基于分解協調移動極值響應面法的多構件結構動態可靠性分析

馬楠，路成

(1.中國商飛上海飛機設計研究院 需求工程與型號發展部， 上海 201210)(2.西北工業大學 航空學院， 西安 710072)

0 引 言

復雜結構通常由多個構件按照一定的規則裝配而成，例如航空發動機高壓渦輪葉盤是由多個葉片和輪盤組裝形成。復雜結構工作過程中，一旦某一構件發生故障，將導致整個結構系統功能失常，甚至造成災難性后果。因此，有必要開展考慮動態載荷影響下的多構件結構可靠性分析。

關于結構可靠性分析方面，國內外展開了大量研究，大體上可分為直接方法和間接方法兩類，其中直接方法包括直接模擬法和近似模擬法，而間接方法主要以代理模型為主。對于結構可靠性分析，直接模擬法中最具有代表性的方法之一為蒙特卡羅(Monte Carlo，簡稱MC)模擬[1]，近似模擬法主要有一次二階矩法[2]、改進一次二階矩法[3]、二次二階矩法[4]、二次四階法[5]等。然而，MC模擬在進行結構可靠性分析過程中需要大量的仿真模擬，雖然分析結果具有較高的精度，但是計算負擔比較繁重，甚至很難處理具有動態特性的復雜結構可靠性分析問題；近似模擬法是在結構功能函數已知的前提下通過多次多階求導進行可靠性分析，其計算流程比較繁瑣并且分析精度相對較低，對于復雜結構功能函數未知的情況，這類方法并不適用。間接方法即代理模型的出現，例如響應面法[6]、Kriging模型[7]、人工神經網絡模型[8]、支持向量機模型[9]等，為處理結構概率分析問題提供了可行的思路。此外，Hong S等[10-13]利用不同的方法對軸承的退化性能、性能監測和剩余壽命進行了分析，并驗證了方法的有效性。對于涉及動態特性的復雜結構可靠性分析，代理模型需要建立大量的數學模型，其計算流程相對繁瑣，導致其效率不能滿足工程需求。

為了克服代理模型在復雜結構動態可靠性計算效率的問題，Zhang C Y等[14]將傳統響應面法與極值策略相結合，提出了極值響應面法，實現機械柔性臂的動態可靠性分析；路成[15]將極值響應面法用于實現航空發動機轉子結構的動態可靠性分析及靈敏度分析；Fei C W等[16]將極值響應面法與支持向量機模型用于復雜結構動態可靠性分析，通過案例驗證了所研究方法的有效性；Lu C等[17]基于Kriging模型和極值策略探究提出了極值Kriging模型，用來處理航空發動機低壓壓氣機葉盤徑向變形動態概率分析；Song L K等[18]研究提出了改進神經網絡模型用于實現柔性機械的動態可靠性靈敏度評估。上述方法雖然能夠有效提高結構動態可靠性分析效率，但是仍然存在以下不足之處：復雜結構動態可靠性分析的精度不能滿足工程需求，原因在于最小二乘法本身的限制，導致所建立的模型精度不高；對于涉及多個構件的復雜結構動態可靠性分析，需要針對每個構件建立輸出響應與輸入變量之間的關系，其分析流程過于復雜。

針對上述研究存在的問題，本文將極值響應面法、移動最小二乘法和分解協調策略有效融合，提出便于處理多構件結構動態可靠性分析的分解協調移動極值響應面法，通過航空發動機高壓渦輪葉盤(由葉片和輪盤組成)徑向變形動態可靠性分析驗證該方法的有效性，通過方法對比，從建模特性和仿真性能兩個方面對DCMERSM的適用性進行驗證。

1 DCMERSM原理

1.1 基于DCMERSM的多構件結構可靠性分析流程

DCMERSM是基于極值響應面法、移動最小二乘法和分解協調策略發展而來，其中：極值響應面法用來處理多構件結構分析時域變量的動態特性，結合極值選取策略及聯動抽樣策略獲取動態分析時域內的輸入樣本及輸出響應；分解協調策略是將多構件結構分解為單一構件結構，進而將各構件輸出響應協調成多構件結構總的輸出響應，用以協調多構件結構輸出響應之間的關系；移動最小二乘法依據緊支撐域獲取有效樣本，并結合獲取的樣本建立多構件結構輸出響應與輸入變量的關系模型。基于DCMERSM的多構件結構動態可靠性分析流程如圖1所示。

