汽車多元動態系統仿真模型響應分析方法＊

雷正保 邢歡 陳小勇

（1.長沙理工大學，大型結構碰撞實驗室，長沙 410114；2.長沙理工大學，公路工程教育部重點實驗室，長沙 410114）

主題詞：車輛安全技術 動態系統 模型驗證 主成分分析

1 前言

模型仿真技術在一定程度上已經取代物理樣機試驗成為汽車碰撞安全性能的主要研究工具[1-3]，但仿真模型同實際物理對象始終存在一定差距，因此，對其進行驗證十分必要。動態系統的高度非線性及復雜性使得模型驗證較為困難，主要表現在：動態系統的輸出響應數據具有高度的時間相關性和時變性，其相位、幅度及頻率等曲線特征差異都需要納入監控范圍，這要求模型驗證方法能夠全面分析輸出響應間的曲線特征差異；復雜動態系統通常包含多個輸出響應，且響應間存在著很強的相關性[4]，這要求模型驗證方法能夠有效解決輸出響應間的相關性問題；模型驗證工作涉及的驗證方法較多，實施起來較為繁瑣。

針對上述問題，本文基于誤差評分法和主成分分析法對動態系統仿真模型的驗證方法展開研究。

2 誤差評分法

全局誤差為時域內每個時間步長具有相同權重時，完整的曲線特征誤差。時間響應誤差評估（Error Assessment of Response Time Histories，EARTH）方法將全局誤差劃分為3 個獨立的誤差，即相位誤差、幅度誤差和頻率誤差（拓撲誤差）。相位誤差為兩組時間序列間的總體時間差；幅度誤差為無時間滯后時，兩組時間序列間的幅度差；頻率誤差為兩組時間序列間的形狀差異。這三者分別與信號處理中的相位、幅度及頻率相對應，簡單的時間序列可表示為正弦函數的形式：

式中，φ為相位；Y為幅度；ω為頻率；ti為i點的時間。

相位、幅度及頻率三者之間存在著很強的耦合關系，如何對其進行有效測量是本文研究的重點。誤差評分法主要分為3 個步驟，即相位誤差的測量、幅頻誤差的測量和誤差評分，如圖1所示。

圖1 誤差評分法流程

2.1 相位誤差的測量

采用文獻[5]中的互相關系數方法進行相位誤差測量。該方法通過移動1 個時間序列步長的方式最大化互相關系數，此時，移動的時間步長數eε即為相位誤差的線性測量。文獻[6]對幾種常用的相位誤差測量方法進行了對比分析，結果表明，互相關系數方法對相位誤差更為敏感，因此，本文在研究過程中選用此方法進行相位誤差測量：

式中，ρ為互相關系數；N為加速度時間序列的長度；αi、βi分別為加速度時間序列i點的實際測量值和理論值；分別為αi、βi的均值。

2.2 幅頻誤差的測量

幅度誤差與頻率誤差之間存在著很強的耦合關系，獨立測量的方式會產生誤導性的測量結果，H.Sarin 等曾嘗試采用響應誤差評估（Error Assessment of Response Time Histories，EARTH）[7]方法對兩者進行獨立測量，但分離效果不夠理想，頻率誤差的測量結果中包含了過多的幅度信息，這導致最終的驗證結果不準確。因此，本文將兩者綜合考慮，稱為幅頻誤差。

測量幅頻誤差前，必須最小化由相位誤差引起的時間序列間的差異，EARTH 方法通過將原始時間序列移動時間步長數eε的方式對相位誤差進行補償，此方法在某種程度上實現了對相位誤差的補償，但當兩條時間序列間的相位誤差較大時，需要移動的時間步長數勢必較多，此時相移及截短的時間序列無法很好地反映原始時間序列的幅度及頻率特性，因此，需要一種新的方法對相位誤差進行補償。

本文擬采用動態時間彎曲距離（Dynamic Time Warping，DTW）算法對原始時間序列進行相位誤差補償，DTW 算法可以通過彎曲時間序列時間軸的方式實現數據點間的錯位匹配，這本質上是對數據點的復制與平移，它能夠很好地對齊兩條時間序列間的波峰和波谷，那么時間序列間的相位誤差就可以很好地得到補償，但此時，DTW 能夠反映的主要是幅度信息，如何使得距離矩陣中的基礎距離能夠同時反映幅度和頻率特性是接下來研究的關鍵。

由式（1）的導數公式可知，去除相位φ的影響后，正弦曲線的導數數據中包含了更多的幅度及頻率信息，即對時間序列間的相位誤差進行補償后，其斜率數據間也就包含了更多的幅頻誤差信息，那么此時兩組斜率數據間的動態時間彎曲距離即為幅頻誤差的測量值。

相位誤差eε和幅頻誤差eφ之間存在數量級差異，從而無法給出直觀的評分結果。可以將誤差測量值轉變為0～100%的數值形式，相位評分Eε和幅頻評分Eφ分別為：

相位、幅度及頻率三者同為曲線特征的重要度量指標，在進行響應分析時，如何有效確定相關權重一直是研究重點。層次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）作為一種多目標決策技術，能夠定量地分析每個目標的重要程度。文獻[8]曾利用AHP 對相位、幅度以及頻率在單個評分值間的重要程度進行了定量分析。

文獻[9]根據汽車安全模型驗證領域的ISO 標準要求以及專家領域知識（Subject Matter Expert，SME）確定各誤差評分間的權重，對相位誤差、幅度誤差以及頻率誤差的權重分配為1∶1∶1。本文在確定綜合評分權重時參考文獻[10]的方法，由于本文將幅度誤差和頻率誤差統一為幅頻誤差來考慮，因此對相位誤差和幅頻誤差的權重分配為1∶2。則最終的誤差評分Ee為：

