基于Dulac函數的捕食-食餌模型的定性行為

吳玉敏 李福坤

摘要：為解決傳統捕食-食餌模型對定性行為中極限環的不存在性判斷時間較長的問題，為此對基于Du-lac函數的捕食-食餌模型定性行為進行研究，并對食餌常數投放率進行計算。驗證模型定性行為的必然持續性，為平衡位置的計算提供充分必要條件，由Dulac函數判別模型極限環的不存在性，計算出定性行為的平衡點。通過實驗論證得出，捕食-食餌模型相比文獻！模型判斷時間縮短0.4mino

關鍵詞：捕食者;極限環;Dulac函數;定性行為

中圖分類號：0175.12;017.26

文獻標識碼：A

文章編號：1001-5922（2020）07-0150-04

0引言

在生態系統中食餌的充裕性和豐富性對捕食者發展具有深遠影響，其影響因素包括生存空間規模以及.棲息地空間等，因此在研究捕食-食餌模型時要與實際情況相貼近。在該模型研究過程中，對捕食者提供額外食餌補充所產生的影響以及在生態調控中的作用成為研究熱點，將模型具有的常數投放率和收獲率的定性行為作為研究方向，討論該模型的平衡點狀態，使捕食-食餌模型一類食餌具有常數投放率的定性捕食行為。而Dulac函數在研究微分方程定性理論領域內起著關鍵作用，能夠對捕食-食餌模型定性理論中極限環的不存在性進行充分判斷，因此利用捕食-食餌模型對食餌常數投放率進行計算時，Dulac函數的運用十分重要。并且由于其正解的持久性主要依賴于收獲力和對額外食餌的吸收，指出Dulac函數的一般構造方法，表明額外食餌補充對捕食-食餌模型結果好壞的影響，并對Dulac函數的構造進行了總結和探討。利用Dulac函數對模型極限環不存在性的問題進行討論，運用環域定理得到正平衡點周圍極限環的存在與唯一性的相關條件，從而對具有常數投放率的捕食-食餌模型的全局穩定性進行分析，通過極限環存在的唯一條件得到平衡位置，實現捕食和食餌2個種群的共存。

1計算捕食-食餌模型定性行為平衡位置

1.1驗證模型定性行為的必然持續性

首先驗證捕食-食餌模型定性行為的持續必然性，捕食和食餌兩個種群的變化規律隨時間的變化而變化，因此其定性行為的持續必然性，即驗證兩個種群能否一致持久生存是計算捕食-食餌模型定性行為平衡位置的前提"。具有常數投放率的捕食-食餌模型是通過建立生物數學模型來反映種群的變化規律，并且由于種群本身周期性的出生和死亡等因素，獲得種群一致持久性的條件尤為重要，因此在驗證捕食-食餌模型定性行為的持續必然性時，要將流行病以及時變因素作為影響因素并加以充分考慮。

對受流行病影響捕食-食餌模型加以分析，設易感食餌為S，捕食者的死亡率為r，捕食-食餌模型的捕食者為I，患病食餌為Y，捕食者的捕獲率為P，模型最大環境承載量為t，捕食者對食餌的營養轉化率為K，則食餌患流行病的生態流行趨勢計算公式為：

其中b為捕食者對患病食餌的捕獲因子，且b>l;代表患病食餌持久的充分必要條件，且0<0Sl;

K代表患病食餌滅絕的充分條件。根據式（2）可知，捕食-食餌模型的正平衡點是漸近穩定的。

根據捕食者持久生存和疾病流行的閾值條件對Lyapunov函數進行構造：

式（3）中的U代表Lyapunov函數;V表示捕食者持久生存的閾值條件;V代表捕食者疾病流行的閾值條件。

根據該模型獲取受流行病影響的捕食-食餌模型全局吸引的充分條件，證明該模型存在支持自身穩定性的Hopf分支，也就是受流行病影響的捕食-食餌模型，其捕食者和食餌定性行為存在必然性。

除了流行病影響因素，時變因素也是具有常數投放率的捕食-食餌模型需要考慮的重要條件。因此在時變因素驗證過程中，選擇常微分方程和具有常數時滯的時滯微分方程，并且受幼年捕食者以及食餌從出生到成熟的周期時間，還應選擇有年齡一結構的偏微分方程，結合幼年階段生長過程以及捕食者對食餌不分年齡進行捕獲等實際情況，使得年齡結構成為捕食-食餌模型中最重要的特征之-2。由（1）可知食餌具有Logistic增長率，設幼年食餌和成年食餌在時刻的密度分別為X{i）及X

