數字預測之“魔法”

吳青

集體預測

美國加州南部的橙縣博覽會上，即將開始“群體智慧”預測游戲。此舉旨在驗證1906年舉行的一項競賽一猜猜一頭牛的體重。當時無人猜對這頭牛的精確體重，但大家所猜數字的平均值與精確數字只相差不到1%。這被稱為“群體智慧”。但這只是—個巧合，還是一個普遍現象？

這次博覽會的預測內容是：罐子里有多少顆糖豆？135人提交了猜測數，其中最小數是183，最大數是12000，平均數是1522，實際數是1676。也就是說，預測平均數與實際數相差不到10%。從統計學意義上說，數字預測中的群體智慧的確存在。

獨特科學

運用統計學進行預測是近數百年的事。古羅馬人利用鳥的飛行和叫聲來做預測。中國殷周時代的古人通過燒龜殼，由出現的裂紋多少和裂紋走向來預測將發生的事。從幾百年前開始，人類轉向運用科學來做預測，取得了了不起的成績，從海王星、無線電波或黑洞的存在到彗星將來的位置都測得很準。而讓這些預測取得驚人成功的關鍵就是統計學的運用。

統計學是一門獨特的學科。它不是一門經驗科學，不是純數學，也不是哲學，而是做科學研究所依據的語言、架構和規則。也就是說，做決策、下結論和做預測都始于統計學。而歸根結底，統計學的預測能力依賴的是大約500年前的一種創新性見解——隨機性本身可被概率學（一門數學學科）馴服。

大數定律

美國博弈之城拉斯維加斯可謂建立在概率論的基礎上。事實上，幾百年來數學和博弈一直被捆綁在一起。擲骰子的隨機性根本沒有你想象的那么強，博弈也不是什么新鮮事。古希臘人和古埃及人很早就把羊踝骨作為一種原始骰子來用。令人驚訝的是，雖然古希臘人是數學的奠基人之一，他們卻根本沒想到要研究概率博弈。

16世紀，意大利數學家卡爾達諾提出：博弈游戲重復次數越多，數學概率對博弈結果的預測越準。后來這被稱為“大數定律”。大數定律的例子在日常生活中比比皆是，比如：定義硬幣的正反面，并且向空中拋硬幣;如果只拋幾次，那么硬幣掉下來后正面或反面朝上的次數明顯更多;但如果拋100次以上，那么正面或反面朝上的次數很可能差不多各占一半。雖然無法預測單次拋硬幣的結果，但可以預測集合行為（拋硬幣100次以上）的結果，這就是大數定律在起作用。

事實上，很多游戲廳就利用了大數定律。游戲的設計目的是讓游戲廳比游戲者多一點點優勢。以美國輪盤游戲為例：輪盤上有數字1～36，其中一半為紅色數，另一半為黑色數。向其中一種顏色投注一角錢，贏的概率似乎是50%。但輪盤上還有兩個綠色小孔，如果球落入它們則無論投注紅色還是黑色都輸。正是這種優勢讓游戲廳從長期來看不會賠錢。

兩強博弈

大數定律當然不只在博弈領域起作用。在籃球賽中，投籃命中率是指命中數占投籃次數的比例。但在賽季之初基于較小的數字進行預測，會有誤導性。例如，一些不算優秀的球員在賽季之初可能有較高的命中率，但這中間存在幸運因素，并不表明他們會一直有高命中率。而一些優秀球員可能在賽季之初表現差強人意，但這并不表明他們會一直表現不佳。也就是說，小樣本可能造成誤導，而根據大樣本做預測的準確度更高。

概率論為預測未來打開了一扇新門。概率論的出現是源于法國數學家帕斯卡和費馬在17世紀50年代的一系列書信交流，交流內容是關于此前已存在了幾百年的一個博弈問題。其簡化形式為：B和P拋硬幣;B選正面，P選反面;五局兩勝;雙方投注金放入獎池。拋硬幣3次后，B以2比1領先。游戲至此中斷，而問題是：怎樣分配獎金才公平？所謂公平，是指如果游戲能繼續進行到結束，那么如何劃分獎金？

費馬提出要想象游戲繼續下去的可能結果。為此還要拋兩次硬幣，從而有4種可能的結果：正面，正面;正面，反面;反面，正面;反面，反面。如果出現前3種情況，B贏。只有出現第4種情況，P才贏。因此費馬提出B和P的獎金分配比例為3：1最合理。費馬的突破陛見解就是從數學上對未來進行想象。帕斯卡剛開始不接受這個觀點，但最終表示認可。

至此，人們意識到未來并非空白。雖然你不可能確知未來情況，但可能以高精確度計算事情的可能性。這一重要見解為通往現代世界打開了一扇門。

數字天氣

從股市到保險再到零售商網絡，我們對未來的所有預測都基于一種理念：有了合適的數據，未來事件的發生概率就能被計算。事實上.預測學的最大成功之一是天氣預報。

2017年的美國颶風季非常猛烈，風暴頻發，強度以驚人速度遞增，這讓預報員強調風暴登陸地點的不確定性。事實上，在天氣預報中，唯一能確定的就是不確定性。科學家依賴全球性地面觀測和計算機運行方程來做天氣預報，這一方法的本質意味著預測的不完美。為盡可能地消除這種不完美，需要更大量數據。在美國國家氣象局巴爾的摩一華盛頓辦公署，每天兩次發送氣象氣球飛越全美。同一時間，全球各地發送氣象氣球.它們搭載儀器升人大氣層，每上升大約10米就傳輸讀數。雖然有其他方法來了解大氣層的垂直情況，但氣象氣球的精度要高得多，這就是科學家仍然要依靠氣象氣球的原因。

