轉發式低軌單星多普勒定位解算技術

易卿武

(1.衛星導航系統與裝備技術國家重點實驗室，石家莊 050081;2.西安電子科技大學 電子工程學院，西安 710071)

0 引言

衛星導航系統受其信號電平低和高緯地域覆蓋不足等因素影響，存在精確性、可靠性、可用性和抗干擾性等方面的不足。為保障復雜環境下持續可靠的導航定位能力，完善軍用PNT體系，除提高衛星導航系統及接收機的抗干擾和自主化能力外，國外開展了無線電備份導航定位技術的研究，包括偽衛星定位技術[1-3]、e-Loran技術[4-5]等。小型低軌衛星具有快速部署、抗摧毀等優勢，作為一種備份導航技術，單星定位可通過更少的衛星實現目標區域的短期快速定位，解決需要定位信息但對精度要求不高的場景，利于衛星快速部署，且可采用通信衛星等非導航任務衛星實現。近年來基于低軌衛星的備份導航定位技術得到了一定研究，主要集中在采用少量衛星實現定位的算法和性能分析，包括基于偽距和測高的雙星或三星定位[6]、基于星上測向的單星定位[7-9]、基于信號多普勒變化率的單星定位[10-12]、信號抗干擾能力[13]分析等。在文獻[14]提出了一種基于偽距和多普勒定位的定位方法并對低軌衛星信號覆蓋能力進行了分析，相似定位方式在搜尋客機中得到實踐[15]。本文針對于低軌衛星的應用特點，對偽距多普勒聯合定位原理、迭代算法及定位分布特征進行分析探討，并基于軟件仿真驗證技術的可行性和定位性能。

1 單星多普勒定位算法

1.1 單星定位模型

在地心地固坐標系內，設接收機在t0時刻的空間坐標和速度為{Pre(t0),Vre(t0)}，此時到達接收機天線的衛星信號表示為s(t0)；若s(t0)從衛星發射出的時間為t1，衛星在t1時刻的空間坐標和速度為{Psv(t1),Vsv(t1)}，則滿足:

(1)

式中,c為光速，σsv(t0)為信號傳播路徑中折射和多徑等因素產生的測距誤差，ε為接收機熱噪聲導致的測距誤差。將式(1)改寫為矩陣形式可表示為:

(2)

衛星與接收機的相對運動導致接收信號存在多普勒頻移，若信號載波頻率為f0，則信號s(t0)進入接收機天線的載波頻率fre(t0)滿足:

(3)

式中,矢量{rsv(t1),rre(t0)}分別為s(t0)在衛星和接收機端的傳播矢量，由于信號傳播過程中存在折射，因此rsv(t1)≠rre(t0)，且矢量差隨著信號仰角的降低而增大。考慮衛星軌道高度在數百公里以上，且矢量差值有限，在此將式(3)近似為:

(4)

上式以矩陣形式可表示為:

(5)

公式兩邊對時間求導得到t0時刻載波頻率變化率滿足:

(6)

類似地，式(6)可表示為:

(7)

若接收機可通過其他手段獲取自身瞬時的地心方向高度值Hre(t0)，可得到:

(8)

式中,re(Pre(t0))為接收機所在地域對應的地球半徑，若接收機通過星歷解算和修正獲取{Psv(t1),Vsv(t1)}，并可通過其他傳感器獲取自身的Vre(t0)，則基于式(2)(5)(8)或者式(2)(7)(8)可得到關于接收機位置Pre(t0)=[xsv(t1),ysv(t1),zsv(t1)]T的三元方程組，通過解算可獲取兩個解值，去除一個鏡像點可獲得最終定位解。

基于偽距和多普勒的定位原理可表示為，基于高度Hre(t0)和偽距修正量可獲得分別以地心和衛星為中心的橢球面和球面解系；基于多普勒獲得了以衛星為頂點，以矢量Vsv(t1)-Vre(t0)為軸的錐面解系；這三個解析相交獲得地球同面的一個鏡像定位點和一個真實定位點。

1.2 粒子群搜索尋優計算

以式(2)(5)(8)為例進行迭代解算。將方程組進行線性化處理。將式(2)對Pre(t0)求偏導得到:

(9)

將式(5)變形為:

(11)

聯合式(9)(10)(11)可得到在迭代值Pre,k-1處的線性化矩陣方程:

(12)

式(12)的最小二乘解表示為:

[Δxre,Δyre,Δzre]T=(GTG)-1GTb

(13)