根據食餌密度得出捕食-食餌模型的疏散特征，即通過定義捕食者的凈再生數，能夠驗證模型定性行為的一致持久性和全局漸近穩定性。至此完成模型定性行為必然持續性的驗證，為定性行為平衡位置的計算提供了充分必要的前提條件。

1.2Dulac函數判斷極限環的不存在性

利用Dulac函數對具有常數投放率的捕食-食餌模型的極限環進行判斷，當該區域內的極限環不存在時，則捕食和食餌兩個種群在該區域內全局漸近穩定，是模型定性行為的平衡穩定區間。設具有常數投放率且功能反應函數為C，食餌種群的常數投放率為h，基于捕食-食餌模型正常數平衡解的局部性態得到C一M關系式。模型常數解的基本性態如圖1所示。

設捕食者的捕獲率為b，處理時間為c，捕食者間的強度為e，食餌為u，捕食者為v，體現物種間相互干擾的一項為ceuv，則C-M關系式的反應函數為：

由此可得出處理時間c的具體數值，設捕食-食餌模型的平衡點坐標為R（x，y），則模型平衡點的解為：

模型在R（x，y）內無極限環，其點R也是捕食-食餌模型的穩定點，捕食和食餌2個種群在R內定性行為全局趨于平衡穩定的狀態。其捕食-食餌模型定性行為的軌線相圖如圖2所示。

由圖2可知，當R內無極限環時，捕食-食餌模型定性行為的軌線無限趨近于點R，捕食者和食餌兩個種群能夠得到共存。

當obcabes0時，則R（x.y）周圍存在唯一穩定的極限環。設捕食者的死亡率為m，食餌向捕食者的轉化率為B，食餌的環境容納量為k，R內具有光滑邊界的有界開區域為2，捕食者的功能反應函數為1+u其中a為食餌的內稟增長系數，則極限環內的平衡態公式為：

使x>0，y>0得，則捕食-食餌模型圍繞點R存在唯一穩定的極限環，其定性行為在平衡點R附近呈穩定的周期振蕩狀態。至此完成了捕食-食餌模型定性行為平衡位置的計算。

2驗論證分析

為驗證本文模型對定性行為中極限環不存在性判斷的有效性，與文獻捕食-食餌模型進行對比實驗，以亞洲長角甲蟲和樹皮甲蟲為實驗對象，二者分別對應捕食與食餌。利用兩種模型對實際案例進行分析，并進行數值模擬，應用MATLAB2010（a）軟件來驗證理論結果的正確性。實驗中數值模擬的參數取值如表1所示，其中x和y分別代表亞洲長角甲蟲和樹皮甲蟲：

本次測試環境為挪威槭樹，在該樹上亞洲長角甲蟲的產卵率較高，校準參數c的取值取決于挪威槭樹類型，數值模擬中的時間尺度以月為單位計算。改變捕食者的千擾系數，則食餌和捕食者的種群密度會呈現出周期振蕩，兩種實驗模型在測試時，當食餌與捕食者在極限環的振蕩中共存時，則捕食和食餌兩個種群得以穩定共存。共設置10次實驗，并記錄兩種模型對極限環不存在性的判斷時間，如圖3所示。

根據圖3實驗數據，可得文獻[3]模型判斷時間為1.7min，本文模型判斷時間為1.3min，相比文獻[3模型縮短了0.4min，驗證了本文捕食-食餌模型的有效性。3結語

文章針對傳統捕食-食餌模型中，對極限環的不存在性判斷時間較長的問題，設計了一個基于Dulac函數的捕食-食餌模型。通過Dulac函數對極限環的不存在性進行判斷，并計算出定性行為的平衡位置，當極限環不存在時，相應參數下捕食和食餌兩個種群在此區間內能夠實現共存，并最終保持在計算出的平衡位置上，當唯一穩定的極限環存在時，兩個種群均不會滅絕，其種群數量在平衡位置附近，呈現穩定的周期動蕩。并通過對比實驗，驗證了捕食-食餌模型能夠縮短極限環的不存在性判斷時間的有效性，但本文在細節方面還存在不足，例如沒有考慮到捕食者依賴于自身密度而提高捕獲概率的情況，除此之外，還忽略了食餌和捕食者成熟期對模型的影響，希望在今后的研究中將其改善。

參考文獻

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