對接與生長:行程問題的拓展之旅

陳雪斌

摘要：行程問題是研究路程、速度和時間三者之間的關系。隨著運動物體的個數、時間、地點及運動方向、結果等因素的變化，行程問題變得變化多端且錯綜復雜。基于此，教師應針對行程問題編寫拓展性學材，立足課本內容，通過以“類”組題，把握問題的本質屬性，實現主動建構;以“序”呈題，揭示問題的發生發展過程，完善認知;以“一”拓題，在多種變換中反復運用，構建解題策略，積累解題經驗，促進知識的生長，實現師生共同成長。

關鍵詞：對接? ?生長? ?行程問題? ?拓展

行程問題是研究路程、速度和時間三者之間的關系，是物體勻速運動的物理模型。從橫向來看，它適用于總價、單價、數量，每份數、份數與總數這一類現實中的乘法問題，可以稱為乘法模型的代表;從縱向來看，隨著運動物體由一變多，運動方向、結果等諸多因素的變化，問題也變得錯綜復雜。再加上行程問題與分數、比例等知識綜合起來，呈現出綜合性強、類型多樣的特征，學生更加難以把握。究其原因，是因為行程問題的復雜性與課時緊迫性之間的矛盾，迫于課時限制，在平時數學教學中，教師只囿于課本，沒有從本質上揭示關鍵要素，學生沒有對行程問題形成系統性認知，沒有建立整體結構。

教師針對行程問題編寫拓展性學材時，應立足課本內容，對接學生的所知、所惑、所需，通過揭示多個物體運動的關鍵要素，引領學生分析問題;針對共性問題分類組題，實現學生主動建構;針對同類問題序列呈現，揭示問題的發生發展，完善學生認知;在多種變換中反復運用，內化形成心智技能，構建解題策略，積累解題經驗，促進學生知識和學力的生長。

一、低起點：以“點”引題，喚醒舊知

在編寫拓展性學材時，教師要源于課本，又高于《課程標準》。具體來說，源于課本是從基礎性來思考的，為例題的學習起到了解現實起點、喚醒舊知之效;高于《課程標準》是從生長性來考慮的，為例題學習確定了思維角度與發展方向。因此，在編寫拓展性學材時，教師應安排課本鏈接，呈現“低起點，高落點”的態勢。

例1.甲、乙兩人分別從相距180米的兩地同時出發相向而行，甲、乙的速度分別是40米/分與20米/分。兩人幾分鐘后相遇？

例2.甲、乙兩人分別從相距180米的兩地同時出發同向而行，甲、乙的速度分別是40米/分與20米/分。幾分鐘后甲追上乙？

上述兩個例子是五年級《代數》單元章節中的相遇問題與追及問題，有助于面向全體學生診斷學習起點、喚醒鋪墊。在教學中，教師的教學重點落后圍繞這兩題進行追問：“求時間的方法有什么不同？為什么？”師生進行比較、討論，引出分析兩個物體運動事件時要考慮“方向”與“結果”這兩個要素，通過想象，喚醒相向、相背、同向三種方向，直觀地理解了速度和（差）與各種方向的邏輯聯系。由此看來，從源頭上把握速度和、速度差的影響要素和產生原因，是分析多個運動物體數量關系的關鍵與本源。

二、強聯系：以“類”組題，主動建構

教師應從行程問題的題目類型、分析思路、發展變化等角度進行思考與分類，有代表性地描述與呈現整類題目，力圖體現精選題、拎結構、顯聯系，才能讓學生在題組中通過感知、理解、比較，全面把握，達到窺一斑見全身之效。

1.逆向而尋，編制可逆關系的“類”

逆向思維是一種從反面觀察事物，變換思考角度，由果索因的思維形式。它的創新在于從另一個方向來驗證結果，多了一種探求的樂趣，實現了正向和逆向的融會貫通，達到對數學知識的深度理解，提高了學生思維的靈活度。如針對例1中進行逆向思考，學生分別可以求出兩地路程、甲與乙的速度，形成一組可逆關系的四道題：

