一次函數圖象的平移變換探究

陳建蘭

真題呈現

例 （2022·遼寧·阜新）當我們將一條傾斜的直線進行上下平移時，直線的左右位置也發生著變化. 下面是關于“一次函數圖象平移的性質”的探究過程，請補充完整. （1）如圖1，將一次函數[y=x+2]的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向右平移 個單位長度；（2）將一次函數[y=-2x+4]的圖象向下平移1個單位長度，相當于將它向 （填“左”或“右” ） 平移了 個單位長度；（3）綜上，對于一次函數[y=kx+b（k≠0）]的圖象而言，將它向下平移[m（m>0）]個單位長度，相當于將它向 （填“左”或“右”）[（k>0]時）平移了 個單位長度或將它向 （填“左”或“右”）[（k<0]時）平移了 個單位長度．

解析：（1）將一次函數[y=x+2]的圖象向下平移1個單位長度，得到[y=x+2-1=（x-1）+2]，相當于將它向右平移了1個單位長度.

（2）將一次函數[y=-2x+4]的圖象向下平移1個單位長度，得到y = -2x + 4 - 1 =? ? ? ?-2[x+12] + 4，相當于將它向左平移了[12]個單位長度.

（3）綜上，對于一次函數[y=kx+b] [（k≠0）]的圖象而言，將它向下平移[m（m>0）]個單位長度，對應的直線解析式為[y=kx+b-m=kx-mk+b]. [當k>0時]，相當于將它向右平移了[mk]個單位長度；[當k<0時，]相當于將它向左平移了[mk]個單位長度.

總結規律

1. 一般地，一次函數y = kx + b的圖象是由正比例函數y = kx的圖象沿y軸向上（b > 0）或向下（b < 0）平移[b]個單位長度得到的一條直線.

2. 將直線[y=kx+b（k≠0）]向下平移m（m > 0）個單位長度后，直線對應的解析式為[y=kx+b-m]；向上平移[m（m>0）]個單位長度后，直線對應的解析式為[y=kx+b+m]. 這就是我們所說的“上加下減”的規律.

3. 我們將[y=kx+b-m]變形為[y=kx-mk+b]，可以看出：[當k>0時]，相當于將它向右平移了[mk]個單位長度；[當k<0時]，相當于將它向左平移了[mk]個單位長度.

我們將[y=kx+b+m]變形為[y=kx+mk+b]，可以看出：[當k>0時]，相當于將它向左平移了[mk]個單位長度；[當k<0時，]相當于將它向右平移了[mk]個單位長度.

4. 由上可知：將直線[y=kx+b]（k ≠ 0）向左平移[n（n>0）]個單位長度后，對應直線的解析式為[y=k（x+n）+b]；向右平移[n（n>0）]個單位長度后對應直線的解析式為[y=k（x-n）+b].這就是我們所說的“左加右減”的規律.

分層作業

難度系數：★★ 解題時間：5分鐘

1. 在平面直角坐標系中，若將一次函數[y=2x+m-1]的圖象向左平移3個單位長度后，得到一個正比例函數的圖象，則[m]的值為（ ）.

A. [-5] B. 5 C. [-6] D. 6

2. 若直線[y=x]向上平移3個單位長度后經過點（2，m），則[m]的值為 .

3. 將直線[y=5x]向下平移2個單位長度，所得直線的表達式為（ ）.

A. [y=5x-2] B. [y=5x+2] C. [y=5（x+2）] D. [y=5（x-2）]

難度系數：★★★ 解題時間：5分鐘

4. 將直線[y=-x+1]向左平移[m（m>0）]個單位長度后，經過點（1，-3），則[m]的值為 .

5. 將直線[y=2x+1]向上平移2個單位長度，相當于（ ）.

A. 向左平移2個單位長度 B. 向左平移1個單位長度

C. 向右平移2個單位長度 D. 向右平移1個單位長度