一道不等式“鏈”題目的反思

李冬周

在不等式（組）的學(xué)習(xí)過(guò)程中，經(jīng)常遇見(jiàn)形如9≤3x+2<12，1-x≤3+2x<15的不等式，不妨稱(chēng)之為不等式“鏈”.對(duì)于不等式“鏈”問(wèn)題，部分初學(xué)者感到茫然.本文從教科書(shū)上一道習(xí)題出發(fā)，通過(guò)反思和變式研究.展示不等式“鏈”問(wèn)題的解題技巧及運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想為我們帶來(lái)的便利，

例 （人教版數(shù)學(xué)教科書(shū)七年級(jí)下冊(cè)第130頁(yè)第4題）x取哪些整數(shù)值時(shí)，2≤3x-7<8成立？

解法1：我們可以根據(jù)不等號(hào)的位置，將不等式“鏈”分為左、中、右三個(gè)部分.先將不等式“鏈”的左、中、右三個(gè)部分同時(shí)加上7，得9≤3x<15.

再將不等式“鏈”的左、中、右三個(gè)部分同時(shí)除以3.得3≤x<5.

因?yàn)閤為整數(shù)，所以x取3或4.故x取3或4時(shí)，2≤3x-7<8成立，

【反思1】上述解答是數(shù)學(xué)整體思想的體現(xiàn)，是解決不等式“鏈”問(wèn)題的常用方法，特別是對(duì)于特殊結(jié)構(gòu)的一類(lèi)問(wèn)題尤其有效，如解不等式（1）1+x≤3x-5

解法2：原不等式可轉(zhuǎn)化為3x-7≥2，由

3x-7<8第一個(gè)不等式得x≥3.由第二個(gè)不等式得x<5.

綜合得3≤x<5.因?yàn)閤為整數(shù)，所以x取3或4.故x取3或4時(shí)，2≤3x-7<8成立，

【反思2】上述解答的關(guān)鍵，是先把給出的不等式“鏈”裂變成兩個(gè)不等式，構(gòu)成不等式組，再解不等式組從而得到問(wèn)題的解，表面上看有一點(diǎn)煩瑣，但是它的適用性更加廣泛，是解不等式“鏈”問(wèn)題的通法.

變式1：不等式10

解析：原不等式可轉(zhuǎn)化為x+8>10，由

x+8≤4x-1第一個(gè)不等式得x>2.由第二個(gè)不等式得戈≥3.故原不等式的解集為x≥3.

【反思3】回顧上面的解答過(guò)程，會(huì)有這樣一個(gè)疑問(wèn)：

不等式1010，（2）x+8≤4x-1，（3）10≤4x-1.而上述解答過(guò)程中，第（3）個(gè)不等式被“忽略”了，會(huì)不會(huì)影響結(jié)果的正確性呢？

在這里告訴大家，不會(huì)影響結(jié)果的正確性，因?yàn)橛刹坏仁降膫鬟f性，得不等式x+8>10.x+8≤4x-l解集的公共部分，一定在不等式10≤4x-l的解集內(nèi)，所以，我們今后解不等式x≤y≤z時(shí)，只需解不等式組x≤y，即可.

y≤z

【反思4】觀察上面兩個(gè)不等式“鏈”問(wèn)題的解答結(jié)果，其形式不大相同，這里又有一個(gè)疑問(wèn)：類(lèi)似于上面的不等式“鏈”問(wèn)題一定有解嗎？

為了解答這個(gè)疑問(wèn)，不妨先解不等式2x≤3x+10<2x-6.

原不等式可轉(zhuǎn)化為3x+10≥2x，由第一

3x+10<2x.個(gè)不等式得x≥-10.由第二個(gè)不等式得x<-16.

因?yàn)?10>-16，所以原不等式無(wú)解，

到此，我們認(rèn)識(shí)到不等式“鏈”問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是不等式組問(wèn)題，它可能有解，也可能無(wú)解.受此啟發(fā)，我們逆向思考，在含有參數(shù)的不等式“鏈”問(wèn)題中，若已知其無(wú)解，能反向確定所含參數(shù)的取值范圍嗎？

這樣既直觀明了，又能防止出現(xiàn)“張冠李戴”或遺漏等號(hào)（或添加等號(hào)）的錯(cuò)誤，

【反思5】再回到原問(wèn)題，我們得到不等式2≤3x-7<8的整數(shù)解是x=3或x=4.我們?cè)倌嫦蛩伎迹诤袇?shù)的不等式“鏈”問(wèn)題中，若已知其整數(shù)解，能反向確定所含參數(shù)的值或取值范圍嗎？

變式3：已知關(guān)于x的不等式a≤3x-7<6.若其整數(shù)解僅為3和4，則你能求出a，b的值或取值范圍嗎？