基于參數驅動和自動剖分的體參數化模型構建鄺傳基

陳龍

摘 要：為實現計算機輔助設計（CAD）與計算機輔助分析（CAE）的一體化，構建適用于等幾何分析的模型，有關學者提出體參數化造型方法。針對體參數化模型構建過程中存在的操作煩瑣、耗時長等問題，文章提出一種參數驅動體參數化模型快速構建的方法。首先，從草圖中提取模型輪廓參數，利用提取到的參數構建模型的樣條曲線輪廓，其次結合剖分算法對曲多邊形進行剖分，最后將二維曲面映射到三維得到體參數化模型。實例表明該方法能夠通過較少的模型參數快速得到體參數化模型，無須進行節點矢量等數據的重復輸入。

關鍵詞：等幾何分析;體參數化;剖分;樣條

中圖分類號：TP391.4 文獻標志碼：A

0 引言（Introduction）

隨著智能制造的快速發展，對產品的設計與分析的要求也隨之提高，以縮短產品設計周期及降低成本為目的，計算機輔助設計（CAD）與計算機輔助工程（CAE）一體化已成大勢所趨。等幾何分析（IGA）融合了計算機輔助設計（CAD）和計算機輔助工程（CAE）兩個相關學科，近年來成為數值分析和幾何建模領域的一個熱點。

當代計算機輔助幾何設計（CAGD）系統生成的三維幾何對象幾乎完全利用邊界表示（B-rep）和構造表示（CSG）[1]，使用傳統有限元分析法對幾何模型進行分析優化時，需要進行劃分網格，而離散網格生成階段約占整個設計分析過程的80%，實際設計優化過程中模型可能要進行多次轉換，導致模型細節易丟失，時間成本也比較高，而基于樣條曲線表達體參數化模型以及等幾何分析有望實現CAD和CAE的無縫融合。以B樣條或非均勻有理B樣條作為映射函數的體參數化模型可避免B-Rep和CSG表達模型的缺陷，不需要進行格式轉換和劃分網格，就可直接進行分析和優化。但是，體參數化模型表達形式必須是零虧格的三變量張量體，導致其難以創建具有任意拓撲結構的三維模型，比如帶有空洞的模型。此外，在創建體參數化模型時，需要進行控制點、節點矢量、次數等參數的設置，這也使得時間成本升高。本文提出一種快速構建體參數化模型的方法，從草圖中提取模型輪廓參數，首先利用提取到的參數構建模型有理B樣條曲線輪廓，其次結合四邊剖分算法對曲多邊形進行剖分，最后將二維映射到三維得到體參數化模型。

1 相關工作（Related work）

由于非均勻有理B樣條（NURBS）在形狀定義方面的功能強大，可精確表示二次曲線和球面等曲面，通常用來構建復雜體參數化模型。目前，體參數化模型的構建主要分為創建式和重建式兩種方法。創建式方法通過構建截面和路徑，并結合拉伸、掃描和放樣等幾何操作，得到體參數化模型[2]。重建式方法通過提取現有的點云模型和標準格式模型等模型中的參數或特征構建體參數化模型[3-4]。創建式方法多采用不同樣條進行體參數化模型的構建，其中B樣條和NURBS的應用較為廣泛。王中等[5]提出一種基于特征驅動的T樣條船體曲面參數化設計方法。何坤金等[6]提出了層次參數化的自由曲面特征表示與實現方法。目前，重建式方法應用較為廣泛，但模型轉換存在誤差。ZUO等[7]將CSG模型重新分成若干實體，并用NURBS進行表示，將相鄰兩個實體進行裁剪并參數化，結合布爾運算得到整體模型。

在構建體參數化模型時，需要對存在虧格的模型進行剖分，使之轉化為零虧格模型。目前，針對模型剖分的算法已有大量相關研究，主要分為簡單多邊形凸分解和網格分解。（1）簡單多邊形凸分解，剖分結果多為三角形和四邊形集合，如梯形分割算法[8]。（2）網格分解，剖分得到有限元網格或曲四邊網格，三維網格是在二維網格的基礎上得到的，如Q-Morph（曲面四邊形生成）法。陳建軍等[9]提出一種基于前沿推進三角網格思想的鋪路法拓展至曲面四邊網格生成的方法。對于適用于等幾何分析的二維參數化曲面或三維體參數化模型，其形式為嚴格的雙變量張量曲面或三變量張量體，映射到物理域為二維四邊曲面或三維六面體，故剖分之后應為全四邊形或六面體，因此直接進行體分割較為困難，可在二維剖分的基礎上結合特征操作得到體參數化模型。

