有效長度系數的計算公式研究

田博宇 孫 博 竇艷偉

（中國石油工程建設有限公司北京設計分公司，北京 100085）

柱或梁柱的設計通常都是從柱兩端彈性轉動阻力（GA，GB）的計算開始，由計算得到有效長度系數K。無側移框架體系和有側移框架體系的數學精確方程是由Barakat和Chen提出的，該方法需要大量的計算來求解方程，且該方法適用于繁瑣復雜的柱與梁柱結構體系。

1 精確方程和近似方程的研究背景

考慮一個兩端彈性約束的柱AB，用GA表示A端的轉動約束因子，GA表示在A點處連接的所有柱與所有梁的相對剛度的比值：

在歐洲規范中，使用了另外兩個因素βA和βB來取代GA和GB。β的定義與G的定義不同，公式如下：

β與G之間的數學關系如下：

歐洲規范中用β而不用G，當連接方式為鉸接時，取β=0，當連接方式為剛接時，取β=1。

1.1 無側移框架體系

無側移框架體系是有效防止發生側移的框架體系，如圖1中的a，有效長度系數K不大于1.0。無側移框架柱的計算長度系數表的得出是下述數學方程的解的集合：

對于上述方程，只能用數值方法進行求解，法國規范中給出的近似解如下：

1.2 有側移框架體系

如果剛性框架僅依靠框架的作用來抵抗側向力，則允許其位移的產生，如圖1中的b。在這種情況下，有效長度系數K不小于1.0。有側移框架柱的計算長度系數表的得出是下述數學方程的解的集合：

圖1 無側移框架體系和有側移框架體系

上述方程雖然比方程（4）簡單，但是也同樣不能用封閉形式求解。法國規范中建議的近似解形式如下：

2 理論公式

首先，通過對無側移框架體系和有側移框架體系的數值分析，確定了柱端轉動阻力（GA，GB）不同實測值對應的有效長度系數K。將這些三維中的表示有效長度系數的點繪制到一個二維平面中，然后，將這些曲線中系數K與公式（5）和（7）中的K值對應的解進行比較，選擇并進行調整最小標準差得到最佳公式。

圖2 有效長度系數（K）與無側移框架體系柱端約束阻力的關系曲線

圖3 有效長度系數（K）與有側移框架體系柱端約束阻力的關系曲線

利用計算機軟件對上述提出的公式進行基于最小二乘法的多元回歸分析，可以擬合出標準誤差小且簡單于法國規范中給出的公式。

對于無側移框架體系，得到的有效長度系數K的計算公式如下：

其中：0≤GA≤100，0≤GB≤100

對于有側移框架體系，為了得到更為準確的結果，根據柱端轉動阻力的范圍，得到了有效長度系數的兩個方程如下：

其中：0≤GA≤10，0≤GB≤10

其中：10＜GA≤100或10＜GB≤100

3 精確公式的精確性

我們可以將所得公式給出的結果與通過解相應的方程得到的結果進行比較，很容易得到相應的精確性比較。首先我們可以看一下法國規范中關于有效計算長度系數的圖表和公式，圖表中的精確性主要取決于數據量的多少，在數據量稍小的圖表中，精度偏差大約為5%；另一方面，法國規范中提到無側移框架體系中的公式（5）的精度偏差為0.5%，而有側移框架體系中的公式（7）的精度偏差為1.5%。依據目前的回歸分析中所有點的誤差百分比（取無側移框架體系和有側移框架體系均為300個點）表明：本文通過線性回歸得到的公式對于無側移框架體系公式（8）的精度偏差在0.5%以內，對于有側移框架體系公式（9）和（10）的精度偏差在1%以內。

4 結果對比

表1和表2分別表示無側移框架體系和有側移框架體系由公式（8） ～（10）計算得出的K值與法國規范中理論公式（5）和（7）得到的K值結果進行對比，如下表1和表2：

表1 無側移框架體系公式（8）K值與公式（5）K值的對比

表2 有側移框架體系公式（9）（10）K值與公式（7）K值的對比

通過表1和表2可以清楚看到，雖然公式 （8） ～（10）很簡單，但是與法國規范中的公式（5）和（7）相對比可以發現，公式（8） ～（10）的結果更準確，更接近于精確值，偏差更小，同樣，精確公式的得出也更方便于工程師日后的計算工作。

5 結語

本文通過對法國規范中有效長度計算系數公式的精確解進行多元回歸分析，研究確定了簡單準確的鋼結構柱的有效長度系數K的計算公式。其中GA和GB范圍為0～100之間。