柔性軸承設計參數對諧波減速器柔輪疲勞壽命的影響規律

楊宇通 曾星宇 石崟

摘要：柔輪和柔性軸承作為諧波減速器的關鍵部件，因承受交變載荷而易疲勞損壞。針對諧波減速器高承載、高剛度、高壽命的使用需求，使用響應面優化分析和中心復合設計（CCD）方法，通過有限元軟件ANSYS Workbench分析了溝曲率半徑對柔輪和柔性軸承應力及變形的影響，結果表明：內圈溝曲率半徑主要影響內圈和滾珠受力;較大的外圈溝曲率半徑可減小軸承外圈和柔輪的應力，獲得較小的變形量，提高柔輪使用壽命。

關鍵詞：諧波減速器;有限元仿真;響應面法;溝曲率半徑;柔輪壽命

0 引言

諧波減速器是依靠柔性零件產生彈性機械波來傳遞動力和運動的一種行星齒輪傳動設備，由于其具備高承載、大傳動比和結構緊湊等優點而被廣泛應用于機器人關節控制、航天航空領域的精密定位系統和其他精密機械中，是目前減速器的研究重點。

辛洪兵[1]提出了雙圓弧諧波齒輪傳動柔輪和剛輪基本齒廓設計方法，對于提高雙圓弧諧波齒輪傳動扭轉剛度和傳動精度有重要作用。張渝爽[2]等人對柔輪的結構做了改進，即在柔輪齒上倒角和光滑圓筒外表面切入一定圓弧深度，對比發現此結構可有效降低柔輪應力，減輕柔輪應力集中。張林川[3]等人對不同溝曲率半徑系數的柔性軸承進行了靜力學分析，得到了不同參數的柔性軸承內外圈的變形、應力規律。

本文從整體出發，基于ANSYS Workbench響應面優化的中心復合設計方法，研究柔性軸承溝曲率半徑對諧波減速器柔輪和柔性軸承的應力和變形影響，以提高諧波減速器的使用壽命和承載能力。

1 柔輪的強度分析與響應面法

1.1? ? 柔輪的基本結構

以某工業機器人關節的諧波減速器為例，其柔輪結構簡圖如圖1所示，相關幾何參數如表1所示。

1.2? ? 柔輪的強度分析

基于光滑圓柱殼體模型來分析柔輪受力：

沿母線方向的正應力：

式中，t為柔輪壁厚;rm為中線半徑;v、E為泊松比和彈性模量;w0為徑向變形量;KM為應力增長系數;Kd為動載系數;Cσ為正應力系數;Cτ為剪應力系數。

1.3? ? 響應面法

響應面法是對指定區域內的系列樣本點設計試驗，試驗結果擬合出一個響應面函數來近似代替真實響應面。響應面函數是把復雜的模型利用高階函數關系近似替代，從而快速精確地進行求解。式（2）表示響應結構Z1與變量q=[q1，q2，…，qr]的關系，首先采用抽樣方式獲得N個樣本，然后把相應的樣本值結合關系式進行處理，經過處理的結果可以用（z1，z2，…，zs）表示，最后擬合出響應函數[4]。

式中，a0為常數項;ai、aii、aij為各項系數;ε0為誤差項。

常用的響應面設計方法有CCD法（中心復合設計方法）和BBD法，CCD法擬合模型時相對BBD法來說能更好擬合響應曲面，故本文采用CCD法。

2 有限元分析

在ANSYS Workbench中建立三維裝配模型，柔輪用等效齒厚h=t，t為柔輪齒根圓到內壁的距離。為了劃分的網格均勻，柔輪沿長、短軸切開，運用Form new part組合成體。

柔輪采用30CrMnSiA材質，密度7 750 km/m3，彈性模量196 GPa，泊松比0.3;凸輪用45鋼，密度7 810 km/m3，彈性模量200.1 GPa，泊松比0.277;軸承用GCr15，密度7 850 km/m3，彈性模量217 GPa，泊松比0.29。采用面-面接觸，柔性軸承內圈與滾珠之間用綁定接觸（Bonded），多點約束（MPC）算法，其余采用摩擦接觸，摩擦系數0.1;增廣拉格朗日算法，法向接觸剛度系數0.1。利用掃略法得到較高質量的六面體網格。柔性軸承內、外圈的最大徑向變形量與其內、外圈厚度之比大于0.2，大變形問題需打開大變形設置;約束柔輪杯底全自由度，柔性軸承限制軸向自由度。