2 體參數化理論基礎（Theoretical basis ofvolume parameterization）

2.1B樣條基函數

采用de Boor-Cox遞推公式定義B樣條基函數，其表示形式如公式（1）：

3 體參數化模型構建（Volume parameterizedmodeling）

以NURBS為基礎，采用創建式方法直接進行體參數化構建，但是在模型構建過程中，需要手動給出曲線的控制點、節點矢量和次數，操作煩瑣，導致工作量較大、時間成本高。本文從草圖中提取模型的主要參數，根據參數設置對應控制點坐標，由點與點之間的拓撲關系，得到模型的內外輪廓，結合改進的剖分算法對多邊形進行剖分，結合拉伸等特征操作生成體參數化模型[10]。體參數化模型構建流程如圖1所示。

3.1 參數驅動NURBS曲線模型構建

模型構建過程中，最主要的是多邊形輪廓的生成，為提高模型輪廓構建效率，將常用輪廓線進行封裝，并存放到模型庫中。在構建多邊形輪廓時，通過直接調用模型庫中的基礎輪廓線，達到模型快速構建的目的。

直線是曲線中的一種，是多邊形輪廓中最常用的，所以將其封裝成模板，并存入模板庫中。設置直線的節點矢量U={0，0，0，1，1，1}，次數為2，通過給出起始點和終止點，構建目標直線，如圖2（a）所示，其端點權重默認為1。同樣，設置弧線段的初始節點矢量為U={0，0，0，1，1，1}，曲線次數為2，給出初始3個頂點，構建角度為90°的圓弧線，如圖2（b）所示，其頂點權重分別為1、cos（π/4）、1。

在多邊形輪廓構建過程中，時常會出現任意角度θ 的圓弧，如圖2（c）所示。這時，需要對中間頂點的權重進行計算。其權重計算公式如下：

3.2 參數驅動NURBS曲面模型構建

對于一些常用的二維平面模型，也可以將其存放到模型庫中，當要使用時，只需要輸入相應的參數即可。在構建二維平面模型輪廓的時候，可以使用模型庫中的基本曲線構建輪廓。

我們只需要設置基本的參數，由參數得到模型中的特征點坐標，進而生成多邊形的輪廓線。最常用的二維模型是圓形和正方形：通過輸入二維圓模型的半徑，得到圓的輪廓多邊形，然后使用Coons插值，得到二維曲面，如圖3（a）和圖3（b）所示。同樣，通過輸入正方形外輪廓邊長和內輪廓半徑最終得到二維曲面模型，如圖3（c）和圖3（d）所示。

3.3 參數驅動NURBS體模型構建

對于常用的三維模型，如圓柱體、正方體等，可以通過已有的二維常用曲面，結合拉伸、放樣和掃描等特征操作，得到三維體參數化模型。圖4是拉伸操作后得到的三維模型。

3.4 復雜模型構建

對于復雜模型，特別是存在虧格的機械零件模型，在進行體參數化模型創建時，首先需要將其轉換為零虧格的模型，其次進行全四邊剖分，最后構建體參數化模型。

存在虧格的幾何域，可通過改進連接線自動生成算法得到內外輪廓連接線，使其轉換為零虧格[10]。圖5為連接線生成過程。

圖5從左到右依次為模型輪廓、所有符合要求的連接線和最佳連接線。通過設置角度約束，從所有可行連接線中尋找最佳連接線，可提高后續剖分模型的質量。連接線的自動生成能夠減少人工干預，提高整個體參數化模型的構建效率。

改進文獻[11]中提出的剖分算法實現平面的全四邊剖分，經過Coons插值，得到NURBS曲面。對得到的剖分面進行拉伸、放樣等特征操作，可得到NURBS體參數化模型。圖6為模型生成過程，分別表示模型內外輪廓、連接線、NURBS曲面和NURBS體。

4 結論（Conclusion）

本文提出一種基于參數驅動和自動剖分的體參數化模型快速構建的方法。該方法通過對常用曲線、曲面、體模型等進行封裝，存入模型庫中，并結合改進的四邊剖分算法，快速得到全四邊形樣條曲面，再通過拉伸、放樣等特征操作得到體參數化模型。此方法能夠克服以往方法工作量大、時間成本高等缺點，快速構建體參數化模型，得到的模型可直接用于等幾何分析和優化。

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作者簡介：

鄺傳基（1998-），男，碩士生。研究領域：幾何圖形學。

陳 龍（1978-），男，博士，教授。研究領域：幾何圖形學。