Caputo分數階微分方程的發展過程、求解和應用

【摘要】文章研究了關于Caputo分數階微分方程的發展過程到邊值問題的求解，并探索分數階微分方程的脈沖邊值問題的解的存在性、可解性。分數階微分方程的不斷發展為解決現實問題提出了更多切合實際的數學模型，本文給出了HIV-1動力學的應用，主要是驗證了所獲理論結果的有效性并為整篇文章做出總結。

【關鍵詞】Caputo分數階微分? 微分方程? 分數階微分方程應用

1、研究背景

從1695年開始，Leibnitz給L' Hospital的信中就提到了分數階微分的概念。作為一種新的數學理論和方法，分數階微分方程和分數微積分解決了很多之前駐足不前的實際問題。實際上，分數階微分方程改進了很多實際問題的數學模型，對無窮時滯、脈沖、耦合系統或者含不同算子的方程求解和解的存在性結論提供了很多研究空間。而本文的研究對象，就是Caputo型的分數階微分方程、解的存在性及其應用。

2、Caputo型分數階微分方程

2.1 普托型分數微分方程的非局部多點邊值問題求解

在文獻[1]中，作者對新的非局部多點邊值問題，即Caputo型連續分數積分-微分方程解的存在性和唯一性進行了推導。其中研究對象為Caputo型分數積分-微分方程，在Riemann-Liouville的積分邊界條件下，利用不動點定理得到了幾個存在唯一性的結果。該方程如下：

并服從下述邊界條件

其中cD（·）表示分數階（·）的Caputo導數，I（·）表示Riemann-Liouville積分分數階（·）， f：[0，1]×R3→R是一個給定的連續函數。

λ，ai，i=1，……，m是實常數。

在任意段（0，η）？奐[0，1]上考慮的帶式條件可以解釋為非局部點處未知函數值的線性組合ζ∈（0，1）。作者定義了Banach空間：

有如下范式

求解過程如下，引入算子F：X→X：

方程（2.1）-（2.2）的問題即可轉換成（2.3），即如果F有不動點，那么原方程（2.1）-（2.2）有解。

另外，文中還定義了一些符號

其中△1和△由下式給出定義

因此通過收縮映射原理，即算子F將 映射到自身并通過不等式計算得出F是收縮映射后可以證明，解的唯一性由Thm2.1給出。Thm2.1 對于所有的，

L是Lipschitz常數，有

由收縮映射定理可以證明，在（2.6）假設下，當滿足

時，分數階微分方程（2.1）-（2.2）有唯一解。其中? 由（2.4）式給出。

解的存在性則可以由下面兩種方法給出。X表示一個滿足范式? ? ?的

的空間

（是一個Banach空間）。

構造算子F：X→X：

方法一：令M是Banach空間X的一個有界非空凸閉集。構造算子滿足如下性質：

對任意? ? ? 滿足，;? ? ?是緊湊且連續的，

是收縮映射。然后就有? 使得? ? ?。

故由Thm2.2得出解的存在性（至少一個解）：

Thm2.2 假設? ? ?是一個滿足（2.6）的連續函數，并且有以下假設成立：

如果滿足：? ? ? （2.8）

那么方程（2.1）-（2.2）在上有至少一解。其中p由（2.4）給出，由（2.5）定義。

方法二：用Leray-Schauder類型求得解的存在性。在Banach空間E中，C是E的閉凸集，U是C的開集。算子? ? 是一個連續的收縮映射（即? 是C的一個緊湊的子集）。通過交換算子F`1、F2和不等式變換可以證明Thm2.3。

Thm2.3 存在一個函數滿足? ? ? ，和一個不遞減的亞齊次函數? ? ? ，其滿足對于所有的

則邊界問題（2.1）-（2.2）在[0，1]上有至少一解，其中由（2.4）定義。

故通過（2.8）和（2.9），得到方程（2.1）-（2.2）解的存在性。

2.2 含Caputo導數的非線性分數微分方程正解的唯一性和存在性

適當的初始邊界條件對方程的正解具有重要意義。其中，含Caputo導數的非線性分數微分方程的正解也是一個主要的研究方向。在文獻[2]中，作者就研究了以下分數邊值問題（FBVP）：

