四旋翼無人機PDF控制系統設計和抗干擾分析

尹 豪,唐 猛, 侯 凡

(西南交通大學 機械工程學院，成都 610031)

0 引言

四旋翼無人機是當下比較熱門的一種多旋翼無人機，目前已被大量應用于航拍，偵察，巡線，噴灑農藥等眾多領域。而常用的PID控制方法具有結構比較簡單，其參數調整也相對方便的特點，故在四旋翼無人機控制的工程實際應用中技術人員一般都采用PID控制策略。但在某些特定的高精度控制和抗擾動應用場合，常用的PID控制算法往往不能滿足需求。為了能夠適應這些應用對四旋翼無人機控制性能的特定需求，在國內外都出現了多種更智能的控制方法應用在四旋翼無人機中的研究，比如：模糊PID控制[1]、自抗擾飛行控制[2]、滑膜控制[3]以及多種控制方法的結合等等。這些控制器相對于PID控制器的控制效果都比較好，但這些控制器的結構也更加復雜，以及建立它們的數學模型變得困難，不利于四旋翼無人機的實際控制應用[4]。

偽微分反饋(Pseudo Derivative Feedback)控制策略[5]，簡稱為PDF控制，是由美國紐約州康奈爾大學的Phelan教授于1977年在其書籍《Automatic Control Systems》中提出的，是一種基于One-Master原則的實用性很強的控制架構。以往許多的研究表明，PDF策略相比PID控制策略具有更強的魯棒性、較強的抗干擾能力和好的動態控制性能。本文就主要工作就是研究將偽微分反饋控制方法引入到四旋翼無人機中，以提高其控制性能；通過建立PID和PDF姿態控制器的控制仿真模型，研究PDF和PID策略在階躍輸入和外部干擾下的的性能提升。

1 四旋翼無人機動力學模型

1.1 坐標系建立及坐標系變換

四旋翼無人機的旋翼結構布局常用的有十型結構和X型結構，本文的四旋翼機型采用X型，它的4個旋翼(1、2、3、4)分別位于X型結構的前后左右4個端點上，分為正對角線和反對角線兩組，且飛行時兩組旋翼的旋轉方向剛好相反。即電機1和3逆時針旋轉，電機2和4順時針旋轉，四旋翼無人機結構如圖1所示。

圖1 四旋翼無人機結構簡圖

為描述四旋翼無人機的運動學關系，本文為此建立了兩個坐標系，分別為地面坐標系與以無人機重心為原點的機體坐標系。其中地面坐標系是用來表示四旋翼無人機在整個地球空間的三維位置坐標XN、YN、ZN，以便觀察飛行器相對于地面的運動狀態，由此可以得到四旋翼無人機的航向、姿態和位置信息。地面坐標系示意圖如圖2所示，規定坐標原點與四旋翼無人機的起飛點重合，沿飛行器的前進方向為ONYN正軸，垂直于水平面向上為ONZN正軸，垂直于ONXNZN平面向上為ONYN正軸，其與軸ONXN、軸ONZN構成右手坐標系。

本文機體坐標系的定義如下：機體坐標系的選擇在以下幾個前提的假設下，不管飛行器高度如何變化，重力加速度是不會變的，也即四旋翼無人機的重量是不會變的；無人機的結構保持穩定，使得它的重心要保持不變；且飛行器是剛體，因此不會發生彈性形變。該坐標系是一直附著在機體上的，其原點位于四旋翼無人機的重心位置，OBXB軸與無刷直流電機1和2的對稱線平行，假定向前為正；無刷直流電機2和3的對稱線即為機體坐標系的OBYB軸 ，假定向左為正；而機體坐標系的OBZB假定向上為正，符合右手坐標系的規定。

圖2 地面坐標系與機體坐標系示意圖

由于四旋翼無人機具有特殊的結構，使得僅通過調整4個旋翼的轉速，就可以改變它的飛行姿態。對于四旋翼的各種姿態控制有以下幾種情況：1)四只旋翼的旋轉速度恒定并相等，而且它們的升力之和等于四旋翼的重力，此時無人機處于懸停狀態；2)旋翼1和4的轉速增大，而旋翼2和3的轉速減小(或者旋翼1和4的轉速減小，而旋翼2和3的轉速增大)，此時無人機做滾轉運動；3)旋翼1和2的轉速增大，而旋翼3和4的轉速減小(或者旋翼1和2的轉速減小，而旋翼3和4的轉速增大)，此時無人機做俯仰運動；4)旋轉方向相同的一組旋翼轉速增大(或減小)，而另一組旋轉方向相反的旋翼轉速減小(或增大)，此時無人機做偏航運動。為方便描述四旋翼無人機的姿態，本文將3個歐拉角分別定義如下：滾動角φ為機體軸ZB與地面坐標系中XNONZN平面之間的夾角，假定飛行器向右滾動角度為正；俯仰角θ為機體軸XB與地面坐標系中XNONYN平面之間的夾角，假定飛行器低頭時為正；偏航角ψ為機體軸XB在水平面上的投影與地面坐標系XN軸之間的夾角，假定飛行器機頭向左偏航時為正。

