離散型可靠性參數(shù)數(shù)學(xué)關(guān)系研究

火建衛(wèi)，朱星宏，耿小亮

(1.航空工業(yè)第一飛機設(shè)計研究院 適航與通用質(zhì)量特性研究所， 西安 710089)(2.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院， 西安 710129)

0 引 言

可靠性參數(shù)是通過不同角度對產(chǎn)品可靠性特征的度量，例如：平均故障間隔時間、平均失效前工作時間、可靠度、失效概率、失效率等。指標則是期望事物在某一參數(shù)上達到的數(shù)值，可靠性參數(shù)及指標可用于約束產(chǎn)品研制過程，并為最終產(chǎn)品驗收提供依據(jù)[1]。在對可靠性要求極其嚴格的航空航天領(lǐng)域，不同的可靠性參數(shù)扮演著重要的角色，通常根據(jù)產(chǎn)品的類型、工作特點、用戶需求等選取可靠性參數(shù)。同時可靠性參數(shù)之間存在相關(guān)性，不同的可靠性參數(shù)能夠按照相應(yīng)的公式或規(guī)律進行轉(zhuǎn)換。就航空發(fā)動機而言，一般都以時間來表示其壽命，并以時間作為參數(shù)之一來預(yù)測發(fā)動機可靠性[2-5]。而像飛機的起落架，尾翼等并不是處于相對穩(wěn)定的載荷環(huán)境，其更適宜用離散型時間量——次數(shù)(如：工作次數(shù)、載荷作用次數(shù)、工作循環(huán)數(shù)等)作為計時單位[6-7]，離散量“次數(shù)”表示廣義的時間量，這類產(chǎn)品的可靠性參數(shù)(可靠度、失效概率、失效率等)只在離散“時間”點上有定義。與定義域為連續(xù)時間的可靠性參數(shù)相對應(yīng)，將僅在離散時間上有定義的可靠性參數(shù)將歸類為“離散型可靠性參數(shù)”。連續(xù)型可靠性參數(shù)與離散型可靠參數(shù)可以相關(guān)轉(zhuǎn)換。例如：產(chǎn)品失效率為10-4/h，產(chǎn)品每次工作的時間為2 h，則產(chǎn)品以工作次數(shù)為計時單位的失效率為2×10-4/次(10-4/h×2 h/次)，產(chǎn)品的平均失效前工作時間為10 000 h，產(chǎn)品的平均失效前工作次數(shù)為5 000次。目前可靠性參數(shù)的研究大多是基于連續(xù)型時間變量，C.I.Ossai[8]研究了經(jīng)受多次維護的可修復(fù)多狀態(tài)零件的剩余使用時間；莊震宇等[9]編制了基于MATLAB 的威布爾分布參數(shù)估計程序，得到該發(fā)動機的平均故障間隔時間點估計值和置信區(qū)間；王大偉等[10]采用Bayes數(shù)據(jù)融合方法建立平均故障間隔時間評定模型，而基于離散型時間變量的可靠性研究并不多；謝里陽等[11]研究了基于載荷—強度關(guān)系的失效率離散建模方法及模型，未對離散型可靠性參數(shù)間的關(guān)系展開深入研究。

本文針對離散失效概率與離散失效率、平均失效前工作次數(shù)與離散失效概率的數(shù)學(xué)關(guān)系進行研究，通過公式推導(dǎo)3個離散型可靠性參數(shù)的轉(zhuǎn)換公式，以期為航空航天領(lǐng)域的可靠性建模提供更加完善的理論依據(jù)和數(shù)據(jù)支持。

1 離散失效率

1.1 離散失效率的定義

在可靠性理論和可靠性工程中，失效率都是一個極其重要的概念，是描述產(chǎn)品可靠性規(guī)律的最主要數(shù)量指標之一[12-15]。失效率表示工作到時間t尚未失效的產(chǎn)品在t時刻以后的單位時間內(nèi)發(fā)生失效的可能性。失效率λ是時間t的函數(shù)，記為λ(t)，稱為失效率函數(shù)，也稱為故障率函數(shù)或風險函數(shù)。根據(jù)失效率的含義，可以定義在第i次工作后的失效率，即在前i次工作中沒有失效的產(chǎn)品，在第i+1次工作時發(fā)生失效的可能性。當以離散的工作次數(shù)i表示廣義的時間量時，失效率只在離散“時間”點上有定義，可稱之為離散失效率。對于離散的時間變量，例如工作次數(shù)或循環(huán)次數(shù)，失效率定義中的“單位時間”是明確的，即工作(或循環(huán))一次，即“單位時間”內(nèi)發(fā)生失效的概率就是工作(或循環(huán))一次引起失效的概率。