柔性軸承內圈、外圈、滾珠和柔輪的最大等效應力σi、σe、σb、σfg（MPa），齒端、齒根最大變形ξ0、ξ1（mm）為輸出，采用設計變量連續的中心復合設計方法。

國內軸承設計一般選取溝曲率半徑系數f=0.51～0.54[5]，本文取f=0.515～0.53，即溝曲率半徑4.90～5.05 mm作為輸入范圍，提交有限元分析，仿真結果如表2所示。

3 應力與變形分析

3.1? ? 柔性軸承內、外圈的應力分析

圖2為ri/re=4.9/5.05 mm柔性軸承內、外圈應力云圖。內圈的最大等效應力產生于凸輪長軸對應的內圈長軸位置，最小等效應力產生于45°處（以短軸為坐標0°參考）;外圈最大等效應力產生于凸輪長軸對應的外圈長軸位置（遠離齒端處），這是由于諧波減速器安裝過程中的喇叭形變形造成的，最小等效應力發生在凸輪短軸對應的外圈短軸附近。

柔性軸承受力如圖3所示，軸承外圈溝曲率半徑re一定時，內圈溝曲率半徑ri增大，外圈最大等效應力σe基本不變，而內圈最大等效應力σi近似呈線性增大，滾珠最大等效應力σb近似呈線性縮小;當內圈溝曲率半徑ri一定時，外圈溝曲率半徑re增大，內圈和滾珠最大等效應力σi、σb近似不變，外圈最大等效應力σe減小，且內、外圈最大等效應力的差值逐漸增大。外圈受力復雜，可以先選合理的內溝曲率半徑，然后選較大的外圈溝曲率半徑，使柔性軸承外圈受力較小，提高柔性軸承使用壽命。

3.2? ? 柔輪的應力與應變分析

3.2.1? ? 柔輪的應力分析

圖4為ri/re=4.9/5.05 mm柔輪的應力云圖。柔輪最大等效應力發生在齒圈齒根處，這是減速器存在喇叭形變形導致的。柔輪等效應力分析結果如圖5所示，可看到柔性軸承外圈溝曲率半徑re大小是影響柔輪應力的主要因素，外圈溝曲率半徑re增大，柔輪應力σfg大幅減小。可選擇較大的溝曲率半徑re使得柔輪應力減小，提高柔輪使用壽命。

3.2.2? ? 柔輪的應變分析

圖6為ri/re=4.9/5.05 mm柔輪應變云圖，最大應變在柔輪長軸的齒圈前端，這是柔輪產生喇叭形變形引起的。

齒圈形變分析結果如圖7所示，影響柔輪應變的主要因素是柔性軸承外圈的溝曲率半徑re，隨著外圈溝曲率半徑re的增大，柔輪的齒端形變ξ0和齒根處形變ξ1都減小，并且兩者的差值逐漸減小。改變外圈溝曲率半徑re可以影響柔輪的應變。根據內、外溝曲率半徑對柔輪變形量的影響，選擇較大的外圈溝曲率半徑可使柔輪變形量減小，齒圈在具有較大剛度的同時承受較小應力，提高了承載能力和使用壽命。

4 結論

（1）影響柔性軸承內圈和滾珠最大等效應力的是內圈溝曲率半徑，隨著其增大，柔性軸承內圈最大等效應力近似呈線性增大，滾珠最大等效應力近似呈線性減小。

（2）外圈溝曲率半徑是影響柔性軸承外圈最大等效應力的主要因素。選擇較大的外圈溝曲率半徑，可減小外圈受力，延長柔性軸承使用壽命。

（3）柔輪受力與變形和外圈溝曲率半徑相關，選擇合適的溝曲率半徑，柔輪可在擁有較大剛度的同時承受較小應力，提高諧波減速器的承載能力和使用壽命。

[參考文獻]

[1] 辛洪兵.雙圓弧諧波齒輪傳動基本齒廓設計[J].中國機械工程，2011，22（6）：656-662.

[2] 張渝爽，王家序，汪正煒，等.變結構雙圓弧柔輪的應力分析[J].機械傳動，2015（8）：156-158.

[3] 張林川，王家序，秦德成，等.溝曲率半徑系數對柔性軸承應力的影響[J].機械科學與技術，2013，32（5）：652-655.

[4] 張雷，張立華，王家序，等.基于響應面的柔輪應力和剛度分析[J].浙江大學學報（工學版），2019，53（4）：638-644.

[5] 徐衛軍，孫慧廣.關于深溝球軸承溝曲率半徑系數的選取[J].哈爾濱軸承，2011，32（2）：11-12.

收稿日期：2020-06-09

作者簡介：楊宇通（1995—），男，陜西咸陽人，在讀碩士，研究方向：諧波減速器結構與優化設計。