圖1 基于DCMERSM的多構件結構動態可靠性分析流程

從圖1可以看出：基于DCMERSM的多構件結構動態可靠性分析主要包括動態確定性分析、樣本獲取、DCMERSM模型構建和動態可靠性分析4個步驟。具體描述為：

(1) 動態確定性分析。針對多構件結構研究對象，建立有限元分析模型，在分析時域[0,T]內設置相關的動態載荷、邊界條件及材料參數，執行動態確定性分析，獲取各構件輸出響應的極值。

(2) 樣本獲取。依據所確定的輸出響應極值，確定研究時刻t(t∈[0,T])，定義隨機輸入變量及數值分布特征，結合聯動抽樣獲取輸出響應及輸入變量的樣本，進而引入緊支撐域獲取有效建模樣本。其中，聯動抽樣由拉丁超立方抽樣演化而來，其基本原理是針對每組隨機輸入變量樣本，可以同時獲取各構件相應的輸出響應[19]，結合二維空間說明緊支撐域獲取有效樣本的原理[20]，具體如圖2所示，其中：h11為計算點與第一象限樣本點最近距離；h12為計算點與第二象限樣本點最近距離；h13為計算點與第三象限樣本點最近距離；h14為計算點與第四象限樣本點最近距離；hp為計算點與各象限樣本點最近距離的最大值；β為影響系數，用于確保有效樣本點數量能夠滿足建模需求，通常為[1.2,2.5]。

圖2 基于緊支撐域獲取有效樣本原理圖

(3) DCMERSM模型構建。結合選取的有效樣本，采用移動最小二乘法建立各構件輸出響應與輸入變量之間的關系模型，即分解模型；依據各構件輸出響應之間的關系，建立多構件結構總的輸出響應與輸入變量關系模型，即協調模型；驗證所建立的模型是否滿足精度要求，如果不滿足需要重新抽取樣本，執行后續流程，如果滿足則確定所建立的DCMERSM模型。

(4) 動態可靠性分析。基于所建立的DCMERSM模型，構建多構件結構極限狀態函數，運用MC抽樣實現動態可靠性分析，輸出多構件結構可靠性分析結果。

1.2 DCMERSM數學模型

通過多構件結構層、子結構層、單一構件層和變量層的復雜結構說明DCMERSM數學模型，結合分解協調策略將多構件結構依次分解至變量層，其原理如圖3所示，其中，f(·)為多構件結構層總的輸出響應與子構件層輸出響應之間的關系，f(z1)(·)為第z1個子構件輸出響應與對應單一構件層輸出響應之間的關系，f(z1z2)(·)為第z2個單一構件輸出響應與對應變量層之間的關系。

圖3 分解協調策略原理圖

四層多構件結構包含z1(z1∈Z)個子構件層，且各子構件層有z2(z2∈Z)個單一構件層，則多構件結構總輸出響應為

yDCMERSM=f(x)=f[f(1)(x),f(2)(x),…,f(z1)(x)]

(1)

式(1)可寫為

yDCMERSM=

(2)

(3)

(4)

式中：x(jk)為第j個構件所包含的第k個單一構件相關的變量，而x為x(jk)按照一定順序的組合。

結合極值響應面法數學模型的形式，構建多構件結構第j個子構件層的第k個單一構件的2nd分解模型，其形式可表達為

(5)

同理，多構件結構第j個子構件的1st分解模型和多構件結構層協調模型可表達為

(6)

(7)

為了構建DCMERSM模型，本文結合移動最小二乘法求解式(5)～式(7)相關待定系數，即先運用聯動抽樣策略獲取足夠的樣本，再采用緊支撐域選擇m(m≥2n+1)個有效建模樣本，最后通過式(8)計算相關待定系數。其中，式(8)僅以求解式(7)中的待定系數為例，說明分析原理。