原題：求相遇時間180÷（40+20）=3（分鐘）

聯 1：求兩地路程 （40+20）×3=180（米）

聯 2：求甲的速度180÷3-20=40（米）

聯 3：求乙的速度180÷3-40=20（米）

原題：求追及時間80÷（40-20）=9（分鐘）

聯 1：求追及路程（40-20）×9=180（米）

聯 2：求甲的速度180÷9+20=40（米）

聯 3：求乙的速度40-180÷20=20（米）

每組的四道題所求問題不同，但分析思路呈現出共性，即相遇問題是先求速度和，追及問題是先求速度差，從而引導學生從整體上把握，抓住思路的共通之處進行理解建構，建立起統攝性的數學模型，使學生進一步理解問題中隱藏的數量關系。

2.水平而找，組織橫向聯系的“類”

學生的學習就是激活、利用、調整與提升已有經驗，進行主動建構。學生在現實生活中積累了一定的行程問題經驗，而經驗的有限性與問題的復雜性構成了一對矛盾，如何運用有限的經驗進行無限的超越想象、理解，就需要學生尋找、鏈接相似的生活情境，讓學生將發現的一個個知識“點”連成知識“串”，形成知識“鏈”，構成牢固的知識“網”。

例3.甲、乙兩車分別從相距240千米的兩地出發同向而行，甲車出發2小時后乙車才開出。已知甲車每小時行駛70千米，乙車每小時行駛30千米，問乙車出發幾小時后被甲車追上？

例4.哥弟倆都步行到同一學校上學，他們的速度分別是50米/分與30米/分。一天弟弟先出發5分鐘后，哥哥才出發（速度不變）。問哥哥出發多久后才追上弟弟？

上述兩題分別從“時間”與“地點”兩個維度進行變易，在解決行程問題時，學生需要關注時間、地點、方向與結果四大要素。例3從“同時”變成“不同時”，通過“甲車先出發2小時”這個變易因素，學生可以發現“路程差”，聯想到可能是“乙車先出發2小時”這種不同情況;例4是出發地點由“兩地”變成了“同地”，同地出發由于慢方先行產生路程差，還可以將此題變成“哥弟同時出發，2分鐘后哥發現忘帶資料，原路原速返回，拿東西用去1分鐘”。通過這類題解答、分析與對話，學生自主經歷了追及問題的各種變化，豐富了事實背景與分析經驗，發現思考的路徑都是“路程差÷速度差=追及時間”，聚焦到“不同時”與“地點變化”引起路程差。這樣一來，學生就站在更開闊的視野解讀和分析題目了。

3.順勢而探，組合比較關系的“類”

正所謂：“有比較才有鑒別。”比較是一切理解與思維的基礎。對于相遇問題中有些偏難、易錯的綜合問題，學生可以通過比較達到澄清、明晰，予以突破。基于此，教師可以沿著相遇問題順勢挖掘，安排題組讓學生主動發現異同，形成思路，然后在交流中發現易錯點，分化知識。

例5.甲、乙兩車同時從東西兩地相向開出。甲車每小時行駛42千米，乙車每小時行駛50千米，兩車相遇時甲車比乙車少行駛32千米。問東西兩地相距多少千米？

例6.甲、乙兩車同時從東西兩地相向開出。甲車每小時行駛42千米，乙車每小時行駛50千米，兩車在距中點32千米處相遇。問東西兩地相距多少千米？

例5運用“路程差÷速度差=時間”，先求出時間再求路程，同化到原來的求路程問題思路中。例6是典型的“中點”問題，學生借助線段圖直觀地理解中點問題，在比較中引出題目的關鍵點與注意點。另外，教師可以改變信息為“當乙車行到中點，甲車離中點還有32千米”，讓學生在質疑與對比中理解“中點”起著參照點的作用，在辨別中主動建構，突破自身的思維定勢。

三、高結構：以“序”呈題，完善認知

行程問題具有極強的結構性，如兩地出發的相向行程，隨著運動時間的不斷推進，運動物體會處于不同的運動結果，即未相遇、相遇、交叉而過又相距、快方（或雙方）到達、二次相遇等，這些結果往往又隱藏著解決問題的關鍵信息。在編題時，教師應突出“序”，體現問題的系統性與結構性，讓學生在與問題的對話中發現它們的發生與發展過程，在內隱信息的運用中體會“運動結果”的重要性。

