數學解題的最后環節

宗丹

摘 要：解數學題分為弄清題意、擬定計劃、實現計劃、回顧與反思四個步驟，其中回顧與反思具有重要的作用，它既可以幫助記憶，培養良好的思維品質，又是總結、歸納、創造、提高的過程。

關鍵詞：回顧 反思 解題

波利亞把解題分成四個步驟，分別是弄清題意、擬定計劃、實現計劃、回顧與反思，而回顧與反思，是我們在學習中最容易忽視的一步。一般情況下，我們往往熱衷于大量做題，而不善于在解題后對題目進行回顧與反思。這樣就失去了通過解題實現有效積累和提高的最好機會?；仡櫯c反思具有以下重要作用：

一、回顧與反思有助于對數學概念與數學解題規律的記憶

記憶是學習的一個重要組成部分， 沒有記憶無所謂學習。

首先我們通過回顧與反思可幫助我們對數學概念的記憶。

數學概念一般都有明確的數學語義，比較抽象，單靠死記硬背掌握這些概念有一定的困難。利用解題的回顧與反思，可以加深對概念的認識，促進對概念的掌握。

其次我們通過回顧與反思可以提高對數學解題規律的記憶。

常常會聽到學生抱怨說：“某種類型的題以前做過了，考試時還是做不出來”。如果我們在平常的解題中，注意回顧與反思，這種情況就會有所改善。即在解題后，對解題方法進行歸類、總結、尋找解題規律。在以后遇到同類型問題時，就能做到概念清，思路明，方法簡，速度快。

二、回顧與反思有利于培養學生良好的思維品質

發展學生的思維能力是數學教學的重要目標，而回顧與反思為思維訓練提供了場所。

通過解題的回顧與反思使學生的思維可以在以下幾個方面得到發展：

1.回顧與反思發展思維的廣闊性

數學知識有機聯系縱橫交錯，解題思路靈活多變，解題途徑繁多，但最終卻能殊途同歸。解完題后不能就此罷手，如釋重負。應該進一步反思，探求一題多解，多題一解，開拓思路，溝通知識，掌握規律，比較分析解法的優劣，在更高層次上，更富有創造性地去學習、摸索、總結解題經驗，使自己的解題能力更勝一籌。

2.回顧與反思訓練思維的深刻性

數學知識是解決數學問題的基礎。探尋知識點間的聯系是解題思維的重要出發點和解題思維活動過程的重要方面。 解題過程能有效展示知識點間的聯系。通過對解題所用到的知識點的回顧與反思，尋找知識之間的“交匯點”，理清由知識點形成的“知識鏈”，能使我們加深對數學知識間關系和聯系的理解，逐步從縱向和橫向形成知識網絡，擴充知識結構，并在大腦記憶系統中構建“數學認知結構”， 形成一個條理化、有序化、網絡化的有機體系， 促使解題活動中的知識點產生“連鎖反應”的效應。

3.回顧與反思鍛煉思維的敏捷性

在解決數學問題的過程中，如何破題是關鍵，即如何選擇思維起點。一個問題引發的思維起點是多向的。良好的思維起點是思維素質的重要組成部分。反思與回顧思維起點，總結破題策略是提高學生發散思維能力和收斂思維能力的重要途徑。

例：已知二次函數=ax2+bx+c的圖像過點（-1，0），是否存在a，b，c，使不等式對一切實數x都成立。若存在，求出a，b，c，若不存在，說明理由。

解：假設存在這樣的符合條件的a，b，c，由的圖像過（-1，0），可得a-b+c=0，因為對一切實數x都成立，所以令x=1可得a+b+c=1，則b=1/2，a+c=1/2，即=ax2+1/2x+1/2-a，有ax2-1/2x+（1/2-a）≥0（1），（a-1/2）x2+1/2x-a≤0（2）

當a=0時，由（1）知x≤1不符合題意，所以a>0且△≤0即a=1/4，將a=1/4代入（2）得x2-2x+1≥0的解集為R，所以存在滿足條件的a，b，c，a=c=1/4，b=1/2。

回顧與反思：（1）本題把滿足題目中的條件使不等式“對一切實數x都成立”作為思維的起點。

（2）在本題中，令x=1是關鍵的破題步驟，是思維起點的延續。通過將x=1代入上不等式得到a+b+c=1可使問題簡化，這種在一般規律中以適當的特殊值代入，是解決函數問題的重要方法之一。

上述反思（1）是提煉此題思維起點，反思（2）是總結破題策略。通過反思，使我們學會如何選擇思維起點，積累破題經驗和規律，培養思維的廣闊性。

4.回顧與反思展現思維的批判性

通過回顧與反思既可以檢驗答案正確與否，又可以判斷方法的優劣。

例：求過點P（1，2）與圓C：x2+y2=1相切的直線方程。

分析：一般解法為：設過點P的直線方程為y-2=k（x-1），因為直線與圓C相切，所以圓心到直線的距離，從中可解出，故所求直線的方程為。

反思解題結果我們會發現，經過圓外一點向圓作切線應該有兩條，而上面的解法為何只求出一條呢？問題就出在解題過程的不嚴密。當所求直線的斜率不存在時，就不能把直線方程設為y-2=k（x-1）的形式。本題正確答案是：所求直線方程為和通過對解題結果的反思與回顧，一方面可以確保答案準確無誤，另一方面也可以強化審題環節，逐步使學生養成良好的解題習慣，提高數學解題能力。

三、回顧與反思是理性化的過程

解題中回顧與反思是一種重要的學習形式， 如果把求解過程比作實踐，那么回顧就是總結、歸納、創造、提高的過程，是理性化的過程。通過解題后的回顧與反思， 我們可以檢驗解答的正確性，尋求錯因并及時糾正;可以嘗試改進解題思路，使已有的思路更清晰，更合理，更易接收;可以總結解題方法，挖掘解題規律，使我們能更好地理解解題思路，并能抽象、概括所涉內容，領悟數學思想;可以發現新的有趣的事實及方法，有助于解題能力的提高。

結語

我們在解題學習過程中，要養成有意識地自己提問，并不斷回答的習慣，久而久之，就能提高回顧與反思的能力。由于數學學科的抽象性，數學活動的探究性，數學推理的嚴謹性和數學語言的特殊性，決定了我們不可能輕松地掌握數學活動的本質，必須要經過多次反復探究、深入思考、自我回顧與反思才能洞察數學活動的本質特征。同樣數學解題反思能力的培養和提高也要經歷一個不斷反復、螺旋上升的過程，不可能一蹴而成，要在解題活動中自覺自愿地進行回顧與反思，逐步形成反思的意識和習慣，進而提高解題的綜合能力。

參考文獻

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