與衛星導航中的最小二乘法相比，式(9)～(13)中減少了接收機鐘差未知量和迭代更新過程，但增加了矩陣b關于地球半徑信息re(Pre(t0))的更新過程。

在式(13)中，G陣受偽距迭代誤差、多普勒觀測和偽距模值的影響，由于偽距遠大于接收機位置值，因此當多普勒表征不明顯時，收斂域十分狹窄，初值不當將導致不收斂。為了解決這一問題，需要接收機具備較為精確的初值(如通過MEMS提供)或采用網格搜索方法實現初始的粗定位。網格搜索定位的原理為，在初始點P0附近按指定方式選取n個測試點P1～Pn，計算初始點、測試點與衛星位置的直線距離l0～ln及多普勒值d0～dn，在連續觀測下將這些值和觀測值按時間順序求差，將連續觀測點下的差值取歐式空間:

(14)

將歐式空間最小的點作為下次迭代的初始點重新迭代運算，直至歐式空間最小點不變即完成初始定位。

網格迭代中步長參數影響迭代效率和最終定位性能，步長選取過小將導致在有限的迭代周期內不能充分收斂，選取過大將導致定位精度較差。為達到理想值需要通過動態調整網格步長來提高定位性能，為此采用粒子群迭代尋優的方式對式(14)進行解算。這里首先介紹粒子群算法的原理和優化方式。

標準粒子群算法中粒子的速度更新和位置更新如式(15)和式(16)所示。

vi=ωvi+c1(pBesti-xi)+c2(gBesti-xi)

(15)

xi=xi+vi

(16)

式中，xi表示第i個粒子當前的位置，vi表示第i個粒子當前的速度。pBesti為粒子自身歷史最優解又稱個體極值；gBesti為整個種群的全局歷史最優位置又稱全局極值。c1和c2為學習因子，ω為慣性權重，其大小決定了粒子對當前速度的繼承程度。

通常用Ns表示粒子群種群規模，記f(xi)為所優化問題的目標評價函數，粒子位置的優劣是依靠f(xi)的值來決定的。式(14)即為算法迭代求解的目標函數。得到粒子新的位置后，可以求出對應的f(xi)，并更新粒子的歷史最優位置信息pBesti和種群的歷史最優位置信息gBesti，每個粒子都根據這兩個值來更新優化自己的速度和位置，然后繼續迭代進行下一輪操作。

圖1是粒子群算法在二維搜索空間求解優化問題的示意圖。其中v1是粒子本身具有的速度，v2是粒子自身歷史最優解引起的速度，v3是整個種群全局歷史最優解引起的速度。粒子最終的速度v由v1、v2和v3共同決定，使得粒子從初始位置到達更新位置,并在后面迭代中逐漸靠近最優解位置。

圖1 粒子群算法求解二維空間優化問題示意圖

可以通過粒子群算法的自適應調整策略來動態調整迭代的網格步長，具體為：連續迭代t次后判斷粒子的位置改變程度，若小于某一個值則判斷當前陷入局部最優階段，采取增大網格步長的策略使得算法跳出局部最優；若連續t次迭代粒子位置改變都大于某一值，則判斷粒子開始過快搜索，為防止粒子掠過最優解，采取縮小網格步長的方式壓縮搜索空間。

自適應粒子群算法的迭代尋優步驟如下所示。

步驟一：設置算法參數，包括粒子種群數量Ns，最大迭代次數T，慣性權重ω和學習因子c1、c2及自適應選擇策略中的參數t；

步驟二：給定初始個體最優位置pBest和初始全局最優位置gBest；

步驟三：開始迭代，根據目標評價函數評價鄰域內所有粒子，與原有的個體最優位置pBest和全局最優位置gBest比較，選擇目標評價函數較小的更新為新的個體和全局最優位置，利用公式更新粒子位置；

步驟四：重復步驟二和步驟三至t次迭代，若滿足收斂條件或達到最大迭代次數則轉步驟六，否則轉下一步；

步驟五：判斷粒子當前是否陷入局部最優或者進入過快搜索階段，利用自適應參數調整策略增大搜索網格迭代搜索步長。返回步驟三；

步驟六：結束迭代尋優搜索。

2 單星參數觀測方式

2.1 轉發體制下的參數獲取

接收機通過接收和測量星上轉發的接收機應答信號實現測距，其過程表示為：接收機在tre,t時刻產生詢問信號，經發送群延遲Δtre,e在天線端發送出信號；信號在tsv,r時刻進入衛星接收天線，經過轉發處理群延遲Δtsv,e后轉發回用戶；接收機在時刻t0接收信號，經過跟蹤解算得到接收時間tre,r。這一過程如圖1所示，其中接收機初始鐘差為δt，在時間周期trer-tret內鐘差漂移為Δδt。