1.2 離散失效率的計算公式推導(dǎo)

失效率的觀測值為：在時刻t以后的單位時間內(nèi)發(fā)生失效的產(chǎn)品數(shù)與工作到t時刻尚未失效的產(chǎn)品數(shù)之比[16-17]。

(1)

式中:N為產(chǎn)品數(shù)量；n(t+Δt)為時刻t+Δt的產(chǎn)品失效數(shù)；n(t)為時刻t的產(chǎn)品失效數(shù)。

假設(shè)：某產(chǎn)品的可靠度為常數(shù)R，失效概率為F=1-R。有N個產(chǎn)品進行工作或試驗，產(chǎn)品之間相互獨立，則第1次、第2次、第3次工作或試驗后，失效產(chǎn)品數(shù)n(1)、n(2)、n(3)的均值分別為

(2)

(3)

F-(N-N·F)·F]·F

(4)

后續(xù)產(chǎn)品失效數(shù)的均值以此類推。

對于離散時間變量i的情況，其時間的最小變化量是Δt=Δi=1，該產(chǎn)品的失效率λ(i)(i=1,2,3,…)的推導(dǎo)為

(5)

{N·F+(N-N·F)·F+[N-N·F-(N-N·F)·F]·F-N·F-(N-N·F)·F}/[N-N·F-(N-N·F)·F]×1=F

(6)

假設(shè)：n(i)=m,(m≤N)，可以得到：

n(i+1)=m+[N-n(i)]·F=

m+(N-m)·F

(7)

則：

(8)

根據(jù)定義，失效率的極限表達式為

(9)

對于離散時間變量i，其時間的最小變化量是Δi=1，得到λ(i)[18-20]為

λ(i)=P(ii)=

(10)

對于按照次數(shù)或循環(huán)次數(shù)工作產(chǎn)品，其在第i(i=1,2,3,…)次工作時間Δti內(nèi)的可靠度為R(i)(即：失效概率F(i)=1-R(i))，產(chǎn)品在第i+1次工作時間Δti+1內(nèi)的可靠度為R(i+1)。對于以時間作為壽命的產(chǎn)品，其可靠度曲線的一般變化趨勢如圖1所示。利用公式(10)可以得到：

1-R(i+1)=F(i+1)

(11)

推導(dǎo)出

λ(i)=F(i+1) (i=1,2,3,…)

(12)

式中：R(0～i)為產(chǎn)品累計工作至第i次的可靠度；R(i)為產(chǎn)品第i次工作的可靠度；λ(i)為產(chǎn)品第i次可靠工作后，第i+1次工作的失效率；F(i+1)為產(chǎn)品第i+1次工作的失效概率。

圖1 可靠度曲線一般趨勢

1.3 離散失效率計算公式驗證

有N個產(chǎn)品，產(chǎn)品之間相互獨立，從t=0開始工作，到時刻t時產(chǎn)品的失效數(shù)為n(t)，而到時刻t+Δt產(chǎn)品的失效數(shù)為n(t+Δt)，即在區(qū)間[t,t+Δt]內(nèi)有Δn(t)=n(t+Δt)-n(t)個產(chǎn)品失效，則該產(chǎn)品在區(qū)間[t,t+Δt]內(nèi)的平均失效率定義為

(13)

當Δt→0時，相應(yīng)的平均失效率變成瞬時失效率，其表達式為

(14)

(15)

式(15)中：

(16)

將式(16)代入式(15)：

(17)

在產(chǎn)品第i+1次工作的時間Δti+1=ti+1-ti內(nèi)，有：

(18)

式中：Δti+1=ti+1-ti；R(ti)為產(chǎn)品工作到時間ti的可靠度；R(i+1)為產(chǎn)品第i+1次工作的可靠度；F(i+1)為產(chǎn)品第i+1次工作的失效概率。

利用函數(shù)冪級數(shù)展開式[21]得到：

(19)

ln(1-x)=-x+o(x)≈-x(-1≤x<1)

(20)

式中：當x→0時，o(x)為x的高階無窮小量。

(21)

