發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)之美

張繼平

//生活中的對(duì)稱(chēng)之美//

我研究群論，群這個(gè)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科最基本的概念之一，群論是在研究數(shù)學(xué)上認(rèn)為所謂的對(duì)稱(chēng)學(xué)，所以說(shuō)今天我給大家先講對(duì)稱(chēng)之美。我們知道這個(gè)世界是充滿美的，美有很多的準(zhǔn)則和標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)稱(chēng)就是其中最重要的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)稱(chēng)這個(gè)詞本身，現(xiàn)在我們簡(jiǎn)單地說(shuō)是從英文的symmetry翻譯過(guò)來(lái)的，它是指物體的各部分恰當(dāng)對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的美感。

雪花，蝴蝶，星系，都是具有對(duì)稱(chēng)之美。這些是大自然提供給我們的，但是我們?nèi)祟?lèi)在歷史發(fā)展的長(zhǎng)河當(dāng)中，創(chuàng)造了更多的美。有一個(gè)說(shuō)法是，對(duì)稱(chēng)法則是設(shè)計(jì)的黃金標(biāo)準(zhǔn)，無(wú)論是建筑設(shè)計(jì)，還是其他各方面設(shè)計(jì)。我們的故宮、鳥(niǎo)巢，印度的泰姬陵，這些當(dāng)中都有太多的美、對(duì)稱(chēng)。另外一個(gè)是《蒙娜麗莎》，這幅畫(huà)是美的經(jīng)典，美的化身。那么它也是有它非常令人驚奇的對(duì)稱(chēng)之美。就是在她的頭上，有所謂的黃金分割的螺線。這個(gè)螺線無(wú)論是左和右，都能夠很好地體現(xiàn)這種美的要求。這些都是在設(shè)計(jì)等等各方面，同時(shí)對(duì)稱(chēng)還是一種思維方式。

我舉一個(gè)例子，我們都知道有一個(gè)物理學(xué)家，叫德布羅意。在1923年，他就完全地按照對(duì)稱(chēng)思維的這種法則去思考：光有波動(dòng)性，但它也是一種粒子，它有粒子性。德布羅意就想，所有其他的物質(zhì)粒子，它們是不是也有波動(dòng)性呢？德布羅意在他的博士論文當(dāng)中就提出來(lái)這個(gè)問(wèn)題，這就是所謂的著名的物質(zhì)粒子的波粒二象性。最后經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)證明這個(gè)是完全對(duì)的。德布羅意在1929年獲得諾貝爾獎(jiǎng)，他這一個(gè)是一種思維方式來(lái)指導(dǎo)他有這樣的科學(xué)研究上的成果。很多學(xué)化學(xué)的對(duì)元素周期表一定是愛(ài)不釋手，覺(jué)得它妙不可言，我也是這樣認(rèn)為。但是我要告訴大家的，那個(gè)周期表做出來(lái)，今天我們知道也和對(duì)稱(chēng)有關(guān)系。門(mén)捷列夫做這個(gè)周期表的時(shí)候，他那個(gè)時(shí)候做了很多實(shí)驗(yàn)，做了很多的分析，把元素周期表根據(jù)原子量、原子序數(shù)等等進(jìn)行排列。挺好的，很妙的，但是在它背后，實(shí)際上我們今天知道用不著那么多的實(shí)驗(yàn)。我們知道利用庫(kù)侖力的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)就可以來(lái)決定。這個(gè)元素周期表當(dāng)中的這個(gè)周期2、8、18、32，是可以用這些東西來(lái)決定的，那就要省事多了。所以說(shuō)對(duì)稱(chēng)無(wú)論是在生活中，還是在科學(xué)上都是相當(dāng)美的。

//什么是群論？什么是對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式？//

既然是這么一個(gè)美的事情，這么重要的一個(gè)現(xiàn)象，我們?cè)跀?shù)學(xué)上就必須有描述它的工具。數(shù)學(xué)上認(rèn)為所謂的對(duì)稱(chēng)是在運(yùn)動(dòng)變換下不變的一種特性，研究這種不變性的學(xué)科就叫群論。我們可以有一點(diǎn)這個(gè)感性認(rèn)識(shí)，我們今天演播廳，比方說(shuō)我們有300個(gè)同學(xué)，正好今天有300個(gè)位置，那么我們這300個(gè)同學(xué)隨意地隨機(jī)地坐300個(gè)位置，每一種坐法就是一種變換，那么在我們300個(gè)人坐這300個(gè)位置當(dāng)中，一共有多少種這種坐法呢？一共有300的階乘個(gè)坐法，就是從1×2×3×4，一直到乘到300，就是這300的階乘個(gè)這種位置的變化就是一個(gè)群。那么這個(gè)現(xiàn)在我們稱(chēng)它是全對(duì)稱(chēng)群。對(duì)于這個(gè)對(duì)稱(chēng)群，我們現(xiàn)在至少有一點(diǎn)感性的認(rèn)識(shí)。知道了之后我們就可以做點(diǎn)事，所謂的對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式。你們學(xué)高等代數(shù)的時(shí)候一定會(huì)學(xué)對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，知道對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式的請(qǐng)舉手，大多數(shù)人還是都知道的。我們這幾個(gè)多項(xiàng)式是對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式，而且它還是有特殊性，我們叫它初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式。對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式千千萬(wàn)，初等對(duì)稱(chēng)就這N個(gè)。我記得畫(huà)家有一個(gè)說(shuō)法：畫(huà)人先畫(huà)骨。那么在我們這個(gè)地方，那么這個(gè)骨就是我們的初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式。所以說(shuō)這個(gè)從數(shù)學(xué)上來(lái)看，我們來(lái)分析對(duì)稱(chēng)這個(gè)現(xiàn)象，在多項(xiàng)式這個(gè)地方有這么深刻的道理和這么美妙的結(jié)果，當(dāng)我一開(kāi)始學(xué)到這個(gè)定理的時(shí)候我覺(jué)得它是妙不可言。