來自巴爾的摩一華盛頓辦公署氣象氣球的數據，最終被傳到位于美國馬里蘭州大學帕克分校的美國國家環境預測中心，這里是美國幾乎所有天氣預報的起始點。巴爾的摩一華盛頓辦公署氣象氣球數據只不過是這里每天數據流中的滄海一粟。美國國家氣象局每天從數萬個點觀測所獲大氣層溫度、壓力、風速和風向等數據出發進行模擬。這樣的氣象預測是20世紀數字預測的最大成就之一。

數字氣象預報的第一步，是把從地面到64千米高度的一部分大氣分割成三維格子，這些格子覆蓋全球。第二步，基于持續不斷涌入國家氣象局的數十億次測量數據，每個格點被賦予天氣不同方面（溫度、壓力、風速和風向等）的數值。接著，流體物理和熱力學方程式被應用到每個格子。在分析過程中不僅每個格子的數值會變，而且這些改變會影響相鄰格子的數值，而相鄰格子又會影響其他格子。因此，大氣情況隨著時間在這個三維空間里持續演化。

這一方法獲得了驚人的成功。考慮到這種預報方法需要對初始狀態做出多種假設，因而具有很大的不確定性，這種成功就更了不起。事實上，初始狀態相當重要。在數字氣象預報初期，看來對未來很長時間的天氣預報都會很準確，但20世紀60年代的研究發現：初始狀態測量的輕微偏差會隨時間放大，導致預測精度越來越低。

具有諷刺意味的是，這種對初始狀況的敏感度表明了一種提高數字天氣預測準確度的途徑。由于今天的計算機性能大大加強，因此科學家可進行多次而非一次天氣模擬。在其中每一次模擬，他們微調初始狀況以反映測量中的固有差錯和預測模型本身的不確定性。這一過程被稱為集成預報。

最終，氣象學家借助統計學工具來分析天氣預報，并經常使用概率來表述預報的不確定性，例如電視臺氣象預報員這樣說：“降雨概率為40%。”現在的3天天氣預報精確度已經和10年前的1天預報精確度一樣，而且精確度還會提高。

費雪貢獻

和氣象學的情況一樣，我們對所有科學理解的終極測試就是我們做出精準預測的能力。在更大規模上，像愛因斯坦廣義相對論這樣的科學理論必須做出能被證實的預測，才能變得可接受。在此情況下，廣義相對論在從被提出到長達4年后才被接受。當時，一次日全食顯示經過太陽附近的光線正如廣義相對論預測的那樣被彎曲，這是證明愛因斯坦有關太陽質量會扭曲時一空結構（即我們體會到的引力）的說法正確的第一個證據。

事實上，科學方法需要假設，這就意味著經過仔細設計的實驗產生預測結果，而實驗本身要測試預測說法。驚人的是，直到20世紀二三十年代，英國科學家費雪才提出了運用統計學和概率來判斷結果的實驗設計原則。作為例子，他講了一個故事說，一位女士稱自己能嘗出把牛奶倒進茶水里和把茶水倒進牛奶里的味道區別。費雪思考用什么方法能測試她的說法。那么，只給她一杯奶茶行不行？如果這樣，她說對的概率為50%，當然不能因此確信她真有分辨這兩者的技巧。費雪提出了一項合理測試：按照隨機順序，給她4杯倒入牛奶的茶和4杯倒入茶的牛奶，看她能不能把它們完全正確地分成兩組。

為什么是8杯？因為這會有70種不同的分組方法，但其中只有1種正確。就算該女士分組正確，也不能“證明”她有特殊能力，但費雪可以如此下結論：因為如果完全靠猜，那么她猜對隨機事件的概率P僅為1.4%（1/70）;而當她真的分組正確，就是做了一件如果完全靠猜那么很不可能猜對的事，因此她很可能不是簡單靠猜，而是真的有能力做對。

主要歸功于費雪，尸值這個概念在實驗科學中逐漸得到廣泛應用。如果你假設一個過程完全隨機（P值很低），很不可能得到你所得到的數據，那么你可能會猜測這個過程并非隨機。因此，你會探究是什么非隨機因素在起作用。費雪提出了一個標準：只有P值小于5%的實驗結果才值得調查。換句話說，如果假定實驗結果完全是隨機的，那么實驗20次也不見得能見到一次這樣的結果。費雪稱P值低于5%的結果“在統計上顯著”。換句話說，從統計學意義上講，這些結果并非隨機的概率高于95%。

不難理解，P值越低越好。自從費雪時代以來，P值被包括科學期刊編審在內的許多人用作衡量成功的一把便利標尺。為了發布自己的成功，在職業提升中獲得籌碼，一些人肆意編撰、篡改實驗數據以得到低P值。需要指出的是，P值是一種探查手段，而不是裁判。如果你發現自己的實驗結果在統計上顯著，就意味著那是一個可以繼續研究的興趣點，而不是說已有定論，無需再研究。

對P值造假和過度強調P值的一個解決辦法.是更大的透明度。越來越多的人在發表科研成果時也更詳盡發布數據，這樣就越來越難以在統計上造假，因為同行會說：“把你的數據亮出來.讓我看看你是怎么得到結論的。”