(8)

d=[ab1b2…bnc1c2…cn]

(9)

(10)

式中：w(·)為計算點與樣本點之間的加權系數，通常選取三次樣條函數作為加權函數的形式(如式(11)所示)，原因在于其擬合特性具有一定的優勢。

(11)

基于上述關系，可以構件多構件結構分解模型和協調模型，即多構件結構功能函數(DCMERSM模型)。

1.3 基于DCMERSM的動態可靠性分析原理

結合DCMERSM數學模型，構建的多構件結構極限狀態函數為

gDCMERSM(x)=yallow-yDCMERSM(x)

(12)

式中：yallow為多構件結構輸出響應的許用值。

當gDCMERSM(x)≥0時，多構件結構是可靠的；反之則失效。

通過對式(12)進行大量數值模擬，多構件結構失效概率和可靠性概率可以表述為

(13)

(14)

式中：IF(x)為示性函數；N為樣本數量；Nf為失效樣本數量；Nr為可靠樣本數量。

2 基于DCMERSM的渦輪葉盤徑向變形分析

高壓渦輪葉盤(由葉片和輪盤組成)作為航空發動機重要組件之一，其可靠性直接影響整個系統運行的安全性。高壓渦輪葉盤在航空發動機運行過程中，往往受到復雜物理載荷的作用，例如流體載荷、熱載荷、結構載荷等，且該結構是典型的循環對稱結構。

2.1 渦輪葉盤徑向變形動態確定性分析

為了減輕計算負擔，選取1/48渦輪葉盤(包含1個葉片和1/48輪盤)作為分析對象，建立其有限元模型以及流場有限元模型，如圖4所示，可以看出：高壓渦輪葉盤有限元模型和流場有限元模型由四面體單元組成，其中，葉片有限元模型包括75 097節點和48 551單元，輪盤有限元模型包括57 213節點和33 885單元，流場有限元模型包括472 930節點和338 917單元。

(a) 葉片 (b) 輪盤

(c) 流場

基于建立的有限元模型，考慮流-熱-固耦合的影響，在分析時域[0 s,215 s]設置相關的載荷及材料參數，即選取GH4133作為高壓渦輪葉盤材料，進口壓力為2×106Pa，出口壓力為5.88×105Pa。此外，高壓渦輪葉盤進口流速、燃氣溫度和轉速隨時間變化曲線如圖5所示。

圖5 進口流速、燃氣溫度和轉速隨時間變化曲線

運用緊密耦合方法實現高壓渦輪葉盤徑向變形動態確定性分析，得到葉片和輪盤徑向變形隨時間變化曲線如圖6所示，可以看出：高壓渦輪葉盤徑向變形最大值出現在爬升階段，即[165 s,200 s]。

圖6 渦輪葉片和輪盤徑向變形隨時間變化曲線

選取某一時刻t(t∈[165 s,200 s])作為研究時刻，此時渦輪葉片和輪盤徑向變形分布云圖如圖7所示。

(a) 葉片

(b) 輪盤

從圖7可以看出：徑向變形最大值出現在輪盤頂端和葉尖部位。

2.2 渦輪葉盤徑向變形DCMERSM模型分析

考慮高壓渦輪葉盤在運行過程中材料參數和載荷條件具有隨機性，選取進口流速v、出口壓力pout、燃氣溫度tgas、轉速w和密度ρ作為隨機輸入變量，假設相關變量服從正態分布且相互獨立，其數值特征如表1所示。

表1 隨機輸入變量數值特征

基于隨機輸入變量的數值特征，獲取100組輸入樣本，結合動態確定性分析計算高壓渦輪葉片和輪盤的徑向變形，構成100組樣本數據。其中，80組樣本作為訓練樣本，結合緊支撐域獲取40組有效建模樣本，剩余20組數據作為訓練樣本用以驗證所構建模型的精度。

由于高壓渦輪葉片和輪盤徑向變形呈現加和關系，因此高壓渦輪葉盤徑向變形的協調模型如式(17)所示。

9.925 6×10-6w-5.039 9×10-7ρ+7.157 1×10-8v2+

3.902 0×10-10ρ2

(15)

