多級奇異值分解和SG的通信雷達信號降噪方法*

位秀雷 劉樹勇

(中國人民解放軍91404部隊1) 秦皇島 066000) (海軍工程大學艦船與海洋學院2) 武漢 430033)

0 引 言

雷達已應用于地面、空中、海上和太空，地面雷達主要用來探測、定位和跟蹤空中目標，不僅在軍事各個方面得到應用，同時在民用雷達方面也發揮著日益增長的作用[1-3].然而雷達回波信號在接受過程中受到內部噪聲、地雜波和外部干擾等噪聲的影響，導致目標檢測結果出現偏差，甚至影響目標識別的正確判斷，使我方指揮者難以做出正確決策，并且雷達信號和噪聲頻帶部分甚至全部混疊，傳統的沖擊響應濾波器無法依據差頻信號頻域分布的特點對濾波器參數進行自適應修改，難以有效實現信噪分離[4-5].

目前較為常用的雷達信號降噪方法有小波分析、經驗模態分解，以及相關延伸算法.小波閾值降噪方法，采用卷積方法提取高低頻細節，計算復雜且閾值處理采取一刀切的方法，會丟失很多目標特征信息，雷達回波信號目標信息屬于微弱信號，其重要特征失真，很難提取有效信息[6]，做出準確識別，且小波閾值處理效果會受到小波基函數、分解層數以及閾值選擇的影響；EMD是一種無需先驗知識的信號處理方法，其分解完全依賴信號本身，但是，在局部干擾下，EMD分解得到的本征模態分量(intrinsic mode function，IMF)會發生畸變[7]，且EMD本身有缺陷，如模式混疊、端點效應等[8]，文獻[9]利用無偏自相關運算，計算各IMF能量，確定出有用信號貢獻率最大的IMF，進行FMCW雷達信號特征提取，該方法自適應高，但是會導致其他IMF分量有用細節流失.奇異值分解(singular value decomposition，SVD)是一種有效的非線性信號處理方法并應用于多個領域信號處理[10]，該方法將原始信號分解為由大到小的奇異值，表示信號的奇異值要大于噪聲的奇異值，通過確定有效秩階次，將表示信號的奇異值重構實現降噪，其關鍵是如何有效確定分解后的有效秩階次[11]，為此，結合雷達信號本身特性和SVD算法特點，將多級奇異值分解應用到雷達信號降噪處理，通過多次分解，將噪聲部分奇異值逐級剔除，保留信號主導的奇異值，然后利用SG濾波算法移動窗口加權平均擬合特性，對信號主導信號進行平滑修正處理，剔除信號毛刺和尖銳，進一步提高信號信噪比，進行了數字仿真與雷達信號處理分析.結果表明：本文方法在有效剔除噪聲的同時，減少了原始信號的失真.

1 多級奇異值分解

1.1 奇異值分解

奇異值分解在相空間重構理論基礎上，將原始信號x(i),i=1,2,…，n內嵌到維數為L的吸引子軌道D中.

矩陣D表示吸引子在相空間中的演化特性，可表示為D=Dx+Dw.Dx，Dw為干凈信號和噪聲構成的m×n矩陣，對D進行奇異值分解，獲得降序排列奇異值與ui，vi.

D=USVT

(1)

式中：U=[u1,u2,…,un]∈Rn×n，V=[v1,v2,…,vm]，S=[diag(σ1,σ2,…,σr),0]或其轉置，取決于n>m或n

文獻[13]定義奇異值差分譜為

di=σi-σj,j=i+1,i=1,2,…,q

(2)

式中：q=min(N-n+1,n)-1.

記差分譜序列D=(d1,d2,…,dq).D的前k個奇異值為信號的真實分量對應的奇異值，第k+1個奇異值起為噪聲對應的奇異值，則D的第k個元素dk為差分譜序列的最大峰值，即

k=argmax{peak(di):i=1,2,…,q}

(3)

式中：peak(di)為di的峰值.選擇前k個奇異值即可重構原信號.

1.2 多級奇異值分解實施策略

為了避免重構階次k選取過大或過小導致信號失真或降噪效果不理想，本文采用多級奇異值分解策略實現信號提取.對于高信噪比原始信號，信號占據主導地位，使用文獻[14]方法便可得到較好的降噪效果，而對于雷達信號，目標特征比較微弱，隱藏在復雜干擾中，重構階次的選取就有較困難.

以信噪比為5 dB的雷達回波信號為例，詳述多級奇異值分解的實施策略.圖1為5 dB雷達回波信號的奇異值和差分譜，由圖1b)可知，第二個差分譜最大，若是將其后的奇異值置零重構，必然會導致信號大量失真，為了在剔除復雜干擾的同時盡可能減少有用細節的流失，以奇異值的差分譜作為進行2級奇異值分解的標準，將最大差分譜(圖1b)箭頭所指)所對應的奇異值作為臨界值，前面較大大的奇異值重構后記為B1，后面較小的奇異值重構后記為S1，然后對S1進行下一級分解.2級奇異值分解后信號的奇異值和差分譜見圖2，由圖2a)可知，表示信號的較大奇異值已經變少，根據最大差分譜區分原則，將前面較大大的奇異值重構后記為B2，后面較小的奇異值重構后記為S2.3級奇異值分解后信號的奇異值和差分譜見圖3，3級分解后奇異值雖然呈遞減分布，但是從圖3b)可知，其差分譜相差較小，分布比較均勻，說明信號中的主要成分為噪聲信號，則分解停止，多級奇異值分解處理后的信號就記為B1+B2，通過多級奇異值分解的實施策略可以得出如下結論：原始信號信噪比越低，多級奇異值分解的次數越多.圖4為降噪前后雷達回波信號時域波形圖，圖5為降噪后信號和干凈信號的相對誤差，可以看出，信號特征基本被還原，但信號略顯粗糙，存在毛刺和尖銳，說明，對于較低信噪比信號降噪問題，單一的信號處理方法很難取得理想效果.

