不等式（組）和趣味題

林革

在人們的日常生產、生活實際中，只要稍加關注就不難發現，相比較等量關系，不等關系其實更為常見.許多活動的安排、利潤的優化、方案的設計等都蘊涵著不等關系，因此借助不等式（組）就自然而然成為解決問題的一種重要策略，

【問題1】王強參加班級的百科知識競賽，共有25道題，答對一道題得6分，答錯或不答一道題扣2分，只有得分超過90才能人選校賽.王強至少答對多少道題才能入選校賽？

【分析與解】設王強答對x道題，則答錯或不答的題共為（25 -x）道，由“答對一道題得6分，答錯或不答一道題扣2分”，可知王強的得分為（25-x）×（-2）+6x=8x-50，根據題意“只有得分超過90才能入選”可列出不等式8x一50>90，解得x>17 1/2.

因為x為非負整數，所以x至少為18，即王強至少答對18道題才能入選校賽.

【問題2】將若干只雞放人若干個籠中，若每個籠中放4只，則有一只雞無籠可放;若每個籠中放5只，則有一個籠無雞可放，那么至少有多少只雞，多少個籠？

【分析與解】設有x個籠，則雞有（4x+l）只.由“每個籠中放5只，則有一個籠無雞可放”，可知（x-2）個籠中均放5只雞的前提下，第（x-1）個籠中最多放5只雞，最少放1

4x+1≥5（x-2）+1，只雞，由此可列出不等式組4x+1≤5（x-1）.解得6≤x≤10.故25≤4x+1≤41，即至少有25只雞.6個籠.

【問題3】一堆玩具分給若干個小朋友，若每人分3件，則剩余4件;若前面每人分4件，則最后一人得到的玩具不足3件.求小朋友的人數與玩具的件數，

【分析與解】設小朋友為x人，則玩具總共有（3x+4）件.題中“最后一人得到的玩具”，是指其他（x-1）個小朋友各得4件后剩下的玩具，其件數為（3x+4）-4 （x-1）=8 -x.而“不足3件”應理解為大于或等于0件，且小于3

8-x≥0，件-故可列不等式組8-x<3.解得5

因為x為非負整數，所以x可取6或7或8.故有6個小朋友、22件玩具，或有7個小朋友、25件玩具，或有8個小朋友、28件玩具.

【問題4】某校計劃組織師生共300人參加一次大型公益活動.通過向客運公司咨詢得知，每輛大客車的座位數比小客車的多17.如果租用6輛大客車和5輛小客車就恰好全部坐滿，后來，活動又增加特邀嘉賓30人，學校決定調整租車方案.在保持租用車輛總數不變，所有參加活動的人員都有座位的前提下，求最多租用小客車多少輛，

【分析與解】首先，需要求出每輛大客車和每輛小客車的座位數.為此可設每輛小客車的座位數是x，則每輛大客車的座位數為x+17，根據題意可得6（x+17）+5x=300，解得x=18.故每輛小客車的座位數是18，每輛大客車的座位數是18+17=35.

其次，求最多租用小客車多少輛.為此可設租用o輛小客車，則租用的大客車為（11-a）輛，根據題意可列出不等式18a+35 （11-a）≥300+30.解得a≤3 4/17.故最多租用小客車3輛.

【問題5】某旅館底層的客房比二樓的客房少5間，某天來了個由48名成員組成的旅游團.老板發現：（1）如果全部安排在底層，每間住4人，客房不夠;每間住5人，有的客房住不滿.（2）如果全部安排在二樓，每間住3人，客房不夠;每間住4人，有的客房住不滿.這家旅館的底層客房有多少間？

【分析與解】設底層客房有x間，則二樓客房有（x+5）間，根據條件（1）可列出不等式48÷5

為非負整數，所以x可能是10或11.

類似地，根據條件（2）可列出不等式48÷4

顯然，符合題意的結果只有x=10，即底層客房有10間.

【問題6】海灘上有一堆桃子，是兩只猴子某天傍晚共同采摘的.第二天清晨來臨時，第一只猴子來到海灘上把桃子均分為兩份，發現還多一個，便把多余的一個吃了，取走一份，第二只猴子接著也來到海灘上，它不知道第一只猴子已經分配好，于是第二只猴子又把桃子均分為兩份，發現還多一個，便把多余的一個吃了，取走一份，如果原有的桃子個數不小于100，那么第一只猴子至少可以取走幾個桃子呢？

【分析與解】設第二只猴子取走x個桃子，那么，第二只猴子分配前的桃子個數就應為2x+1，這也是第一只猴子留下的桃子個數，由此不難理解，第一只猴子取走的桃子個數也為2x+1.那么，第一只猴子分配前的桃子個數就應為（2x+l）x2+1 =4x+3，這正是海灘上原有的桃子個數.根據題意“原有的桃子個數不小于100”，可列出不等式4x+3≥100，解得 x≥24 1/4.因為x為非負整數，所以x至少為25.故第一只猴子至少可以取走桃子2x25+1=51（個），原有的桃子至少為4x25+3=103（個）.

此問題還可進行延伸：如果把兩只猴子改成三只，分配方式仍保持不變，那么問題又該如何解決呢？

類似地，將第三只猴子取走的桃子個數用x表示，那么，取走這些桃子前它所面對的桃子個數應為2x+1.這也是第二只猴子取走的桃子個數，那么，第二只猴子分配前的桃子個數就應為（2x+1） x2+1=4x+3.這也是第一只猴子取走的桃子個數，那么，第一只猴子分配前的桃子個數就應為（4x+3）x2+1=8x+7.根據題意列出不等式8x+7≥100，解得x≥11 5/8.因為x為非負整數，所以x至少為12.

故第一只猴子至少可以取走桃子12x4+3=51（個），原有的桃子至少為8x12+7=103（個）.

瞧瞧，兩種情形中，原來至少有的桃子個數不僅相同，而且第一只猴子至少取走的桃子個數也相同，這就頗有曲徑通幽的意趣了，由此不難聯想：如果猴子只數和原有桃子個數發生變化，那么結果又會如何呢？有興趣的同學不妨深入探究一番.