8.373 9×10-6w-4.030 6×10-6ρ+4.859 7×10-8v2+

1.772 5×10-9ρ2

(16)

(17)

2.3 渦輪葉盤徑向變形動態可靠性分析

基于高壓渦輪葉盤徑向變形協調模型，構建其極限狀態函數，如式(12)所示，結合MC抽樣對極限狀態函數進行10 000次抽樣模擬，渦輪葉盤徑向變形抽樣歷史和分布直方圖如圖8所示。

(a) 抽樣歷史

(b) 分布直方圖

從圖8可以看出：高壓渦輪葉盤徑向變形服從均值為2.244×10-3m，標準差為1.267×10-4m的正態分布。因此，當高壓渦輪葉盤徑向變形許用值為2.624×10-3m時，其可靠度為0.997 7，滿足工程需求。

3 DCMERSM驗證

3.1 建模特性

為了驗證DCMERSM在建模特性方面的優勢，結合訓練樣本，分別運用分解協調極值響應面法(Extremum Response Surface Method-based Decomposed Coordinative Strategy,簡稱DCERSM)和DCMERSM建立高壓渦輪葉盤徑向變形功能函數，其建模時間和預測精度如表2所示。

表2 基于DCERSM和DCMERSM的建模時間和預測精度

從表2可以看出：相比于DCERSM，提出的DCMERSM具有較高的建模效率，原因在于DCMERSM的建模時間少于DCERSM的建模時間，DCMERSM的平均絕對誤差小于DCERSM的平均絕對誤差值，其預測精度相對于DCERSM提高了44.04%。

基于測試樣本，通過絕對誤差Eab和平均絕對誤差Eav對其預測精度進行研究，其分析結果圖9所示。

圖9 基于DCERSM和DCMERSM的絕對誤差

從圖9可以看出：DCMERSM具有較好的魯棒性，主要是因為DCMERSM的絕對誤差曲線相較于DCERSM波動范圍小。

綜合建模效率和魯棒性，本文所提出的DCMERSM在建模特性方面具有一定的優勢。

3.2 仿真性能

為了進一步驗證DCMERSM的有效性，通過三種方法(直接模擬、DCERSM和DCMERSM)進行對比，結合不同次數(102、103和104)MC模擬實現高壓渦輪葉盤徑向變形動態可靠性分析，從仿真效率和分析精度兩個方面進行說明。其中，以直接模擬分析結果作為仿真性能分析評估參考，且所有分析是在相同計算環境下進行的。 基于直接模擬、DCERSM和DCMERSM的仿真性能分析結果如表3～表4 所示。

表3 基于直接模擬、DCERSM和DCMERSM的仿真效率

從表3可以看出：基于代理模型策略(DCERSM和DCMERSM)的動態可靠性分析效率遠高于直接模擬方法，且隨著模擬次數增加，其優勢越為明顯；此外，DCERSM和DCMERSM的仿真時間相同，是因為本文所采用的建模形式相同，即采用完全二次多項式建立高壓渦輪葉盤徑向變形的分解和協調模型。

表4 基于直接模擬、DCERSM和DCMERSM的分析精度

從表4可以看出：DCMERSM的可靠度與直接模擬分析所獲取的基本相近，而DCMERSM的分析精度優于DCERSM的分析精度。因此，DCMERSM對于多構件結構動態可靠性分析的仿真性能同樣具有一定的優勢。

4 結 論

(1) 與DCERSM相比，本文提出的DCMERSM建模效率提升了62.04%，預測精度提升了44.04%；仿真性能方面，DCMERSM的仿真時間遠遠小于直接模擬，且DCMERSM的仿真精度相比DCERSM提高了1.11%。

(2) 本文得到的可靠性指標可用于實現多構件結構靈敏度分析，即研究輸入變量對于輸出響應的影響，進而進一步指導其優化設計及運行控制；此外，所提出的DCMERSM可應用于航空發動機高壓渦輪葉盤徑向變形動態可靠性分析，同時也可適用于復雜裝備機械多構件結構可靠性分析以及多失效模式的動態概率設計。