一種圖像小波去噪的改進(jìn)閾值函數(shù)*

黎彪 刁燕 羅華 徐明

（四川大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 成都 610065）

1 引言

數(shù)字圖像是由光線通過鏡頭折射到傳感器上產(chǎn)生模擬信號，再將模擬信號轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號，數(shù)字信號傳輸回主機(jī)設(shè)備上得到［1］。在這個(gè)過程中，惡劣環(huán)境、不佳光線和數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換傳輸時(shí)丟失部分等，都會(huì)產(chǎn)生噪聲，對獲得的圖像質(zhì)量造成嚴(yán)重影響。因此，圖像去噪是圖像預(yù)處理的一個(gè)重要部分［2～4］。

一直以來，研究人員提出了許多去噪方法。頻域去噪因其將圖像變換到頻域，處理后再逆變換回空域，可以在很大程度上保留原始圖像的細(xì)節(jié)而備受關(guān)注。常見的頻域變換方法有傅里葉變換和小波變換［5］。相比傅里葉變換，小波變換不僅保留圖像的頻率信息，還保留了圖像的空間信息，故近十年來成為圖像處理的重要工具［6～7］。最早的小波閾值去噪方法是由斯坦福大學(xué)的D.L.Donoho提出，使用硬閾值和軟閾值函數(shù)［8］。但硬閾值函數(shù)不連續(xù)，會(huì)導(dǎo)致去噪后圖像出現(xiàn)振鈴、偽吉布斯現(xiàn)象；軟閾閾值連續(xù)卻在較大系數(shù)上有恒定偏差，會(huì)導(dǎo)致去噪后圖像出現(xiàn)嚴(yán)重失真［9］。一些典型的改進(jìn)閾值函數(shù)［10～12］在這兩個(gè)問題上有所改善，卻仍有不足。基于小波去噪原理和對傳統(tǒng)閾值函數(shù)的分析，本文提出一種改進(jìn)的閾值函數(shù)，其在實(shí)數(shù)域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，更加光滑，在較大小波系數(shù)上保持一致，減少失真。仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)閾值函數(shù)的去噪有效性。

2 小波閾值去噪方法

2.1 去噪原理

假設(shè)觀測到含噪聲的圖像信號：

其中：s為原始圖像信號，在某些小波基下可以稀疏表示；噪聲n服從某一分布；N為信號長度。

小波變換是線性變換，因此小波變換：

其中：p為原始信號的小波級數(shù)，大部分系數(shù)是等于零或接近零；z為噪聲的小波級數(shù)。在和的小波級數(shù)系數(shù)中，幅值較大的小波系數(shù)主要來自原始圖像信號，幅值較小的小波系數(shù)主要來自噪聲［13～14］。所以選取合適的閾值函數(shù)，將幅值較大的小波系數(shù)輕微減小，將幅值較小的小波系數(shù)盡量置零，得到新的小波系數(shù)，小波逆變換后就可得到去噪圖像。

2.2 經(jīng)典閾值函數(shù)

硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)在小波去噪中應(yīng)用最廣。設(shè)是觀測圖像的小波變換系數(shù)，是值為水平方向H、豎直方向V或?qū)欠较駾的上標(biāo)，j是小波分解層數(shù)；是某閾值；是閾值函數(shù)得到系數(shù)。硬閾值函數(shù)：

在λ處不連續(xù)，會(huì)導(dǎo)致小波逆變換后的圖像出現(xiàn)振鈴、偽吉布斯現(xiàn)象。軟閾值函數(shù)：

在λ處連續(xù)，但大于λ的小波系數(shù)都有恒定偏差，包括原始圖像信號的小波系數(shù)，使小波逆變換的重構(gòu)圖像失真。當(dāng)數(shù)如圖1所示，橫坐標(biāo)是觀測到的含噪圖像小波系數(shù)，縱坐標(biāo)是閾值函數(shù)變換后的修改小波系數(shù)。

針對硬軟閾值函數(shù)的問題，國內(nèi)外提出了一些改進(jìn)閾值函數(shù)，典型的包括折中閾值函數(shù)、雙變量閾值函數(shù)和指數(shù)閾值函數(shù)等。折中閾值函數(shù)［10］：