圖2 星上轉發偽距測量

在信號轉發過程中，由于衛星和接收機運動分別在Δtsv,e和t0-tre,t-Δtre,e周期內產生一定位移，且傳播介質具有時變性，因此上下行鏈路并不對稱，將這一差異設為σsagnac，則接收機計算初始偽距為:

(17)

接收機在測距過程中并不受初始鐘差影響，但需要預知或通過其他方法實時測量衛星轉發器群時延和接收機收發通道的群時延，并對σsagnac進行適當的修正。在接收機獲得初始偽距ρ(t0)后，通過衛星直接授時來估算時間t1，即:

(18)

2.2 雙向體制下的參數獲取

轉發式測距下接收機無需預知本地鐘差，但在有限的授時精度下對衛星位置的估計精度有限；一種提高定位精度的方法是通過雙向測量與衛星建立高精度時間同步能力來進行測距和估計{Pre(t0),Vre(t0)}。如圖2所示，接收機與衛星均在本地時為tre,t相互發送測距信號并彼此接收和完成測距，衛星將測距結果在下一次測距信號中返回給接收機。

圖3 雙向測距偽距測量

如圖3所示，接收機和衛星獲得的偽距分別為:

(19)

在此認為由于衛星和接收機的移動導致的上下行鏈路差異為σsagnac，則接收機計算本地鐘差為:

(20)

在獲取本地鐘差后，接收機可基于ρre計算信號發送時間tre,t，并基于此修正偽距和計算{Pre(t0),Vre(t0)}。

3 單星多普勒定位性能分析

3.1 定位誤差分布

若距離、多普勒頻移和高度誤差不對式(9)～(11)所示的線性化過程造成影響，則定位誤差近似為:

(21)

可以得到與星下點越遠，等間隔的多普勒曲線越稀疏，而偽距曲線越致密；星下點軌跡的多普勒曲線比外圍更加致密。因此可得到定位精度的分布特點：

1)在星下點區域定位精度對多普勒測量誤差相對不敏感，而對偽距測量誤差較為敏感；

2)隨著與星下點距離的增大對偽距誤差敏感程度降低，而對多普勒測量誤差敏感程度逐漸增大；

3)在同樣的偽距距離下，越靠近星下點軌跡對多普勒誤差越敏感。

4)除上述特點外，在星下點軌跡附近區域內接收機更加難以判別所處位置在星下點軌跡的哪一側，迭代定位中將有可能定位到鏡像點上，造成較大的定位誤差。

即對于單星多普勒定位，不同區域定位性能不僅與接收機和衛星的空間分布特征相關，還與不同的誤差項相關。

3.2 定位覆蓋能力

在此暫不考慮測距過程對用戶容量的限制，取接收機遮蔽角為θ，衛星高度為Hsv，則衛星對地覆蓋半徑為:

(22)

式中,re為地球半徑。不同高度衛星對應的覆蓋面積及最大可見時間如圖5所示。

當滿足無縫覆蓋時，所需衛星數估測為:

N≤(πre/rsv)2/2

(23)

對于600 km高度衛星，所需的衛星總數達到100顆以上，但相對于滿足4星覆蓋，所需的衛星總數仍縮減了50%以上。

3.3 定位仿真結果

針對某單星軌道進行定位仿真，仿真中在軌道星下點同側任意設置了5個觀測站點，衛星軌道及觀測站點分布如圖6所示。

仿真中基于衛星和接收機位置計算實際幾何距離和多普勒頻移，以此為基礎加上設定誤差作為接收機的模擬觀測值，其中取衛星軌道誤差為10 m、測頻噪聲為10 Hz、測高誤差為3 m。在迭代計算過程中取粒子群規模為Ns100，迭代次數上限T為100,慣性權重ω取0.9，學習因子c1、c2都取1.5，自適應網格步長調整策略中t取10。

圖6 衛星軌道及觀測站點分布

通過仿真得到不同時刻各站點計算的定位誤差如表1所示。

表1 單星仿真定位誤差 (m)

可得到在仿真環境下不同時刻定位精度存在一定差異，并且遠離星下點的觀測點定位誤差較差，總體上單星定位精度在百米量級。

4 結束語

基于偽距和多普勒觀測量可實現單星條件下的導航定位，在本文設計的定位方式下，單星定位精度與偽距和多普勒觀測誤差相關，誤差分布呈現出對不同誤差項的敏感差異。通過仿真初步驗證表明基于偽距和多普勒測量能夠達到百米量級的定位精度。未來將進一步探討單星導航定位的應用前景和工程實現中的相關技術。