例7.客車和貨車同時從兩地相對開出，客車每小時行70千米，貨車每小時行50千米，經過2小時后，這時兩車還相距45千米。兩地相距多少千米？

例8.客車和貨車同時從相距285千米的兩地相向而行，客車每小時行駛70千米，貨車每小時行駛50千米，行了幾小時后兩車交叉而過又相距75千米？

未相遇? ? 共行駛路程﹤全程

相? 遇? ? 共行駛路程 =全程

交叉而過? 共行駛路程﹥全程

又相距

這組例題在同一素材中凸顯運動結果的區別，將學生的視角聚焦到“結果”要素上，經歷從“未相遇”到“相遇”，再到“交叉而過又相距”，引導學生發現三種不同的運動結果分別是共行駛路程與全程的三種不同的對應關系。

四、善變換：以“一”拓題，引發生長

俗話說：“少則得，多則惑。”教師在拓展時，要用“精”素材，通過變換實現“以一當十”，幫助學生在“異”中思“變”，“變”中求“通”，從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究規律，努力實現內容、策略的多角度延伸，深入學生的學習。

1.變換條件或問題，由單薄到豐厚，探求本質

如在下題的討論中，學生的爭論點在共行路程是2個全程還是3個全程這個疑惑處。學生畫圖分析辨認澄清，再通過改編求全程、速度突出雙方共行3個全程是關鍵。這是較難的二次相遇問題，數據少、算式簡單，但思維含量高。

80×3-50=190（千米）

甲、乙共行? ? 甲

第1次相遇? ?在1個全程中? 80

第2次相遇? ?在3個全程中? 80×3

（比一個全程多50千米）

圍繞“80×3求的是什么”“為什么-50就是全程”這兩個問題，學生需要借助幾何直觀地運用倍比法來理解。此時，學生只是首次感知，建構這種問題不能一蹴而就，教師需要通過改編、尋同、辨異、延伸等途徑達到深刻理解、內化與運用。

2.變換解題策略，由單一到全面，尋求靈動

當面對逆向題且有多個未知數的行程問題時，學生如果選擇代數思維來分析，能實現化逆為順，解題思路易于理解，便于建模。因此，教師要適時引進方程思路，開闊學生的視野，豐富學生的解題策略。

例9.汽車從甲地開往乙地，平均每小時行20千米。到乙地后又以每小時30千米的速度沿原路返回甲地，往返一次共用7.5小時。求甲、乙兩地間的距離。

例10.兩地相距460千米，甲車開出2小時后，乙車與甲車相向開出，經過4小時與甲車相遇。已知甲車每小時比乙車多行駛10千米。求甲車每小時行駛多少千米？

這兩題都是有多個未知數的行程問題，從算術思維角度思考，方法不同，且理解難度較大。那么，教師可以引進代數思維解答，在交流中形成思路，即通常根據時間（或速度）的關系來設未知數，表示出路程后再根據路程的關系列方程，從而讓學生感受代數的便捷，體會方程解決問題的優越性。最后，教師可以通過尋同，讓學生體會到具有怎樣特征的行程問題用方程解答比較合適，做到以題定法，完善策略。

3.變換運動物體，由二元到多元，追求深刻

隨著運動物體的增加，行程問題的綜合性越強，難度越大。因此，在拓展過程中，教師可以通過以兩個運動物體的研究為支點，將視角延伸到多個物體，讓學生將從兩個物體獲得的分析方法、解題策略等遷移運用到多個物體，學會在復雜情境中綜合運用、感悟方法、提升能力。

思維發展是“根”，素養發展是“干”，唯有“根”深，才能“枝繁葉茂”。在行程問題的拓展課教學實踐中，教師應始終緊扣學生的認知基礎，切入學生的經驗系統，高屋建瓴地選擇、調整、組合、補充內容，編織一個具有生命力、處于運動中的思維網絡，引領學生拾級而上，逐步豐厚學生對行程問題的認知儲備，實現知識的結構化和系統化，達成思維的靈活性和深刻性，促進知識、學力、品格等諸多方面的生長，最終促進學生生命個體的成長。同時，教師自身也能夠在實踐和反思中不斷磨煉，實現成長自我。

參考文獻：

[1]許衛兵.簡約數學教學[M].南京：江蘇教育出版社，2011.

[2]G.波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2011.

[3]袁曉萍.學會向學生借智慧[M].杭州：浙江教育出版社，2018.

[4]陳加倉.小學數學拓展課[M].北京：中國人民大學出版社，2017.

（作者單位：浙江省臺州市玉環市環山小學）