），先讓學生說說對每個數據含義的理解，明白調查的內容和側重點。接著讓學生圍繞以下問題展開討論：最高得分是多少？最低呢？相差多少分？得分在20以上的有多少場？得分在30以上的呢？這里既涉及到極值、極差，也涉及到數據的簡單分布，讓學生在思考表達中切實感受到數據中是有信息的。

2.比較提煉數據間的關聯信息

基于同一事件的調查數據總是有聯系的，引領學生用聯系的眼光觀察、比較數據，尋找數據間的關聯信息，是深入理解數據與信息的重要內容。比如引導學生根據自己一至五年級每年體檢的身高數據，思考從一年級到五年級自己長高了多少、從幾年級到幾年級身高增長最快等問題。學生基于數據的比較、計算，能超越數據本身得到更多的發現。再比如呈現“李明記錄了自家7袋蒜頭的重量——28千克、31千克、31千克、29千克、33千克、32千克、30千克”，引導學生思考：比較每袋的重量，你能想到什么？學生會根據數據間的關系提煉“每袋都差不多重、每袋大約重30千克”等關鍵信息。當然有時數據間的關聯信息也體現在樣本與樣本、樣本與總體之間。

3.發現概括數據背后的信息

數據背后的信息在這里指數據中蘊含的事實或規律。比如引導學生分組統計、整理同學一庹長度和身高的數據并展開比較，鼓勵他們說出自己的發現：一個人的一庹長度與身高有聯系，身高特別高一庹就特別長，身高比較矮一庹就比較短等。有趣的規律讓學生對數據蘊藏的信息有了鮮活的體驗。

二、經歷推斷數據分析過程，豐富和發展隨機思維

隨機思維是構成統計推理能力的重要內核，引領學生結合實際情境經歷推斷數據分析過程，發展隨機思維，是培育統計推理能力的核心。推斷數據分析強調通過已調查數據去推斷調查數據之外的信息，通常表現為通過樣本推斷總體[3]。由于數據本身具有隨機性，推斷的思維基礎也是合情推理，因而推斷的結論具有隨機性。

1.比較不同范圍的數據，初步感受樣本和總體

盡管小學生很難理解樣本和總體的概念，但仍可用簡單的模型通過比較不同范圍內的數據，獲得初步感受，從而奠定隨機思維的概念基礎。比如在研究“全班同學中哪個月出生的人數最多（少）”時，引導學生將本小組的數據（樣本）和其他小組（樣本）以及全班匯總的數據（總體）展開比較并說出自己的發現，學生既會發現樣本與樣本、樣本與總體間的相似性，也會發現其不同點。接著引導思考“如果在全校學生中調查，又會怎樣？”促使學生將本班數據作為一個樣本去和全校數據這一新的總體比較。多層次的比較不斷強化了學生對樣本和總體概念的感受。

2.分析數據背景，體驗數據的隨機性

數學課程標準強調，體驗隨機性包括兩個方面：一是對同樣的事情每次收集到的數據可能不同，二是只要有足夠的數據就可能從中發現規律。教學中可以引導學生結合數據背景來反思體驗。比如在研究“上學時間”時，先布置學生連續記錄自己兩周內每天上學途中所花時間，然后組織思考：為什么路程相同，每天所花的時間卻不一樣？從連續記錄的時間里你能發現什么？通過反思明白：受交通路況、天氣等因素影響，每天的上學時間不可能是完全一樣的，所以每次收集到的數據肯定會有所差別。但排除相差較大的時間后，剩下的數據都在一定范圍內波動，是有規律的，所以能估計出自己每天上學的大約時間。對數據隨機性情理上的認同為發展隨機思維奠定了基礎。

3.用數據說話，體驗推斷結論的隨機性

根據同一變量已有的數據預測未來發展趨勢，不同的人、不同的分析方法會得到不同的結論，這些結論無所謂對錯。引導學生用數據做推斷并體驗結論的多樣性和不確定性，有利于學生隨機思維經驗的積累。比如以“派誰去比賽”為話題引導學生用數據說話。