由歐拉角定義可知，從機體坐標系到地面坐標系的位置變換，可以通過繞不同機體坐標軸的三次連續轉動來實現。因此，將四旋翼飛行器的機體坐標系依次繞ZB軸，YB軸，XB軸(即Z-Y-X順序)旋轉三次可以轉換到地球坐標系，機體坐標系到地面坐標系的旋轉矩陣為：

(1)

其中：c代表cos函數，而s代表sin函數。

1.2 動力學模型的建立

四旋翼無人機，顧名思義就是它具有4個旋翼，每個旋翼由一個無刷電機驅動旋轉，而4個旋翼一共需要4個無刷電機驅動，這4個無刷電機即為系統的動力輸入。而四旋翼無人機在三維空間有6個自由度，6個自由度僅有4個動力輸入，所以它是一個欠驅動系統。而且它的姿態角度與水平位置之間具有較強的耦合關系，故四旋翼無人機是一個強耦合、欠驅動的非線性系統。本文采用牛頓-歐拉公式推導四旋翼無人機的動力學方程，由于它的運動學和動力學系統是非常復雜的，想要完全準確的建立系統的數學模型極其困難。本文為了方便的研究對象，將無人機的動力模型簡化，建立一個相對準確的模型，提出以下假設[6]：

1)把飛行器視為一個剛體，忽略它的彈性變形；

2)把地面坐標系視為慣性坐標系，以忽略地球自轉與公轉對飛行器的影響；

3)飛行器的飛行領域內，重力加速度保持不變；

4)無人機的形狀與質量關于它的中心都是X型對稱的；

5)忽略它在飛行中所受到的空氣阻力；

6)四旋翼無人機在低速的，小角度情況下飛行。

在上面假設的情況下，四旋翼無人機所受合外力主要由飛行器本身的重力和4個旋翼旋轉所產生的升力和某些外部干擾力(比如風力)組成。飛行器受到的升力與4個旋翼的旋轉速度的平方是正比關系，記4個旋翼的轉速分別為Ωi(下標i的取值為1,2,3,4)，則

(2)

其中，kF為旋翼升力系數。

四旋翼在地面坐標系下受到的合力為：

(3)

其中:Fx、Fy、Fz為XN、YN、ZN軸所受合力，fx、fy、fz為XN、YN、ZN軸的擾動。由牛頓第二定律得：

(4)

由于四旋翼無人機的結構布局是均勻對稱的，故Jxy、Jyz和Jzx都等于零，可知機體的轉動慣量矩陣為對稱矩陣，即

(5)

其中，Jx、Jy、Jz為無人機繞機體坐標系XB、YB、ZB軸旋轉的轉動慣量。

則由歐拉方程可得

(6)

其中Mx、My、Mz為繞機體坐標系三軸所受力矩，p、q、r為繞機體坐標系三軸轉動的角速度。

進一步對轉動力矩進行分析：

(7)

其中:L為旋翼中心與機體重心之間的距離，kM為旋翼反扭矩系數。

將式(7)代入式(6)得

(8)

機體角速度與歐拉角速度對應關系：

(9)

本文研究的情況為四旋翼無人機小角度、低速飛行，因此可以做如下近似：

(10)

將式(10)代入式(8)整理得

(11)

為簡化系統數學模型，令

(12)

它們為四旋翼無人機4個獨立通道的控制量，U1、U2、U3、U4分別為垂直升降、滾動力矩、俯仰力矩、偏航力矩控制量。四旋翼無人機飛行器的動力學最終模型為：

(13)

2 無人機PDF姿態控制器設計

2.1 PDF控制策略

PDF控制器的架構類似PI控制器，但是目標值和反饋的誤差只作為I(積分)控制器的輸入，誤差不是P(比例)控制器的輸入，改用反饋作為P(比例)控制器的輸入，因為誤差不是比例控制器的輸入，因此也被Phelan稱之為偽微分反饋(PDF)[7]。

圖3 二階PDF策略控制器結構

由公式(13)可知，四旋翼無人機的姿態控制模型是一個二階控制系統。PDF策略的二階控制結構如圖3所示，整個系統的末級控制元件由傳遞函數1代表，其物理元件的最大能量輸出決定了輸出最大值M2的取值[8]，Ki、Kd1和Kd2都為PDF控制系統的系數。

2.2 PDF控制器系數確定

本研究對象模型參數如表1所示。

表1 四旋翼模型參數

由文獻[9]可知，對于一個二階對象來說，PDF控制系數的設定公式如下：

Ki=6.52·[Mmax/(I·r0)]1.5

(14)

Kd1=8.53·Mmax/(I·r0)

(15)

Kd2=4.13·[Mmax/(I·r0)]0.5

(16)

式中，I為被控對象的最大階項系數，r0為系統的階躍參考輸入的最大值，Mmax為末級控制元件的最大輸出值。由式(13)可知，I等于機體軸轉動慣量，r0=30*pi/180，末級控制元件最大輸出為滾動、俯仰和偏航最大瞬時力矩乘以對應的機體軸轉動慣量，最大力矩為2.5 N·m，3個PDF姿態控制器的系數如表2所示。