圖1 SNR=5 dB雷達信號的奇異值和差分譜

圖2 2級分解后的奇異值和差分譜

圖3 3級分解后的奇異值和差分譜

圖4 降噪前后雷達信號時域圖

圖5 降噪后雷達信號相對誤差

2 SG濾波算法

經多級奇異值分解處理后的信號雖然有用信號占絕大比重，但是還有少許噪聲干擾，信號還存在毛刺和尖銳.SG濾波算法是一種移動窗口的加權平均算法，通過最小二乘法求取多項式系數，得出滑動窗口中心點的最佳擬合值.利用SG對多級奇異值處理后的信號進行平滑修正處理，可進一步提高信號信噪比[15].

對于含噪序列點{x1,x2,…,xN}，假設擬合曲線方程為

地表水受到嚴重污染，城鎮供水水源地水質不能達到有關標準；大量未經處理的廢污水排入河道和滲井、滲坑，加之過量使用農藥和化肥，使得河流和地下水受到嚴重污染。城市下游河道多為不能利用的超V類水體，減少了水資源的可利用量。

x(t)=a0+a1t+a2t2+…+antn,n∈Z

(4)

式中：n為擬合階數.

最小二乘算法的擬合殘差為

(5)

式中：x(t)為擬合點；xt為實際數據點；2M+1為數據窗口，t=-M為數據窗口最左邊的數據點；t=M為數據窗口最右邊的數據點.

若系數ai(i=0，1，2，…，n)滿足式(8)最小，則認為點為序列的最佳擬合點.由微積分知識可知，若εN最小，則其對各個參數的導數應該為零，于是

(6)

為了計算方便，引入一個2M+1行n+1列的輔助矩陣A，設A={at,i}.其中，at,i=ti,-M≤t≤M,0≤i≤n.

設輔助矩陣B，使B=ATA.

(7)

設

于是

Ba=ATAa=ATx

a=(ATA)-1ATx=Hx

(8)

將多項式系數矩陣a代入到式(7)中就可以得到SG平滑濾波后信號.

綜上所述，多級奇異值分解和SG降噪方法的實施流程見圖6.

圖6 多級奇異值分解和SG降噪方法流程圖

3 仿真分析

為了驗證所提方法的有效性和對雷達信號處理的優勢，以Matlab仿真的“chirp”信號為例，與文獻[14]方法作對比分析，其中采樣頻率為1 kHz，采樣時間為0.5 s.圖7～8為文獻[14]和本文方法的降噪效果圖，由圖7～8可知，文獻[14]降噪方法對重構階次的選取方法加以改進，但是無法更加細化地提取淹沒在噪聲主導奇異值中的有用細節，降噪后信號明顯粗糙(如圖中箭頭所示)，降噪后信號和干凈信號的相對誤差較多級奇異值分解處理后信號要大(見圖5)，而本文方法處理后的信號基本已無明顯毛刺，信號比較光滑，并且和干凈信號相對誤差最小，說明了SG平滑濾波算法進一步修正了信號軌跡，平滑掉了殘留噪聲.

圖7 文獻[14]降噪效果圖

圖8 本文方法降噪效果圖

對于已知模型產生的信號，可以采用信噪比(SNR)和均方誤差(MSE)定量衡量降噪效果，信噪比越大，均方誤差越小，降噪效果越好[16].表1為不同信噪比原始信號的降噪效果對比，由表1可知，對于不同信噪比的雷達回波信號，本文方法都有著較好的降噪效果，并且原始信號信噪比越低，降噪效果優勢越大，體現了所提方法對于處理較低信噪比雷達信號的優越性，更加適用于復雜環境下雷達信號處理，應用前景更廣.

表1 降噪效果比較

4 實驗分析

將本文提出的降噪方法應用于雷達信號的降噪，帶寬為30 M，脈寬為10 μs，采樣頻率為150 MHz，取11 000～14 000為樣本點數，其實測波形圖見圖9，受到復雜噪聲干擾，從時域圖中很難準確提取信號特征.

圖9 實測雷達信號

圖10～11為文獻[14]和本文方法的降噪效果圖.文獻[14]降噪后的波形圖局部毛刺明顯，波形不夠光滑，而本文所提方法去噪后的信號整體比較平滑，無明顯毛刺，效果要優于文獻[14]降噪方法.

圖10 文獻[14]降噪效果圖

圖11 本文方法降噪效果圖

考慮到實驗信號先驗知識未知，不能采用信噪比和均方誤差來定量比較兩種方法的降噪效果，根據信號都有一定的相關性，而噪聲不相關特性，因此，信號的自相關函數要遠遠大于噪聲.自相關函數定義為

式中：τ為延遲；N為信號長度.

2種方法去噪前后的部分自相關函數值見圖12，由圖12可知，本文所提方法降噪后序列的自相關函數值要明顯大于文獻[14]，說明原始信號經本文方法降噪后信號比重要大于文獻[14]，進一步展現了其降噪的優越性.

圖12 兩種方法自相關函數

5 結 束 語

針對雷達信號降噪問題，提出了基于多級奇異值分解和SG的降噪方法，詳述了多級奇異值分解的實施策略，克服了奇異值分解重構階次難以有效選取的難題，以先驗知識已知和先驗知識未知的雷達信號為例，進行了仿真和實驗對比分析，結果表明，含噪信號經多級奇異值分解處理后，再經SG平滑濾波，有效剔除復雜干擾，減少有用信號失真，真正實現了降噪目的.對于有無先驗知識的雷達信號，所提方法也有較好的降噪效果.