得到魔杖的概率

劉金龍

塔塔鎮(zhèn)來(lái)了一位奇怪的魔法師，他在鎮(zhèn)子?xùn)|頭的老槐樹(shù)下放了兩個(gè)箱子，引來(lái)了鎮(zhèn)上人的圍觀。

魔法師擺放的兩個(gè)箱子中，甲箱子是透明的，里面有1枚黃燦燦的金幣，乙箱子卻是不透明的，里面可能有1根魔杖。據(jù)說(shuō)魔杖很厲害，可以讓人擁有人人羨慕的魔法，不過(guò)這些魔法需要有一顆善良的心才能使用。

可是，乙箱子里可能有魔杖，也可能沒(méi)有，每個(gè)人的選擇機(jī)會(huì)只有一次：要么選擇單獨(dú)拿走乙箱子，要么將兩個(gè)箱子同時(shí)拿走。

你肯定會(huì)說(shuō)，當(dāng)然是兩個(gè)箱子都拿走啦，不拿白不拿！別著急，既然是魔法師擺放的箱子，哪會(huì)那么容易讓你都拿走呢！

魔法師擁有可以預(yù)測(cè)未知的魔力，據(jù)說(shuō)他的魔力預(yù)測(cè)未知的準(zhǔn)確率高達(dá)90%，在他預(yù)測(cè)到你會(huì)將兩個(gè)箱子都拿走時(shí)，他就會(huì)讓乙箱子空著，你雖然拿到了兩個(gè)箱子，卻只能拿到1枚金幣;若魔法師預(yù)測(cè)到你會(huì)單獨(dú)拿走乙箱子，他就會(huì)預(yù)先把1根魔杖放進(jìn)乙箱子中，這樣，雖然你只拿走了乙箱子，放棄了甲箱子里的金幣，卻可以得到1根很厲害的魔杖。那么，你會(huì)做出何種選擇呢？

古嚕嚕：這有什么問(wèn)題嗎？如果讓我選擇的話，我當(dāng)然將兩個(gè)箱子都拿走嘍！萬(wàn)一魔法師預(yù)測(cè)不準(zhǔn)，我至少還能拿到1枚金幣啊。

阿木老叔：別著急做決定，魔法師的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率可是高達(dá)90%的，讓我們先測(cè)算一下吧。

第一種思維如果魔法師預(yù)測(cè)到來(lái)拿箱子的人會(huì)將兩個(gè)箱子都拿走，他就會(huì)讓乙箱子空著，這個(gè)時(shí)候拿箱子的人實(shí)際就要選擇將兩個(gè)箱子都拿走，這樣至少能拿到1枚金幣;如果魔法師預(yù)測(cè)到來(lái)拿箱子的人只拿乙箱子，他就會(huì)將1根魔杖放入乙箱子里面，這個(gè)時(shí)候，拿箱子的人實(shí)際更應(yīng)該將兩個(gè)箱子都拿走，因?yàn)榧紫渥永锟墒怯兄?枚金幣呢，無(wú)論何時(shí)都存在，沒(méi)理由放棄啊。

第二種思維

古嚕嚕：他們兩撥人的分析都很有道理啊，到底該拿兩個(gè)箱子還是單獨(dú)拿走乙箱子呢？

阿木老叔：又迷糊了吧？這就是這道題的精妙之處，也是數(shù)學(xué)的有趣之處，繼續(xù)認(rèn)真往下看吧。

塔塔鎮(zhèn)的居民中，無(wú)論是哪一種思維的人，他們想的都是最大可能拿到魔杖，出現(xiàn)一個(gè)最佳的結(jié)果。既然知道了魔法師預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確率，我們不妨幫他們做一個(gè)概率的分析。

當(dāng)魔法師的預(yù)測(cè)正確時(shí)，最佳結(jié)果是拿箱子的人可以拿到1根魔杖;而當(dāng)魔法師的預(yù)測(cè)出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，那最佳結(jié)果便是拿箱子的人可以拿到1根魔杖加1枚金幣。

