一道不等式“鏈”題目的反思

李冬周

在不等式（組）的學習過程中，經常遇見形如9≤3x+2<12，1-x≤3+2x<15的不等式，不妨稱之為不等式“鏈”.對于不等式“鏈”問題，部分初學者感到茫然.本文從教科書上一道習題出發，通過反思和變式研究.展示不等式“鏈”問題的解題技巧及運用數形結合思想為我們帶來的便利，

例 （人教版數學教科書七年級下冊第130頁第4題）x取哪些整數值時，2≤3x-7<8成立？

解法1：我們可以根據不等號的位置，將不等式“鏈”分為左、中、右三個部分.先將不等式“鏈”的左、中、右三個部分同時加上7，得9≤3x<15.

再將不等式“鏈”的左、中、右三個部分同時除以3.得3≤x<5.

因為x為整數，所以x取3或4.故x取3或4時，2≤3x-7<8成立，

【反思1】上述解答是數學整體思想的體現，是解決不等式“鏈”問題的常用方法，特別是對于特殊結構的一類問題尤其有效，如解不等式（1）1+x≤3x-5

解法2：原不等式可轉化為3x-7≥2，由

3x-7<8第一個不等式得x≥3.由第二個不等式得x<5.

綜合得3≤x<5.因為x為整數，所以x取3或4.故x取3或4時，2≤3x-7<8成立，

【反思2】上述解答的關鍵，是先把給出的不等式“鏈”裂變成兩個不等式，構成不等式組，再解不等式組從而得到問題的解，表面上看有一點煩瑣，但是它的適用性更加廣泛，是解不等式“鏈”問題的通法.

變式1：不等式10

解析：原不等式可轉化為x+8>10，由

x+8≤4x-1第一個不等式得x>2.由第二個不等式得戈≥3.故原不等式的解集為x≥3.

【反思3】回顧上面的解答過程，會有這樣一個疑問：

不等式1010，（2）x+8≤4x-1，（3）10≤4x-1.而上述解答過程中，第（3）個不等式被“忽略”了，會不會影響結果的正確性呢？

在這里告訴大家，不會影響結果的正確性，因為由不等式的傳遞性，得不等式x+8>10.x+8≤4x-l解集的公共部分，一定在不等式10≤4x-l的解集內，所以，我們今后解不等式x≤y≤z時，只需解不等式組x≤y，即可.

y≤z

【反思4】觀察上面兩個不等式“鏈”問題的解答結果，其形式不大相同，這里又有一個疑問：類似于上面的不等式“鏈”問題一定有解嗎？

為了解答這個疑問，不妨先解不等式2x≤3x+10<2x-6.

原不等式可轉化為3x+10≥2x，由第一

3x+10<2x.個不等式得x≥-10.由第二個不等式得x<-16.

因為-10>-16，所以原不等式無解，

到此，我們認識到不等式“鏈”問題實質上就是不等式組問題，它可能有解，也可能無解.受此啟發，我們逆向思考，在含有參數的不等式“鏈”問題中，若已知其無解，能反向確定所含參數的取值范圍嗎？

這樣既直觀明了，又能防止出現“張冠李戴”或遺漏等號（或添加等號）的錯誤，

【反思5】再回到原問題，我們得到不等式2≤3x-7<8的整數解是x=3或x=4.我們再逆向思考，在含有參數的不等式“鏈”問題中，若已知其整數解，能反向確定所含參數的值或取值范圍嗎？

變式3：已知關于x的不等式a≤3x-7<6.若其整數解僅為3和4，則你能求出a，b的值或取值范圍嗎？