3 主成分分析法的概念及基本思想

3.1 主成分分析的幾何意義

傳統的降維方法有很多，如主成分分析[11]、核主成分分析[12]和多尺度主成分分析[13]等，其中，主成分分析法是最為常用的一種特征提取方法，能夠將高度相關的高維數據映射為相互獨立的低維數據[14]。從幾何的角度來看，綜合變量是向量x1、x2、……、xp構成的坐標系旋轉產生的新坐標系。

如圖2所示，呈二元正態分布的點大致可形成橢圓形狀，沿X1軸、X2軸方向都具有很大的離散性，可以用方差定量表示，如果只考慮1 個方向，將會丟失原始數據中的大量信息，若分別在橢圓的長軸和短軸方向取坐標軸F1和F2，相當于進行了坐標變換，即將原始坐標軸按逆時針方向旋轉角度θ，則新坐標與原坐標之間的關系為：

矩陣表示為：

顯然UT=U-1，且U為正交矩陣。

圖2 主成分的幾何意義示意

從圖2中可看出，橢圓中的點在F1軸方向上波動較大，在F2軸方向上的波動較小。若橢圓的形狀是相對扁平的（短軸非常小），則可以忽略F2軸方向上的波動，此時二維問題便可降為一維問題。一般情況下，p個變量組成p維空間，n個樣本是p維空間的n個點，對p元正態分布變量來說，尋找主成分的問題就是尋找p維空間中橢球體的主軸問題。

3.2 主成分分析的步驟

a.首先需要對原始數據進行標準化，主要目的是實現數據的無量綱化及同趨勢化。數據無量綱化指的是將不同量綱的原始數據轉變為無量綱的新指標數據，使其具有可比性；數據同趨化是指將不同性質的指標數據轉換為具有同一性質的新指標數據，使得所有指標的增量方向對測評方案的作用趨勢相同。數據標準化的方法主要有“按小數定標標準化”“Z-score 標準化”和“最大值-最小值標準化”等[15]。原始指標數據經過標準化處理后，轉換為無量綱且各指標值均處于同一數量級的新指標數據。

b.計算出標準化后數據的協方差矩陣，并計算出該矩陣的特征值及特征向量。

c.確定主成分數量，將求出的特征值按從大到小的順序排列，若需保留的主成分能反映原始數據95%的信息，則根據≥95%可確定前k個主成分，其中λn為特征向量。

d.根據確定的k個特征值選出與它們相對應的特征向量，將標準化后的原始數據與此特征向量相乘，即可得到前k個主成分。

4 多元響應分析方法

為解決動態系統仿真模型驗證中的相關性問題，基于主成分分析法和誤差評分法提出了一種多元響應分析方法（Multivariate Responses Analysis，MRA），具體流程如圖3所示。

圖3 MRA法流程

將降維后的仿真數據和試驗數據在同一維度空間中進行比較，最后對試驗數據和仿真數據的主成分進行誤差評分，由此得到MRA的最終評分公式為：

式中，EM為總誤差評分；λj為各主成分權重因子；Ee為各主成分的誤差評分。

5 實例驗證

選用文獻[16]中駕駛員側乘員約束系統仿真模型對MRA方法進行驗證。該模型用于模擬試驗車輛100%重疊正面撞擊固定剛性壁障，碰撞速度為56 km/h，該試驗共有11個響應量[17]，響應間相關性較大。設相位閾值為40，幅頻閾值為0.2，圖4所示為利用主成分分析法提取的試驗和仿真數據的前4維主成分。第一、第二、第三和第四主成分分別占原始數據信息的65.4%、20.7%、6.7%和3.2%。

圖4 試驗和仿真數據前4個主成分對比

使用試驗數據各主成分的信息比例加權得到仿真模型的MRA 評分，結果如表1 所示。結合圖4 可知，第一主成分的仿真曲線與試驗曲線擬合度最高，第四主成分兩條曲線的擬合度最低。本文在進行相位誤差測量和幅頻誤差測量時，第一主成分的相位和幅頻誤差最小，第四主成分的相位和幅頻誤差最大，這說明本文得到的結果與圖4的結果具有一致性，也說明本文提出的方法具有可行性。

原始響應數據誤差評分結果的均值為62.25%，兩者存在較大差異，這是因為幅度誤差和頻率誤差之間存在強烈的耦合關系，文獻[17]對幅度誤差和頻率誤差分別進行測量，這種耦合關系勢必對結果造成影響，在進行幅度誤差測量時，雖然文獻[17]對相位誤差和頻率誤差進行了誤差補償，但是依然存在著局部誤差和本地時間誤差。本文將幅度誤差和頻率誤差統一為幅頻誤差，由此解決了動態輸出響應相關性問題，這也是本文得到的結果與原始文獻的結果具有較大差異的原因，也充分說明解決相關性問題是實現仿真模型有效驗證的重要保證。

6 結束語

為了全面分析動態系統輸出響應間曲線特征差異，同時解決輸出響應間相關性問題，本文基于誤差評分法和主成分分析法提出了一種多元響應分析方法，通過降維的方式對11 個響應數據進行了主成分提取，降維后的數據在保留了原始數據足夠信息的前提下，大幅簡化了計算強度和難度，同時解決了動態輸出響應相關性問題，并對各響應進行誤差評分。通過誤差評分法對輸出響應間曲線特征差異進行了全面度量，并通過具體案例驗證了該方法的有效性。結果表明，該方法能夠直接對多元動態響應間的一致性進行評分，能夠全面分析輸出響應間的曲線特征差異并消除輸出響應間相關性對驗證結果的影響。MRA方法受人為影響因素較少，因此，其評分結果更加客觀，適用范圍也更加廣泛。