數字濾波器級聯設計及仿真

崔永青 ，史琳蕓 ，陰超波

(1.寶雞職業(yè)技術學院 機電信息學院，陜西 寶雞 721013；2.西安理工大學 自動化與信息工程學院，陜西 西安 710048)

0 引言

在測振儀中，需要應用到數字加速度傳感器，它輸出的所有信號都屬于加速度數字信號。對于該信號而言，如果處于噪聲環(huán)境中，會大大降低加速度傳感器輸出信號的準確性。因此，需要通過數字濾波器對其進行處理。數字濾波器的工作原理是依據離散系統的特性對系統的輸入信號進行加工和變換，從而使它們的頻譜或者信號波形發(fā)生變化，保證被需要的頻率信號順利通過，并抑制無用的信號通過。對于數字濾波器而言，其不僅具有很高的濾波精度，而且它的靈活性也比較好。

本文以傳感器的輸出信號作為研究對象，分析其頻譜特性，針對其中的噪聲信號設計相應的數字濾波器。通過低通濾波器，能夠把高頻率的信號阻擋在外面，對于低頻信號，則盡量保持其信號的準確性。理想低通濾波器具有非常好的濾波效果，幾乎不存在失真現象，一般情況下，把通頻特性視為矩形，但在實際應用過程中，在所截止的頻率中存在一些過渡帶。通過陷波濾波器能夠把頻率范圍較小的信號篩選出來，陷波濾波器可以將某一特定信號頻率點的信號衰減為零，而對于其他的頻率信號保持不變。結合該加速度傳感器的使用環(huán)境和要求，將低通濾波器與陷波濾波器兩者進行級聯設計作用于傳感器輸出，從而得到準確有效的信號。

1 對加速度傳感器信號進行頻譜分析

采集加速度傳感器的輸出信號，并對其進行頻譜分析[1]，結果如圖1 所示。結合該傳感器的使用環(huán)境，認為該信號在50 Hz 附近存在較大噪聲。同時對于該加速度傳感器而言，其使用頻率范圍為300 Hz 以下的低頻段，因此 300 Hz 以上的信號可以不用考慮。

圖1 加速度傳感器原始信號頻譜分析

2 數字濾波器設計

通過上述分析可知加速度傳感器輸出信號存在50 Hz 單點噪聲，同時該傳感器使用頻率為300 Hz以下低頻段。因此設計 300 Hz 低通數字濾波器和50 Hz 陷波數字濾波器級聯完成對加速度傳感器信號的濾波處理，從而減少自身噪聲和環(huán)境噪聲對加速度傳感器輸出信號的干擾。

數字濾波器具有精度高、穩(wěn)定性強和靈活性好等優(yōu)點。根據離散系統的時域特性，數字濾波器劃分為以下兩種類型：無限沖激響應濾波器(IIR 濾波器)、有限沖激響應濾波器(FIR 濾波器)[2-3]。對于IIR數字濾波器，在獲得同樣的技術指標時，它的階數更少[4]。通過深入分析 IIR 數字濾波器的特性[5-12]，本文采用IIR 數字濾波器進行設計。

2.1 300 Hz 低通數字濾波器設計

IIR 低通數字濾波器設計步驟如下[13]：

(1)分析實際的工程需求，明確濾波器需要的性能指標。對于一般的性能指標而言，通常包含阻帶

(3)按照模擬低通濾波器的技術指標設計模擬低通濾波器。

(4)構建模擬濾波器 H(s)，并使其從 s 平面轉移到z 平面，從而得到數字低通濾波器的系統函數H(z)。

IIR 數字濾波器在MATLAB 中的實現方法如下：

首先，根據數字低通濾波器的性能要求設計模擬低通濾波器，然后通過脈沖響應不變法或雙線性變換法將其進行數字化，轉化為所需的數字低通濾波器。在MATLAB 中進行 IIR 濾波器設計的相關函數說明如下[14]：

(1)巴特沃茲濾波器設計函數：[B，A]=butter(N，W，options)

該函數得到一個用有理分式表示的低通數字濾波器系統函數，該系統函數的分子分母系數向量為 B 和 A。該函數的參數 N 為指定低通濾波器的階數，W 為截止頻率。

(2)巴特沃茲濾波器階次選擇函數：[N，W]=buttord(Wp，Ws，Rp，Rs，′s′)或[N，Wn]=buttord(Wp，Ws，Rp，Rs)

設計出符合巴特沃茲低通濾波器所需的最低階次 N 以及3 dB 截止頻率 Wn，其中 Wp代表通帶截止頻率，Ws代表阻帶截止頻率，Rp代表最大通帶衰減，Rs代表最小阻帶衰減，s 表示模擬濾波器。

(3)雙線性變 換 函數 ：[Bz，Az]=bilinear(Bs，As，Fs)

把模擬濾波器的[Bs，As]轉換成實際采樣頻率為 Fs的數字濾波器[Bz，Az]。其中 Bs為模 擬濾 波器傳遞函數的分子系數行向量，As為模擬濾波器傳遞函數的分母系數行向量。

(4)頻率特性響應函數：[H，w]=freqs(b，a，N)

函數可以得到數字濾波器的頻率響應H(z)。其中b 表示連續(xù)系統的系統函數分子多項式的系統截止頻率 ωs，阻帶衰減 αs，通帶截止頻率 ωp，通帶衰減 αp。

