環形路上相遇問題的反思

周軍高

環形路上的相遇問題，是二元一次方程組在實際應用中的經典問題之一.由于其規律的隱蔽性特征，使得部分初學者在分析理解上無所適從，下面，我們從教科書上一道習題入手，通過深入思考，希望幫同學們尋找環形路上相遇問題隱含的規律，以便迅速準確解決相關問題.

例 （人教版數學教科書七年級下冊第111頁第6題）甲、乙兩人都以不變的速度在環形路上跑步，如果同時同地出發，相向而行，每隔2分鐘相遇一次;如果同向而行，每隔6分鐘相遇一次.已知甲比乙跑得快，甲、乙兩人每分鐘各跑多少圈？

【反思1】上述方程組的建立，源于環形路上相遇問題所隱含的兩個規律性特征：兩人在環形路上同時同地出發，都以不變的速度跑步，如果相向而行，首次相遇時，他們所跑的路程和等于環行路一圈的長;如果同向而行，首次追上時，他們所跑的路程差等于環行路一圈的長，有了以上認識，我們很容易得到另外兩種解法.

【反思2】把上述結論作為條件，探索下面的問題，

甲、乙兩人都以不變的速度在環形路上跑步，甲每分鐘跑÷圈，乙每分鐘跑1/6圈.（1）若甲、乙兩人從點A同時出發相向而行，經過幾分鐘首次相遇？（2）若甲、乙兩人從點A同時出發同向而行，經過幾分鐘兩人首次相遇？

【反思4】甲、乙兩人從點A同時出發同向而行，經過6分鐘兩人首次相遇，此時，甲、乙兩人所跑的路程分別為2圈、1圈，顯然都回到了點A.于是我們得到了一個結論：甲、乙兩人從點A同時出發同向而行，每次相遇（追上）都在出發點A.此時有一個疑問：若條件發生變化，此結論還成立嗎？

我們先看一道題：

甲、乙兩人都以不變的速度在環形路上跑步，他們從點A同時出發同向而行，甲每分鐘跑1/5圈，乙每分鐘跑1/8圈，甲第1次追上乙時是否在出發點A？若是，請求出他們所經歷的時間;若不是，請求出這兩人最少用多少分鐘在點A相遇.

【反思5】注意，這個問題還有另外一種簡單解法：設兩人經過x分鐘在點A相遇，則甲、乙兩人所跑的路程分別為1/5x圈、1/8x圈.若在點A相遇，則甲、乙兩人所跑的路程都是整數圈，所以x必須是5和8的公倍數，而x的最小值為5和8的最小公倍數，所以這兩人最少用40分鐘在點A相遇，

受此啟發，可以將上述研究拓廣得到下面的結論.

甲、乙兩人都以不變的速度在環形路上跑步，甲跑完1圈需要m分鐘，乙跑完1圈需要n分鐘（m