類比學習與轉化思想

孔凡哲

方程是代數學的核心內容，是初中數學課程四大領域之一的“數與代數”的重點內容.學習方程都要經歷將“實際問題抽象成方程（組）”的數學化過程，方程（組）是刻畫現實世界的一種有效模型，

在本章中，我們類比一元一次方程，學習二元一次方程組及相關概念，進一步體會方程的核心思想——模型思想與化歸方法，并在學習中不斷提高運用方程思想分析、解決現實問題的能力.

一、學習目標

1.經歷將現實問題抽象成方程組的過程，了解二元一次方程組及相關概念，基本掌握解二元一次方程組的方法，初步形成運用方程組解決實際問題的意識，掌握方程組模型.

2.類比一元一次方程，能夠“找出實際問題中的已知數和未知數，分析它們之間的關系，設未知數，列出二元一次方程組表示其中的等量關系”，會解二元一次方程組，掌握化歸方法.

3.在運用二元一次方程組解決問題的過程之中，感受數學的應用價值，提高發現數學問題、分析數學問題和解決數學問題的

二、類比一元一次方程，經歷二元一次方程組的抽象過程

我國古代數學著作《孫子算經》中有一道名題：

今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何.

通過列二元一次方程組或一元一次方程，都可解決“雞兔同籠”問題，不難發現，無論列哪類方程，其關鍵都在于建立方程模型的抽象過程.二者的區別在于：列二元一次方程組的思維過程比較簡單，解答方法相對復雜一些;列一元一次方程的思維過程相對復雜一些，解法相對簡單.

三、轉化思想

解方程（組）的關鍵在于轉化思想，即“化繁為簡，化生為熟”.

“化繁為簡”主要體現在一元一次方程的解法中，將含有未知數的項都放在方程的一邊，將不含未知數的項放在方程的另一邊，進行化簡并計算，將一元一次方程轉化為ax=b的形式，最終得到方程的解.

“化生為熟”主要體現在二元一次方程組的解法中.這里的“生”就是指“二元一次方程組”，這里的“熟”就是指“一元一次方程”.對于二元一次方程組，化歸的核心是消元，即減少未知數的個數，將“二元”最終轉化為“一元”，再根據一元一次方程的解法，即可求得結果.

消元法主要包括代人消元法和加減消元法.

需要強調的是，利用代入消元法要注意正負號;而利用加減消元法，若需要用一個常數同時乘方程的左右兩邊，用這個數乘未知數系數的同時，也需要用這個數乘常數項，

思考1：用恰當方法解二元一次方程組.

在感受建模思想、體會化歸方法的同時，也要明晰二元一次方程組的概念，即有兩個未知數，含每個未知數的項的次數都是1，并且一共有兩個方程，像這樣的方程組叫作二元一次方程組.那么，二元一次方程組中的兩個方程一定都是二元一次方程嗎？答案是否定的，方程組中的未知數一共有兩個即可.

四、學習方法提升

在學習二元一次方程組時，我們已經掌握的學習方法大多可以使用，同時，也要注意本章的一些新特點.

1.迅速適應從“一元到多元”的轉變，并在類比中深化理解基本知識.

2.通過解決實際問題，感受數學建模思想.

3.通過解方程組，進一步感受化歸方法.

練一練

（2019年婁底）某商場用14 500元錢購進甲、乙兩種礦泉水共500箱，礦泉水的成本價與銷售價如表l所示.

（1）購進甲、乙兩種礦泉水各多少箱？

（2）該商場售完這500箱礦泉水，可獲利多少元？

參考答案：

（1）購進甲種礦泉水300箱，乙種礦泉水200箱.（2）可獲利5 600元.