由推導(dǎo)和證明過程可知：產(chǎn)品第i+1次工作時的失效概率為F(i+1)時，其離散失效率λ(i)的數(shù)值等于F(i+1)，λ(i)的單位為“每次”。對照失效率的定義，將“每次”作為離散時間單位來理解，該結(jié)論符合失效率定義表述的內(nèi)容。

2 離散可靠度

可靠度指產(chǎn)品在規(guī)定的時間內(nèi)和條件下，完成規(guī)定功能的概率，通常記為R(t)。按照離散時間量“次數(shù)”工作的產(chǎn)品，其可靠度只在離散“時間”點i=1,2,3,…上有定義，其可靠度可記為R(i)。

對于離散可靠度R(0～i)，i=0,1,2,3,…，由式(10)得到：

R[0～(i+1)]=R(0～i)[1-λ(i)]
R[0～(i+1)]=R[0～(i-1)][1-λ(i-1)]
……
R(0～2)=R(0～1)[1-λ(1)]
R(0～1)=R(0～0)[1-λ(0)]

產(chǎn)品在i=0時的可靠度為R(0～0)，失效概率為F(0)，有N件產(chǎn)品投入工作或試驗，產(chǎn)品之間相互獨立，關(guān)于λ(0)的推導(dǎo)為

F(1)=1-R(0～1)

(22)

因此有：

R(0～1)=1-λ(0)

(23)

依次遞推可以得到離散可靠度R(i)計算公式為

(24)

對于以次數(shù)作為壽命的產(chǎn)品，其可靠度離散值的一般變化趨勢如圖2所示。

圖2 可靠度離散值一般趨勢

3 平均失效前工作次數(shù)

平均失效前時間(Mean Time to Failures,簡稱MTTF)是不可修復(fù)產(chǎn)品的一種基本可靠性參數(shù)。其度量方法為：在規(guī)定的條件下和時間內(nèi)，產(chǎn)品壽命單位總數(shù)與失效產(chǎn)品總數(shù)之比[22]。“工作次數(shù)”也是時間單位，對于按照“次數(shù)”工作的產(chǎn)品，平均失效前工作次數(shù)也可以作為一種基本可靠性參數(shù)。知道產(chǎn)品每次工作的平均時間，可以將平均失效前工作次數(shù)折算為平均失效前時間。

3.1 平均失效前工作次數(shù)計算公式的推導(dǎo)

按次數(shù)工作的某產(chǎn)品，在第i次工作(或第i次循環(huán))時間Δti內(nèi)的可靠度為R(i)，i=1,2,3,…，且每次工作之間相互獨立，即產(chǎn)品在第i次工作時間Δti內(nèi)失效概率為F(i)=1-R(i)。該產(chǎn)品進行i次工作或試驗，產(chǎn)品在第k次工作發(fā)生失效的概率pk如表1所示，其中k≤i。

表1 產(chǎn)品第k次數(shù)發(fā)生失效的概率

若ξ為離散型隨機變量，其可能取值為xk，k=1,2,3,…，P(ξ=xk)=pk，則(當級數(shù)絕對收斂時)ξ的數(shù)學(xué)期望(均值)為

(25)

利用離散型隨機變量均值的公式和表1的信息，得到對于按次數(shù)或循環(huán)次數(shù)工作的產(chǎn)品，其平均失效前工作次數(shù)TTF的計算公式為

(26)

當按次數(shù)或循環(huán)數(shù)工作的某產(chǎn)品單次可靠度R(i)為常數(shù)R，失效概率F=1-R。產(chǎn)品進行n次工作或試驗，產(chǎn)品在第k次發(fā)生失效的概率pk如表2所示。

表2 第k次數(shù)發(fā)生失效的概率

對照常用的離散型分布函數(shù)形式，可知表2的分布是幾何分布G(p)，幾何分布及其定義域、參數(shù)條件為

(27)

式中：PG(ξ=x)為一直工作，直到第x次發(fā)生失效的概率；p為某次工作中失效的概率；q為某次工作中成功的概率；ξ為出現(xiàn)首次失效時的試驗次數(shù)。

利用表2求解產(chǎn)品失效發(fā)生次數(shù)的均值，即平均失效前工作次數(shù)TTF。

1+2R+3R2+4R3+…+(i-1)Ri-2+iRi-1-R-2R2-3R3-…-(i-1)Ri-1-iRi=

1+R+R2+R3+…+Ri-1-iRi

(28)