生1：我選甲，最高成績是甲創造的。

生2：甲不穩定，我選乙。

生3：我選甲，盡管乙比較穩定但成績一直平平，如果對手很強，他就很難取勝。

生4：我選丙，丙的成績后來一直在提升，說不定比賽時會繼續提升呢！

師：真是各說各有理，老師也不好決定了。經過討論你們有什么收獲呢？

生5：根據數據和折線圖可以幫助我們做判斷。

生6：雖然大家的意見不同，但我覺得都有道理，因為都是數據在指導我們。

生7：無論選誰去都不一定確保獲勝。

……

有理有據的辯論、不確定的結論，以及深刻鮮活的反思過程，讓隨機性熠熠生輝。

4.展開概率分析，拓寬隨機思維視野

描述隨機現象的數學方法有兩個，一是統計，二是概率。概率分析方法一般有兩種：一種是根據“所有可能的結果”去判斷某種結果出現的可能性;一種是通過重復試驗，由事件的頻率估計概率。比如研究“從3張紅桃和1張黑桃中任意摸1張，哪種牌被摸到的可能性大？”這一事件。先引導學生列舉出所有可能的結果再判斷：可能的結果有4種，其中3種是紅桃，1種是黑桃，所以摸出紅桃的可能性大。接著組織試驗——從中任意摸出1張，摸后放回，打亂后繼續摸，一共摸40次并記錄每次摸到的花色。試驗的結果無外乎三種：紅桃多（大多數）、一樣多和黑桃多（個別）。然后組織學生交流討論：統計結果能說明之前的判斷嗎？通過數據分析，學生發現統計結果有的能證實之前的判斷，有的則不能，進而引導學生體會：通過概率分析既可以事先對結果進行合理預測，而實際結果大多符合規律，但也有例外，例外的個案并不能否定規律。

三、經歷數據分析應用過程，體驗統計推理的價值

應用數據分析解決實際問題，既要關注問題的現實性和趣味性，又要突出數據分析方法與問題解決之間的關聯，還要著力提高學生思維的卷入程度、水平及其感受體驗。

1.統計分析提煉規律

圍繞要解決的問題整理調查數據、展開數據分析、提煉信息發現規律，是解決實際問題的重要方式。在小學生的生活世界中這樣的實例也有很多，教學中要引領學生經歷解決問題的全過程。比如解決“運動與脈搏有怎樣的關系？”這一問題，先組織學生討論制訂方案：四人為一組分別測出3項1分鐘脈搏的次數——運動前的脈搏次數、原地高抬腿30秒后的脈搏次數、休息2分鐘后的脈搏次數，算出平均數，并比較研究。然后展開實驗—統計數據—比較分析—提煉規律—獲得結論—反思感悟等活動。其間方案的醞釀是重點，有利于學生從整體上了解用統計推理解決問題的過程特點;反思感悟是關鍵，既強化了方法體會還獲得了統計推理的價值體驗。

2.抽樣分析推斷總體

通過“由樣本推斷總體”解決問題，不僅要重視結果的獲得還要不斷引發深度思考。比如解決“班級里的男（女）同學中穿多少碼鞋的人數最多？”這一問題，先讓學生理出思路：將男女生分別分成若干組，整理出每組中穿各種鞋碼的人數，利用小組數據去估計全班情況;再分別匯總全班男女生的數據，做出判斷。活動中要不斷引發思考：你覺得其他組的調查數據會和你們組一樣嗎？怎樣判斷全班的情況？你們小組數據與全班數據有什么關系？引導學生體會：各男、女生小組數據（樣本）間既有相似性也有區別，可以根據小組的特點去估計全班（總體）的特征。接著引申思考：你覺得三年級其他班的情況會怎樣？整個三年級呢？讓學生體會隨機數據中的規律，即三年級的學生年齡都差不多，穿鞋碼數的情況也會和本班大致相同。再追問：六年級的情況會和咱班一樣嗎？讓學生體會用三年級學生的情況去推測六年級顯然不合理，體會不同范圍內統計數據和結論的隨機性。

此外，培育統計推理能力還要著力培養學生以審慎的態度評價統計推理活動的意識，即養成一種審視統計推理過程的理性自覺。因為統計推理盡管是基于數據說話，但由于其不是必然性推理，結論并不一定正確。比如提供以下信息讓學生展開推理：三年級學生的近視人數比去年增加40%;六年級學生的近視人數比去年增加20%;哪個年級學生的視力情況好些？絕大多數同學認為六年級學生的視力情況好于三年級。此時教師不動聲色地呈現：三年級去年近視10人，六年級去年近視100人。學生恍然大悟：在沒有基數的情況下比較百分率是沒有意義的;根據數據做判斷要小心，不能盲目…… 教學中要有意識地讓學生經歷分析—推斷—反思—修正的過程，在積累思維經驗的同時形成科學的態度。

參考文獻

[1] 邵光華.作為教育任務的數學思想與方法[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2] 鄭毓信.以“深度教學”落實數學核心素養[J].小學數學教師，2017（09）.

[3] 史寧中.基本概念與運算法則：小學數學教學中的核心問題[M].北京：高等教育出版社，2013.

[4] 史寧中.統計的基本思想與方法及其課程教學設計[J].課程·教材·教法，2005（06）.

[責任編輯：陳國慶]