當(dāng)拿箱子的人選擇拿走兩個(gè)箱子的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)兩種結(jié)果：拿到1枚金幣或者拿到1根魔杖加1枚金幣;當(dāng)拿箱子的人單獨(dú)選擇乙箱子的時(shí)候，也會(huì)出現(xiàn)兩種情況：拿到1根魔杖或者什么也得不到。因?yàn)檫x擇拿走兩個(gè)箱子和單獨(dú)拿走乙箱子是兩個(gè)相互獨(dú)立的事件，因此，這兩種選擇各自有50%的可能。

在選擇拿走兩個(gè)箱子的時(shí)候，能拿到1枚金幣的概率是100%，而能拿到1根魔杖的概率卻只有10%。因?yàn)閺恼w上分析，選擇拿走兩個(gè)箱子的概率是50%，所以，能拿到1根魔杖的概率實(shí)際是5%（拿到1根魔杖+1枚金幣），而能拿到1枚金幣的概率也就是50%（拿到0根魔杖+1枚金幣）。

在選擇單獨(dú)拿走乙箱子的時(shí)候，能拿到1根魔杖的概率是90%，什么都得不到的概率是10%。因?yàn)閺恼w上分析，選擇單獨(dú)拿走乙箱子的概率是50%，所以，拿到1根魔杖的概率是45%（拿到1根魔杖+0枚金幣），而什么都得不到的概率則是5%（拿到0根魔杖+0枚金幣）。

古嚕嚕：看完這個(gè)博弈的過(guò)程，我覺(jué)得其實(shí)也沒(méi)什么最佳結(jié)果了，因?yàn)闂l件限制，只能出現(xiàn)這樣的情況。

阿木老叔：明白了吧？這里面其實(shí)包含了一個(gè)著名的悖論，叫作紐科姆悖論。也有人說(shuō)這個(gè)悖論是自由意志信徒和決定論信徒的“石蕊試紙”。感興趣的小伙伴們可以繼續(xù)深入研究探討哦。

編輯：可是，大家有沒(méi)有想過(guò)，若改變其中的某個(gè)或者某幾個(gè)條件，是不是就可以避免出現(xiàn)這個(gè)悖論呢？

古嚕嚕：對(duì)啊，我怎么沒(méi)想到呢，可是，改變哪一個(gè)條件呢？

阿木老叔：從博弈的過(guò)程來(lái)看，一切都與魔法師預(yù)測(cè)未來(lái)的準(zhǔn)確率有關(guān)，我們不妨試一下改變這個(gè)準(zhǔn)確率，看看結(jié)果會(huì)怎么樣。

假設(shè)將魔法師預(yù)測(cè)未來(lái)的準(zhǔn)確率改為50%，那么在選擇拿走兩個(gè)箱子的時(shí)候，能拿到1枚金幣的概率是100%，而能拿到1根魔杖的概率卻達(dá)到了50%，因?yàn)閺恼w分析，兩個(gè)事件的概率還是各占50%，所以，能拿到1根魔杖的實(shí)際概率是25%（拿到1根魔杖+1枚金幣），而能拿到1枚金幣的概率還是50%（拿到0根魔杖+1枚金幣）。

而在選擇單獨(dú)拿走乙箱子的時(shí)候，能拿到1根魔杖的概率也降到了50%，什么都得不到的概率則上升到了50%。再結(jié)合整體選擇單獨(dú)拿走乙箱子的概率為50%，從而得出，拿到1根魔杖的概率實(shí)際已經(jīng)降為25%（拿到1根魔杖+0枚金幣），而什么都得不到的概率實(shí)際也增加到25%（拿到0根魔杖+0枚金幣）。

這樣的話，毫無(wú)疑問(wèn)，當(dāng)然就是將兩個(gè)箱子都拿走了，因?yàn)闊o(wú)論拿不拿甲箱子，能夠單獨(dú)拿到1根魔杖的概率都是25%，而將兩個(gè)箱子都拿走還能增加50%的概率同時(shí)得到1根魔杖+1枚金幣，若不拿甲箱子的話，反而有25%的概率空手而歸。

古嚕嚕：看來(lái)，魔法師的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確率才是這個(gè)悖論的關(guān)鍵所在??！

阿木老叔：明白了吧？之所以為悖論，就是因?yàn)槭鼙旧斫o出的一些條件的限制，若改變其中的關(guān)鍵條件，也許悖論就不存在了。好好學(xué)習(xí)吧。