利用通項公式an=a1qn-1等比數(shù)列的前n項求和公式：

(29)

得到：

(30)

(31)

式(31)與幾何分布均值計算公式的結(jié)論一致。

對于二項分布B(i,p)，其概率分布及其定義域、參數(shù)條件為

(32)

某產(chǎn)品按次數(shù)或循環(huán)數(shù)工作的可靠度為R,失效概率F=1-R，每次工作之間相互獨立，失效發(fā)生次數(shù)服從二項分布B(i,p)，即：p=F=1-R，q=R。該產(chǎn)品工作或試驗i次，按照數(shù)學(xué)期望的公式，在這i次工作或試驗中，產(chǎn)品發(fā)生失效次數(shù)的數(shù)學(xué)期望(均值)為iq，可得產(chǎn)品的平均失效前工作次數(shù)TTF為

(33)

得到與式(31)相同的平均失效前工作次數(shù)TTF的計算結(jié)果。

當產(chǎn)品可靠度為常數(shù)R(失效概率F=1-R)時,對照式(11)的結(jié)論，可知：對于按照工作次數(shù)工作的產(chǎn)品，其平均失效前工作次數(shù)TTF與失效率λ(i)(單位：每次)互為倒數(shù)關(guān)系。得到了與當產(chǎn)品失效時間t服從指數(shù)分布時，產(chǎn)品的平均失效前工作時間TMTTF與失效率λ互為倒數(shù)的相似關(guān)系。

3.2 平均失效前工作次數(shù)公式的驗證

當產(chǎn)品的失效前時間T服從指數(shù)分布時

P(T=t)=1-e-λt(t≥0)

(34)

式中：P(T=t)為在產(chǎn)品一直工作到t時刻失效的概率；λ(t)為常數(shù)λ，且每次工作之間相互獨立。

產(chǎn)品可靠度為

R(t)=e-λt

(35)

將工作時間離散化為Δt1,Δt2,…,Δtn，取Δt=Δt1,i=1,2,3,…，則產(chǎn)品在時間Δt(每1次的時間)內(nèi)的可靠度為

R=R(i)=e-λ·Δt(i=1,2,3,…,n)

(36)

將式(36)代入式(33),得到：

(37)

式中：TTF為平均失效前工作次數(shù)。

利用冪級數(shù)展開式[6]：

(38)

ex=1+x+o(x)≈1+x(x→0)

(39)

將式(39)代入式(38)得到：

(40)

將式(40)中TTF的單位“每次”轉(zhuǎn)換成連續(xù)的時間單位，離散單位時間 “每1次”所對應(yīng)的連續(xù)時間為Δt，TTF→TMTTF轉(zhuǎn)換過程為

(41)

以上推導(dǎo)的結(jié)果與指數(shù)分布的結(jié)果一致，證明公式(31)是正確的。

以概率論中“拋硬幣”試驗為例，拋硬幣一次后，事件“硬幣正面在上”的概率是0.5，進行n次 “拋硬幣”試驗，根據(jù)統(tǒng)計經(jīng)驗可知 “硬幣正面在上” 事件出現(xiàn)的平均間隔次數(shù)是兩次。利用公式(31)計算“硬幣正面在上” 事件出現(xiàn)的平均間隔次數(shù)，將“硬幣正面在上”的概率值0.5代入式(31)，1/(1-0.5)=2，計算值與統(tǒng)計結(jié)果值一致，也證明公式(31)是正確的。

若將拋硬幣試驗中的事件“硬幣正面在上”替換為事件“產(chǎn)品工作可靠”，產(chǎn)品按照每次工作的可靠度R=0.5，則該產(chǎn)品的平均失效前工作次數(shù)為2。

4 結(jié) 論

(1) 本文對平均失效前時間、可靠度、失效率這三個連續(xù)型可靠性參數(shù)進行了離散化，推導(dǎo)出平均失效前工作次數(shù)、離散可靠度、離散失效率的計算公式。

(2) 構(gòu)建三個離散型可靠性參數(shù)間的相互關(guān)系，可以為航空航天系統(tǒng)中產(chǎn)品的可靠性評估提供更可靠的依據(jù)。但文中并未考慮與可修產(chǎn)品有關(guān)的參數(shù)，如平均故障間隔次數(shù)等，這些參數(shù)將作為下一步的考慮重點。