表2 四旋翼PDF控制器參數

2.3 四旋翼仿真模型

由式(13)可知，四旋翼無人機的3個姿態控制量具有耦合關系。但在較小的姿態角速率情況下，可以忽略它們相互間的耦合影響，由此可以按照單通道控制系統分別設計。Matlab/Simulink軟件平臺具有強大的仿真功能，可以在此平臺上對四旋翼的動力學模型進行動態仿真。本文對滾動、俯仰、偏航3個通道分別獨立進行PID和PDF控制仿真，整個系統的Simulink仿真模型如圖4所示。

在圖4中，仿真模型的構成主要有四部分：姿態信號模塊、控制器、控制量轉換和四旋翼無人機動力學模型。其中姿態信號模塊包括姿態角命令信號和反饋信號。姿態控制器采用PID和PDF控制器，其輸入為歐拉角命令值和反饋值，輸出為U1、U2、U3、U4。姿態控制器的輸出是中間控制量，這些量的實現最終都是靠四旋翼無人機的4個電機實現的，要達到這些控制，每個電機的具體值可有前面的式(12)反推得到。四旋翼無人機動力學模型通過一個level-2 MATLAB S-Function來實現。四旋翼PID控制器仿真模型和PDF控制大致結構類似，只是把PDF控制器換成里Simulink自帶的PID Controller模塊。

3 控制及仿真結果

下面通過如下幾個方面進行控制性能仿真，從而從仿真的角度評估PDF算法在四旋翼姿態的動態響應及抗干擾的優越性。

3.1 PID和PDF在階躍輸入的輸出響應

3個姿態角Φ、θ、ψ的初始值都是0，最終輸出分別是10*pi/180rad、20*pi/180rad和30*pi/180rad，階躍時間點分別是4 s、7 s和10 s。滾動角Φ、俯仰角θ和偏航角ψ的PID和PDF控制輸出仿真如圖5所示。

圖4 四旋翼基于PDF控制的仿真模型

圖5 PID和PDF控制下的姿態角曲線

在沒有外部擾動作用時，加上積分環節控制會導致系統的動態性能變差，而當有變化的外部擾動作用時，積分控制又不能很好的發揮它對干擾的抑制作用。因此，在對四旋翼無人機的Simulink模型進行基于PID姿態控制和抗干擾控制模擬仿真時，本文主要利用比例環節和微分環節對姿態進行控制[10]。基于PID控制算法的調試主要是利用試湊法整定PID算法的各個參數，通過先比例、后微分的步驟反復試湊調試，觀察仿真結果，以便得到滿意的控制效果，各個控制參數最終調得分別為[0.5 0 1.4],[0.4 0 1.4],[0.3 0 1.0]。圖5中，基于PID控制算法的姿態角Φ、θ、ψ的響應曲線超調量分別為14.4%、13.1%和15.7%，上升時間分別為0.9 s、0.94 s和1.3 s。圖5中，基于PDF控制算法的姿態角Φ、θ、ψ的響應曲線超調量分別為0.505%、0.505%和0.505%，上升時間分別為0.77 s、0.77 s和0.78 s。可知，在階躍輸入、無干擾的情況下，PID控制器經過多次調參后，仍有較小的超調，而PDF控制器則幾乎無超調，且它們的上升時間相差不大。

3.2 抗干擾能力比較

通過模擬在第20 s給機體軸X軸施加一個階躍負載轉矩為1 N·m，得到的仿真結果如圖6～8所示。

圖6 干擾下PID和PDF控制的滾動角

圖7 干擾下PID和PDF控制的俯仰角

圖8 干擾下PID和PDF控制的偏航角

由圖6～8可知，在階躍輸入姿態控制器響應穩定后，當給仿真模型系統一個較大的外在干擾力矩時，該干擾使得系統的總力矩相比原來的力矩瞬時增加數倍，基于PID控制器的滾動角姿態響應會立刻出現失穩的情況，并且由于耦合的原因，使得俯仰角的控制會受到干擾，最終使得整個控制系統不可控。但是在PDF控制器下，雖然滾動角也會受到擾動影響，但是立刻就會恢復到設定的姿態角度，并且不會影響到俯仰角的控制，姿態控制完全受控，對四旋翼的整體控制基本上沒有影響。

4 結束語

本文以四旋翼無人機為研究對象，在某些假設的條件下，對它的運動學和動力學進行了理論分析，然后建立了四旋翼無人機的簡化數學模型，并在Matlab/Simulink軟件平臺上對四旋翼無人機的高度和姿態控制建立了基于PID和PDF兩個控制器的仿真模型和工況仿真。仿真結果表明：采用PDF控制策略的四旋翼姿態控制系統仿真結果符合理論分析，較短的系統響應時間，極其小的超調或無超調，轉矩波動小，較好的穩態性能，具有很強的魯棒性，相比傳統的PID控制策略有更好的控制效果。在外部干擾下也能夠達到很好的動態響應，并快速恢復到命令姿態角度。對今后PDF控制在四旋翼無人機姿態控制中的研究與應用有一定的實際意義。