(2)在明確所需的技術指標以后，構建相應的數字濾波器模型。綜合分析數字低通濾波器的相關技術指標，并將其化轉為模擬低通濾波器所需的技術指標。在這一過程中，主要應用的是雙線性變換法，其中，邊界頻率存在以下轉換關系,見式(1)，其中 Ω表示模擬角頻率，w 表示數字頻率。向量，a 表示連續(xù)系統的系統函數分母多項式的系統向量，N 表示頻率等分點數，默認為 512。

2.2 50 Hz 陷波數字濾波器設計

當帶阻濾波器具有很窄的阻帶時，通常將其稱作是陷波濾波器。陷波濾波器的設計是以模擬濾波器為原型，通過一定變換轉換為數字濾波器[15]。在設計陷波濾波器時，常常應用以下兩種方法：(1)通過z 平面零極點法，設計 IIR 數字陷波濾波器；(2)通過MATLAB 的信號處理設備，設計數字濾波器。

(1)在設計 IIR 數字陷波濾波器時，一般采用的是 z 平面零極點法。由 IIR 濾波器的傳遞函數知道，它的分子、分母多項式作因式分解可得式(2)：

其中，A 代表的是系統的增益。如果把 z 當作極坐標，那么對于z=rejw，當 r=1 時，所進行的 z 變換稱作是傅里葉變換。所以，在上面的IIR 數字濾波器的傳遞函數中，對于復變量 z，如果利用 ejw進行取代，就能夠獲得 IIR 數字濾波器的頻率特性 H(ejw)。采用該方法設計一個IIR 陷波濾波器，如對w0點進行陷波，即當 w=w0時，|H(ejw)|≈1，則取極點 z=ae±jw0，從而得到IIR 陷波濾波器傳遞函數如式(3)所示：

(2)通過 MATLAB 的信號處理工具箱 Fdatool 對數字濾波器進行設計十分便捷，可大大減小工作量。在進行設計時，可以對比分析濾波器具有的不同特性，調整相關的參數，以獲得最佳的設計效果。

本文在設計50 Hz 陷波濾波器時，主要應用的是 MATLAB 信號處理工具箱 Fdatool。選擇 Design Filter，濾波器類型選擇單點陷波濾波器，設計方法為 IIR，采樣頻率為 1 000 Hz，陷波頻率為 50 Hz。在把陷波濾波器的所有系數都計算完成以后，再深入分析陷波濾波器的相關性能，進而驗證濾波器是否達到了設計要求。選擇 Fdatool 的菜單“Analysis”->“Magnitude Responae”，啟動幅頻響應分析，得陷波濾波器頻譜如圖2 所示，該圖表示該陷波濾波器對50 Hz 單點信號能夠進行有效衰減，滿足設計要求。

2.3 低通濾波器和陷波濾波器級聯設計

針對加速度傳感器信號的噪聲分別設計300 Hz低通濾波器和50 Hz 陷波濾波器之后，將兩個濾波器進行級聯設計以達到低通濾波和陷波濾波雙重目的。具體實現方法即先將原始信號經低通濾波處理，之后再經過陷波濾波處理，這樣即可達到兩個濾波器級聯的效果。級聯設計如圖3 所示。

圖3 濾波器級聯設計

3 對濾波處理后的信號進行頻譜分析

3.1 低通數字濾波器

通過上述巴特沃茲濾波器設計出了300 Hz 低通數字濾波器，在對原始信號實施低通濾波以后，再進行頻譜分析，最終分析結果如圖4 所示。對比原始數據頻譜，表明300 Hz 以上信號基本被濾除，300 Hz 以下信號不受影響，從而可知該濾波器有效地實現了低通濾波功能。

圖2 采用Fdatool 設計陷波濾波器

圖4 經300 Hz 低通濾波器處理后信號頻譜分析

3.2 陷波數字濾波器

對該陷波濾波器作用于原始信號后的數據進行頻譜分析，結果如圖5 所示。對比原始數據頻譜，表明50 Hz 單點噪聲已被濾除，其他信號不受影響，從而可知該陷波濾波器有效實現了50 Hz 陷波濾波功能。

圖5 經50 Hz 陷波濾波器處理后信號頻譜分析

3.3 低通數字濾波器與陷波濾波器級聯

在分別驗證了低通濾波器和陷波濾波器的濾波作用之后，將兩個濾波器級聯作用于加速度傳感器信號，對經濾波后的數據進行頻譜分析，如圖6所示。數據頻譜表明 50 Hz 單點噪聲和 300 Hz 以上噪聲均被有效濾除，并且兩個濾波器級聯不影響各自單獨的作用，滿足了對該信號的濾波設計要求。

圖6 經低通濾波器和陷波濾波器級聯處理后信號頻譜分析

4 結束語

對于加速度傳感器信號而言，因為受到各種因素的影響，通常存在高頻或者低頻的干擾信號，從而導致信號失真現象，為了解決這一問題必須進行濾波處理。根據傳感器的使用環(huán)境要求、噪聲信號水平，本文設計了300 Hz 低通濾波器、50 Hz 陷波濾波器，把其中高于300 Hz 頻率的噪聲和 50 Hz 單點噪聲消除掉，最終得到所需的低頻信號。本文詳細闡述了IIR 低通數字濾波器的具體設計方法，并通過 MATLAB 工具箱Fdatool 設計陷波濾波器的具體過程。在分別驗證了單個濾波器的性能之后，將兩個濾波器級聯起到對傳感器信號進行雙重濾波的作用。對經濾波處理的輸出信號與原始信號進行對比分析，該級聯濾波器有效地起到了濾波作用，并且未對有用信號造成影響，有效提高了系統的抗干擾能力。同時本文所設計的數字濾波器操作過程簡便、易于實現。