C是Banach空間中的勒貝格可測函數。

研究提出了以下三個假設：（假設1）函數

在對t關于J上可測;? （2.11）

（假設2）存在常數 和實值函數

（假設3）存在常數? ? ?和一個實值函數

是一個有界的子區間。（2.13）

由假設3（2.13）為基礎，可以將原始問題（2.10）轉化為以下積分方程：

在? ? ? 空間中構建積分算子F如下：

所以原始問題（2.10）是否有解的問題等價于在Br空間中算子F是否有不動點。實際上，因為F連續且Fu（t）≥0，所以F是收縮映射，可以用Banach壓縮定理證明F存在唯一不動點。

正解的唯一性由Thm2.4給出：

Thm2.4 在以上三條假設（2.11）-（2.13）均滿足的情況下，如果有

其中? ? ，則FBVP問題（2.10）在J上有唯一正解。

原始問題FBVP（2.10）的存在性由Thm2.5得出。

Thm2.5? 是一個連續函數，（2.12）（2.13）成立。如果有

（2.16）其中，

那么問題（2.10）在J上有至少一個正解。

證明可以由構造積分算子A、B

用Arzela-Ascoli定理 Krasnoselskii不動點定理完成。

2.3 應用格林函數的具有積分邊界條件的非線性Caputo分數階微分方程的正解情況

如同前文提到，在研究邊值問題時，特殊函數如格林函數的使用也是重要的研究方向。文獻[3]中就討論了一類具有積分邊界條件的非線性Caputo分數階微分方程的格林函數性質和該方程單解和多解的情況。作者研究了具有以下邊界條件的方程：

對u有? ? ? ，其中? ? ?，? ?由（2.19）給出，r和R是

而定義。所以，（2.17）的求解被轉化成算子T的不動點存在性。

應用上下解的知識，下面給出方程（2.17）的上下解的定義：

如果滿足 且φ滿足

則函數φ被叫做作為（2.17）的下解;

如果滿足 且? ? 滿足

則函數? ? 被叫做作為（2.17）的上解。

應用Guo-Krasnoselskii不動點定理（證得T至少有一個不動點）和Leggett-Williams不動點定理（證明T知道有三個不動點），T的不動點存在性可以被證明。由上述方法可以得知方程（2.17）的解的唯一性和存在性。Thm2.6可以由Banach壓縮定理證得。

3 Caputo分數階微分方程的應用

Caputo分數階微分方程的優勢在于可以更加精確的描述有復雜時間和空間域值變化的情況，比如前幾章介紹的無窮域、脈沖、拉普拉斯算子等不同類別。

文獻[4]研究了Caputo意義下的分數階傳染病模型，通過研究一類具有細胞毒性T淋巴細胞（CTL）免疫響應的分數階HIV-1模型的動力學行為。CTL的喪失會使得HIV病毒失去控制大量增殖。該分數階模型是建立在整數階的基礎上推導而出的，并且用Lyapunov函數來得出關于穩定性的結論。

文章引入如下假設：（假設1）系統（3.1）的初值是

那么（3.1）的正解的存在性和唯一性由下列定理給出：

Thm3.1 設假設1成立，則在系統（3.1）中存在唯一正解，并且

是系統（3.1）的正不變集。

定理的證明通過（3.1）的解非負，再證明D是正不變集來完成。

Thm3.2 如果R0<1，那么系統（3.1）的無病平衡點E0=（x0，0，0，0）是全局漸近穩定的。

定理3.2的證明可以通過（3.3）尋找平衡點使得v0（t）徑向無界從而滿足全局漸近穩定的條件來完成。

Thm3.3 如果R1<1

定理3.3的證明可以通過（3.4）通過平衡條件使得V1（t）徑向無界從而滿足全局漸近穩定的條件來完成。

參考文獻：

[1]Ahmad B， Ntouyas S K， Agarwal R P， et al.Existenceresults for sequential fractional integro-differential equations with nonlocal multi-pointand strip conditions[J].Boundary Value Problems，2016（01）：205.

[2]Wang Y，Liu L.Uniqueness and existence of positivesolutions for the fractional integro-differentialequation[J].Boundary Value Problems，2017（01）：12.

[3]Gao， Y， Chen P. Existence of solutions for a classof nonlinear higher-order fractional differentialequation with fractional nonlocal boundary?condition[J].Advances In Difference Equations，2016（01）：314.

作者簡介：陳果（2000.01-），女，漢族，江西贛州人，中國農業大學國際學院本科生，研究方向：數學與應用數學。