等離子去板坯熔渣機器人運動學分析與研究

李 龍，朱寶林，陳 雙

（蕪湖哈特機器人產業技術研究院有限公司，安徽蕪湖 241000）

0 引言

我國是鋼鐵行業的制造和使用大國，目前主要采用的是數控火焰切割機處理大型的機械加工件，因摸具制造和鑄造工藝等原因，在火焰切割后，造成熔融的鋼液向下流動，從而會使板坯底部出現毛刺甚至飛邊，造成裝配精度的降低，甚至影響軋鋼的表面質量。現階段，使用較多的去毛刺機主要是刮刀式、錘刀式[1-3]。研究結果表明，兩種方法具有一定的局限性，去除毛刺效率不高，質量一般，且軋鋼的生產效率受刀具壽命及質量的影響[4-5]。

本文提出了一種利用等離子切割機器人去除板坯熔渣的方法，設計了專用的去板坯熔渣機器人，并對該機器人進行運動學建模及分析研究，經前期試驗，該方法不僅速度快而且切割質量非常好，能達到工業實時生產要求。

1 等離子切割機器人運動學模型的建立

對于機器人各個連軸之間的關系，Denavit 和Hartenberg[6]提出了將運動學關系精簡為齊次變換矩陣的數學運算問題，本文的運動學采用目前國內科技文獻常用的Craig[7]版本（也稱為前置法），設計了專用的五自由度機械手三維模型，如圖1所示，由底座、腰、大臂、小臂和腕關節5個轉動關節組成，建立各關節處的坐標系（坐標系0～5），其中坐標系0 與坐標系1重合。

圖2 所示為機械軸的機構簡圖，圖中標注了各關節相應尺寸及坐標系相對位置。桿件參數及相關變量如表1所示，其中θi是繞zi軸，從xi-1旋轉到xi的角度；αi-1是繞xi軸，從zi旋轉到zi+1的角度；ai-1是沿xi軸，從zi移動到zi+1的距離；di是沿zi軸，從xi-1移動到xi的距離。

圖1 三維模型

圖2 機構簡圖

表1 桿件參數和關節變量表

2 運動學分析

2.1 正運動學

機器人的正運動學問題為：已知機器人的結構參數及各關節變量，在參考坐標系中，獲取其末端執行器的位姿。每個關節i兩側的連桿i對連桿i-1的相對位置可由一個4×4的矩陣來表示[8]：

式（1）由參數ai-1、αi-1、di、θi決定，只有θi為變量，即變換矩陣隨θi變化而變化。文中連桿坐標系O5-X5Y5Z5相對于基坐標系O0-X0Y0Z0變換矩陣為各變換矩陣相乘。由式（1）和表1可得：

由圖2可知，各關節角度為：θi＝[0° 0° 6.38° 83.62° 0°]，并代入式（2），得出機器人末端相對于參考坐標系的位置和姿態，結果為：

2.2 逆運動學分析

目前工業機器人求解逆運動學的一般方法為反變換法[9-10]（也稱代數方法），該方法求解多次逆乘，計算較繁雜。本文將提出一種改進求解算法，只需逆乘一次，即可將所有的關節變量求出來，過程如下。

將式（2）變形為：

（1）求解θ1

令式（4）兩端的元素（3,4）相等，可得：

（2）求解θ2

令式（4）兩端的元素 (1,4) 、 (2,4) 、 (1,3) 、 (2,3)分別對應相等即得4個方程：

整理得：

解得：

（3）求解θ3

（4）求解θ4

（5）求解θ5

綜上，可得一組關節角度的解為：q ＝ [0°, 0°, 6.38°,83.62°,0°]。

2.3 逆解中多解問題的處理

從上文解的表達式中可知θ1和θ2有2 個根，故存在4 組解，而控制機器人運行需要唯一確切的解。本文提出了一種從逆解中的多組解中尋求控制機器人的最優解的方法：采用雙變量反正切函數確定關節角后，在不考慮避障的情況下，以機器人移動最短具體為前提后獲取各關節θ的最優解，將所得的最優解作為實現機器人目標位姿的控制依據[11-14]

3 驗證

在MATLAB 環境下利用Robotics Toolbox 工具箱對運動學模型進行分析驗證，流程圖如圖3所示。

3.1 機器人運動模型的建立

機器人模型建立步驟如下：

（1）調用Link()函數，并輸入表1 中的連桿參數。Link()函數的調用格式為：

式中：α為連桿扭轉角αi；A為連桿長度ai；θ為兩連桿夾角；D為2 個連桿間的距離；ζ為關節類型；offset為關節的偏移量；CONVENTION可以取standard 或modified，本文取modified，即采用改進的D-H參數。

（2）調用SerialLink() 函數，SerialLink() 函數的調用格式為：

式中：L1,L2,???,Ln分別機器人的各個連桿。

（3）調用drivebot()函數，生成三維模型及控制界面。

圖3 運動學驗證流程圖

綜上所述，Matlab中機器人D-H參數表如圖4所示，生成三維模型如圖5所示。

3.2 運動學仿真驗證

3.2.1 正運動學仿真驗證

調用fkine()函數，得出正運動學末端位姿矩陣。

式中：robot為機器人模型；q為機器人的一組關節角度值。

圖4 Matlab中機器人D-H參數表

圖5 Matlab中機器人三維模型

將機器人初始位置q0＝[0 0 6.38×π/180 83.62×π/2 0]代入，可得圖6所示的結果。將其與第二節所計算的正運動學結果相比較，可以得出兩者結果一致。

圖6 在MATLAB中的正運動學結果

3.2.2 逆運動學仿真驗證

調用ikine()函數，求解逆運動學方程

式中：T 為機器人末端的姿態；q為機器人初始關節角度；M 為一個1×6的矩陣；其中的每一個元素代表機器人的一個關節自由度。故本文機器人的M 矩陣為[1 1 1 1 0 1]。求解結果如圖7所示。將圖中所得結果qi＝[0,0,0.111 4,1.459 4,0]轉化為角度值為qi＝[0°,0°,6.39°,83.61°,0°]，經與理論計算的部分相比較，兩者結果一致，所得的解完全符合所賦初值。

圖7 逆運動學求解的結果

4 結束語

（1）本文提出了用等離子切割機器人去除板坯熔渣的新方法，并自行設計專用的五自由度機器人。該方法可以高效快速地去除板坯熔渣，也增加了機器人在冶金領域的新應用。

（2）得到了五自由度機器人的正運動學解及逆運動學解。在求解逆解的過程中提出了一種改進的算法，僅用一次矩陣的逆乘便求出所需的解，避免了大量矩陣逆乘，使運算過程更加簡單。

（3）使用MATALB 中的Robotics 工具箱驗證了所求運動學的結果。經兩者比較結果說明，在忽略計算誤差的基礎上，兩者保持一致，從而驗證了所建立模型的正確性及相關理論計算的正確性。