Scratch繪制美妙函數曲線

白二娃

不知你還記得百歲山有個美少女給路邊老頭送水的廣告嗎？是不是不明所以？其實這個廣告講述的是一個“笛卡爾曲線”的愛情故事。

1649年18歲的瑞典公主克里斯汀在斯德哥爾摩的街頭邂逅了52歲窮困潦倒的數學家笛卡爾。閑談后，公主聘請笛卡爾成為自己的數學老師，教授她研究數學的新領域——直角坐標系。兩人在教學中彼此產生愛慕之心，這事被國王知道后下令流放笛卡爾，軟禁克里斯汀。笛卡爾直到去世依然堅持寫信給公主，可惜這些信都被國王攔截了。笛卡爾去世前的最后一封信中寫了一個特殊的方程式r=a（1-sinθ），因為沒人能看懂國王就把這封信給了公主。公主解開這個方程式得到了一個心形曲線，也知道了笛卡爾的心意，這就是著名的“笛卡爾曲線”（圖1）。

我們根據一些簡單的函數方程式就可以繪制出美妙的曲線，但是在計算機沒有普及的時候，繪制函數曲線是很復雜的工作（圖2）。

1. 函數的概念

數學中“函數”的定義：給定一個數集A，假設其中的元素為x。現對A中的元素x施加對應法則f，記作f（x），得到另一數集B。假設B中的元素為y，則y與x之間的等量關系可以用y=f（x）表示。我們把這個關系式就叫函數關系式，簡稱函數。函數概念含有三個要素：定義域A、值域B和對應法則f。其中核心是對應法則f，它是函數關系的本質特征。

編程中的函數也有類似但不完全相同的概念，其中函數的輸入參數可以看作是定義域A，函數的運行所改變的結果可以看作值域B，而函數的算法（過程）就是對應法則f。

Scratch里我們可以在“自制積木→制作新的積木”里建立新函數。

2. 函數曲線

在二維平面，如果有函數 f（x） = y，其中任意一組（x，y）值是該曲線上的點的橫坐標和縱坐標值，描繪出符合函數的全部點時可以在平面直角坐標系上呈現為一條曲線。

要想掌握使用Scratch根據各種不同的函數方程式繪制曲線的通用方法，我們要從最基礎的一次函數開始，逐步掌握更加復雜的曲線繪制方法，畫出各種優美的函數曲線圖形感受數學之美。

3. 一次函數

若兩個變量x，y間的關系式可以表示為y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的形式，則稱y是x的一次函數（x為自變量，y為因變量）。

我們先從最簡單的一次函數y=x開始。x是橫坐標，y是縱坐標。y=x函數的意思就是橫坐標和縱坐標的值永遠一樣，即：

x=1 時 y=1 …… x=100 時 y=100

在Scratch里，我們就可以畫100個縱橫坐標相等的點，把它們連起來就是y=x的函數曲線，一根從（0，0）開始的向（1，1）的直線（圖3）。

我們之后再增加兩個變量k、b，并改變函數，就可以畫出任意一次函數y=kx+b的曲線。為了更好地 規范和簡化代碼，我們將畫圖和函數部分分開了，為函數新建了積木“一次函數‘k‘b‘x”，這個積木有3個數字參數。這樣每次計算y=kx+b時，只需要拖動這個積木到需要的地方就可以了。

而要改變函數內部結構時，也只需要修改一次函數的定義部分就可以了，函數越復雜就越能節省開發時間并避免出錯。

4. 二次函數

二次函數基本表示形式為y=ax2+bx+c（abc為常量，a≠0）。 二次函數的圖像是一條對稱軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。x2用x*x表示。a、b、c可以自己設置，x從-50增加到50（圖4、圖5）。

5. 正弦曲線

接下來我們畫一些和三角函數相關的曲線。Scratch里有三角函數積木，運算→“絕對值”積木下拉菜單中可以選擇使用。

正弦曲線函數可表示為y=Asin（ωx+φ）+k，其中sin為正弦符號，A、k、ω和φ是常數（A、k、ω、φ∈R，R是實數域即A、k、ω、φ均為實數，且ω≠0），正弦曲線是一條波浪線。只需要根據函數設定和修改相應積木即可。具體常數設置如圖7。

6. 橢圓形和圓形

橢圓的+=1，其中a>0，b>0，當a=b時就是正圓形。將這個公式轉為參數方程方便計算xy的值：x=acosθy=bcosθ，θ為角度，畫圖時用循環代碼重復360次，將θ從0度增加到360度，a、b為常量控制橢圓的外形，代碼如圖8，圖9，效果如圖10。

7. 笛卡爾曲線

最后我們來畫笛卡爾曲線。我們已知的r=a（1-sinθ）是笛卡爾曲線的極坐標公式，沒有x和y坐標，需要轉為直角坐標，變成下面的函數：

x=cos t*a（1-sint）

y=sin t*a（1-sint）

其中a是控制心形大小的常量。t為角度參數，通過Scratch編程讓畫筆跟隨t轉一圈即從0度-360度就可完成作畫，代碼如圖11，圖12，效果如圖2。

8. 其他曲線效果

只要知道曲線函數的表達公式你可以用此種方法畫出各種美麗的圖形，搜索“proe曲線方程”可以找到幾十種漂亮的曲線方程。當你有更多的數學知識就可以把這些公式轉化為程序畫出來了，因為其中有不少曲線需要縱坐標z，這要用公式將（x，y，z）坐標轉換為當前視角（xz，yz）的坐標才能畫出來。再添加上變換顏色的代碼，整個圖形就非常漂亮了。

在本版掃碼下載中有一個莫比烏斯環3D源程序（@科技傳播坊），你可以下載后自行學習如何換算z坐標（如圖13）。

9. 總結

根據函數公式畫曲線，首先需要找到曲線的直角坐標系公式，如果是極坐標公式需要提前轉換，這樣才可確定曲線上點的x和y坐標。接著根據公式設定相應變量，并在新建積木中組合好x和y的表達方程式。循環給自變量x賦值，根據方程式算出因變量y的值，讓畫筆循環在（x，y）畫點就可以畫出相應的曲線了。

如果是有sin、cos等三角函數相關曲線，一般需要將角度變量變化360次（一個圓周）。