數(shù)學(xué)思想顯神威

潘道生

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙.在解某些與二元一次方程組相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)思想去思考不僅可以使問題化繁為簡，化難為易，而且有時(shí)能使一些看似無從下手的問題迎刃而解.

一、整體思想

點(diǎn)評(píng)：本題可以通過解方程組求出a和b的值.但用整體思想來思考，視a+b為一個(gè)整體，將方程組中的兩個(gè)方程直接相加，求出3a+3b的值，則可收到意想不到的效果，解題過程十分簡捷.

二、模型思想

例2 （2019年仙桃）把一根9米長的鋼管截成1米長和2米長兩種規(guī)格均有的短鋼管，且沒有余料.設(shè)某種截法中1米長的鋼管有a根，則a的值可能有（ ）.

A.3個(gè)

B.4個(gè)

C.5個(gè)

D.9個(gè)

分析：題目要求1米長的鋼管有多少根，似乎與二元一次方程無關(guān).但如果注意到?jīng)]有余料，我們可以設(shè)2米長的鋼管有b根，這樣就可以利用“兩種鋼管的長度之和為9米”，構(gòu)造二元一次方程模型，利用其正整數(shù)解來解決這個(gè)問題.

解：設(shè)2米長的鋼管有b根，根據(jù)題意得a+2b =9.因?yàn)閍，b均為整數(shù)，所以a1=1，b1=4;a2=3，b2=3;a3=5，b3=2;a4=7，b4=1.故a的值可能有4個(gè)，選B.

點(diǎn)評(píng)：通過增設(shè)未知數(shù)，構(gòu)造二元一次方程模型順利地解決了問題.

三、消元思想

例3（2019年寧波）小慧去花店購買鮮花，若買5枝玫瑰和3枝百合，則她所帶的錢還剩下10元：若買3枝玫瑰和5枝百合，則她所帶的錢還缺4元.若只買8枝玫瑰，則她所帶的錢還剩下（ ）.

A.31元

B.30元

C.25元

D.19元

分析：設(shè)每枝玫瑰x元，每枝百合y元，小慧帶了z元，根據(jù)“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”結(jié)合小慧帶的錢數(shù)不變，可得出關(guān)于x，y，z的兩個(gè)三元一次方程.由于只買了8枝玫瑰，求她所帶的錢還剩下多少，這與百合的價(jià)格無關(guān)，故消去y，求出8x的值（用含z的代數(shù)式表示），即可求出結(jié)論.

解：設(shè)每枝玫瑰x元，每枝百合y元，小慧帶了z元，根據(jù)題意得5x+3y=z-10，3x+5y=z +4，將兩個(gè)方程聯(lián)立，消去y，得16x=2z-62，即8x=z-31，所以z-8x=31，故小慧買8枝玫瑰后，還剩31元，故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題中有三個(gè)未知數(shù)，只有兩個(gè)方程，要求出x，y，z是不可能的，但注意到問題要求的答案與百合的價(jià)格無關(guān)，因此消去無關(guān)量y，找出8x與z的關(guān)系式，即可得到答案.

四、分類思想

例4 （2019年鹽城）體育器材室有A，B兩種型號(hào)的實(shí)心球，1個(gè)A型球與1個(gè)B型球的質(zhì)量共7千克.3個(gè)A型球與1個(gè)B型球的質(zhì)量共13千克.

（1）每個(gè)A型球、B型球的質(zhì)量分別是多少千克？

（2）現(xiàn)有A型球、B型球的質(zhì)量共17千克，則A型球、B型球各有多少個(gè)？

分析（1）直接利用“1個(gè)A型球與1個(gè)B型球的質(zhì)量共7千克”“3個(gè)A型球與1個(gè)B型球的質(zhì)量共13千克”這兩個(gè)等量關(guān)系，列出二元一次方程組即可求出答案.（2）根據(jù)（1）中得到的每個(gè)A型球、B型球的質(zhì)量，結(jié)合“A型球、B型球的質(zhì)量共17千克”，利用分類討論得出方程的整數(shù)解即可.

（2）現(xiàn)有A型球、B型球的質(zhì)量共17千克，因此A型球的個(gè)數(shù)不會(huì)超過5.下面根據(jù)A型球可能的個(gè)數(shù)，分類討論求解：

①設(shè)A型球1個(gè)，B型球a個(gè)，則3+4a=17，解得a=7/2（不合題意，舍去）;

②設(shè)A型球2個(gè)，B型球b個(gè)，則6+4b=17，解得b=11/4（不合題意，舍去）;

③設(shè)A型球3個(gè)，B型球c個(gè)，則9+4c=17，解得c=2;

④設(shè)A型球4個(gè)，B型球d個(gè)，則12+4d=17，解得d=5/4（不合題意，舍去）;

⑤設(shè)A型球5個(gè)，B型球e個(gè)，則15+4e=17，解得e=1/2（不合題意，舍去）.

綜上可知，A型球、B型球各有3個(gè)、2個(gè).

點(diǎn)評(píng)：本題考查二元一次方程（組）的應(yīng)用，正確尋找等量關(guān)系構(gòu)造方程（組），合理分類討論是解題關(guān)鍵.當(dāng)然，本題（2）中的問題也可以通過求二元一次方程的正整數(shù)解來得到答案，