//中國(guó)古代數(shù)學(xué)已經(jīng)開(kāi)辟了或者奠定了數(shù)學(xué)機(jī)械化的道路，這還不偉大嗎？//

從數(shù)學(xué)家的角度來(lái)看，我們研究這些東西，當(dāng)然是現(xiàn)實(shí)世界的需要，也是數(shù)學(xué)發(fā)展的需要。那么在數(shù)學(xué)發(fā)展的道路征程中，你萬(wàn)萬(wàn)不會(huì)想到中國(guó)古代的數(shù)學(xué)就是追求真和美的典范。我們國(guó)家的數(shù)學(xué)家吳文俊先生，他也是我非常崇敬的中國(guó)數(shù)學(xué)家之一。吳先生有很多偉大的貢獻(xiàn)，其中之一就是他對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)有非常深刻的研究，提出來(lái)中國(guó)古代數(shù)學(xué)是主流數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)。不像西方的有些人認(rèn)為中國(guó)的數(shù)學(xué)是邊邊角角，是不成體系的，不成體統(tǒng)。吳先生他發(fā)現(xiàn)中國(guó)古代數(shù)學(xué)就是一部算法大全，覺(jué)得它是妙不可言。其中吳先生特別舉了一個(gè)例子，大家都知道的非常著名的《九章算術(shù)》。我們今天學(xué)高等數(shù)學(xué)的都知道輾轉(zhuǎn)相除法，或者說(shuō)是歐幾里得算法，就是給了兩個(gè)整數(shù)或者兩個(gè)多項(xiàng)式，求它的最大公因子。在《九章算術(shù)》里邊，在公元前的時(shí)候，我們的老祖宗就已經(jīng)給出了這個(gè)算法了，而且相當(dāng)?shù)木睢Ｋ莻€(gè)時(shí)候把這個(gè)最大公因子叫等數(shù)，這個(gè)數(shù)就是以少減多，更相減損，求其等也。什么意思？我舉一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：我們想求6和4的最大公因子，那我們的老祖宗就告訴我們，你把這兩個(gè)數(shù)放在這兒，前面是6，后邊是4對(duì)吧，這是兩個(gè)數(shù)，然后以少減多，那就是把高的那個(gè)6多嘛，把4減掉，6減4還剩2對(duì)不對(duì)？現(xiàn)在就剩了兩個(gè)了，就是2和4對(duì)吧，那么再按照那個(gè)方法再減，也就是說(shuō)用4減去2，那就還剩2，那就剩了兩個(gè)數(shù)了，2和2。這就是我們老祖宗說(shuō)的等也，就是等數(shù)。這個(gè)2這樣出來(lái)了，就是6和4的最大公因子。我這個(gè)是舉的最簡(jiǎn)單的一個(gè)例子，你可以舉其他的任何兩個(gè)整數(shù)，都可以通過(guò)有限步以后，把它的最大公因子找到。這是一個(gè)相當(dāng)美妙的事情，而且像這種偉大的解法算法，《九章算術(shù)》和后面的各種的數(shù)學(xué)著作里多了去了。

所以說(shuō)吳先生說(shuō)中國(guó)古代的數(shù)學(xué)就是一部算法大全，是告訴了你各種的算法。算法正是我們今天計(jì)算機(jī)幫人做事情的基礎(chǔ)，我們現(xiàn)在處于一個(gè)信息化的時(shí)代，數(shù)字化的時(shí)代，我們需要機(jī)器來(lái)幫我們做越來(lái)越多的事。可是計(jì)算機(jī)說(shuō)起來(lái)是最聰明的，但是說(shuō)回來(lái)也是最笨的，說(shuō)它聰明是因?yàn)樗欤愕每欤f(shuō)它笨是因?yàn)樗F(xiàn)在還不能思考，它什么東西都需要人做好了，給它編好了程序，讓它去一步步地去計(jì)算。機(jī)器最大的弱點(diǎn)就在于它只能處理有限的東西，它只能處理離散的東西。那么所有的無(wú)限的連續(xù)的東西，我們首先要靠人，把它化成有限的離散的東西，然后讓機(jī)器去做，這就是算法。正是實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)問(wèn)題代數(shù)化，代數(shù)問(wèn)題機(jī)械化，中國(guó)古代數(shù)學(xué)已經(jīng)開(kāi)辟了或者奠定了數(shù)學(xué)機(jī)械化的道路，這還不偉大嗎？今天計(jì)算機(jī)的發(fā)展，算法的發(fā)展，一定會(huì)發(fā)展出新的數(shù)學(xué)，中國(guó)數(shù)學(xué)要走向世界的前端、要領(lǐng)先世界的話，我覺(jué)著我們應(yīng)該更多地求教于吳先生，我們也需要更多的中國(guó)的學(xué)子來(lái)努力，來(lái)使得我們真正走向數(shù)學(xué)的強(qiáng)國(guó)。

（六月的雨摘自2020年2月22日《開(kāi)講啦》）