其中：α∈[0，1]。α可以調(diào)整軟閾值方法的偏差，但隨著增大，偏差會(huì)越來越大；且函數(shù)在λ處不連續(xù)，會(huì)導(dǎo)致圖像失真。當(dāng)λ=4，α=0.5時(shí)，函數(shù)如圖2所示。雙變量閾值函數(shù)［11］：

圖1 硬軟閾值函數(shù)

圖2 一些改進(jìn)閾值函數(shù)

指數(shù)閾值函數(shù)［12］：

3 改進(jìn)小波閾值函數(shù)

3.1 改進(jìn)的閾值函數(shù)

為了克服以上方法的缺點(diǎn)，本文在上述去噪函數(shù)的基礎(chǔ)上，提出一種改進(jìn)函數(shù)：

圖3 提出的改進(jìn)閾值函數(shù)

3.2 改進(jìn)的閾值選取

閾值函數(shù)中λ的取值對最后去噪效果有著重要影響，λ應(yīng)該能夠最大程度上分離噪聲的小波系數(shù)和原始圖像信號的小波系數(shù)。通用閾值是最常用的取值方法，公式為，σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)差，N為信號長度。隨著小波分解層數(shù)增加，噪聲所在的小波系數(shù)區(qū)域應(yīng)該逐漸減小，在較高層次分解的小波系數(shù)大部分都是來自原始圖像信號。為了更好分離噪聲和原始圖像信號，需要在分解層數(shù)增加時(shí)減小閾值λ。本文改進(jìn)的閾值選取表達(dá)式為

4 實(shí)驗(yàn)對比分析

為了說明改進(jìn)閾值函數(shù)在圖像小波去噪時(shí)的有效性，本文使用Matlab2018軟件進(jìn)行仿真驗(yàn)證。測試圖像為標(biāo)準(zhǔn)測試圖像［15］中的Baboon圖像、Camera圖像和Peppers圖像。Baboon圖像具有高頻細(xì)節(jié)，Camera圖像和Peppers圖像具有低頻細(xì)節(jié)。給原始標(biāo)準(zhǔn)圖像添加密度為0.05的椒鹽噪聲和標(biāo)準(zhǔn)差為35的高斯白噪聲，作為觀測到的含噪圖像。對含噪圖像選擇小波基和分解層數(shù)進(jìn)行小波分解，閾值函數(shù)變換后進(jìn)行小波逆變換得到去噪圖像。本文采用去噪效果較好的db4小波基，分解層數(shù)為3層。提出的改進(jìn)閾值函數(shù)的參數(shù)設(shè)為α=0.9，m=2。去噪結(jié)果如圖4～5所示。

圖4 Baboon圖像去噪結(jié)果

圖5 Camera圖像去噪結(jié)果

從實(shí)驗(yàn)圖像中可以看出：改進(jìn)閾值函數(shù)的去噪效果視覺上更好。為了進(jìn)一步比較去噪效果，本文使用均方根誤差（RMSE）、信噪比（SNR）和峰值信噪比（PSNR）作為評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，表達(dá)式：

其中：s為原始標(biāo)準(zhǔn)圖像，s^為去噪圖像，N為總像素?cái)?shù)。RMSE越小，SNR越大，PSNR越大，則去噪效果越好。去噪結(jié)果如表所示。

圖6 Peppers圖像去噪結(jié)果

表1 Baboon圖像去噪結(jié)果評價(jià)

表2 Camera圖像去噪結(jié)果評價(jià)

表3 Peppers圖像去噪結(jié)果評價(jià)

5 結(jié)語

根據(jù)小波去噪原理，分析小波去噪的傳統(tǒng)閾值函數(shù)和幾種典型閾值函數(shù)后，提出一種改進(jìn)的在閾值處可導(dǎo)的閾值函數(shù)。從仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可知，在低頻和高頻細(xì)節(jié)圖像中，改進(jìn)閾值函數(shù)都獲得更好的去噪效果。改進(jìn)閾值函數(shù)在實(shí)數(shù)域內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，有助于自適應(yīng)閾值選取研究，有助于小波去噪在圖像去噪中的發(fā)展和應(yīng)用。