基于變步長梯形求積法的Volterra積分方程數值解

陳書坤，寧玉富

（山東青年政治學院 信息工程學院，山東 濟南 250103）

通常，微分方程需要附加初值條件或邊值條件，以形成定解條件；而積分方程本身已包含了初值或邊值信息，導致積分方程的解法和微分方程的解法有較大的不同。特別是在求方程的數值解時，積分方程往往較微分方程更容易、更直接。

1 線性Volterra積分方程

隨著計算機科學與技術的發展，積分方程的數值算法不斷涌現[1-10]。本文主要考慮第二類線性Volterra積分方程，其一般形式為：

方程中，k(x,t)和g(x)為已知函數，f(·)為未知函數。

當被積函數沒有給出表達式，或者被積函數有表達式但原函數不是初等函數時，就必須通過數值積分的辦法將積分方程離散化，用所得到的方程去近似逼近原方程。在區間[a,b]上取若干節點，并將其分為N個小區間，式（1）中的積分項就可以用梯形求積公式來逼近。應用梯形求積公式求解線性Volterra積分方程，后面節點處的誤差要比前面節點處的誤差大。為減少最后節點處的誤差，考慮使N個小區間的長度逐漸減小。本文提出了兩種變步長方法，并將所提方法結合算例進行驗證，與等步長相比，結果精度有一定的提高。

2 變步長的復化梯形求積法

2.1 復化梯形求積法

在區間[a,b]上取若干節點將其分為N個小區間，式（1）中的積分項就可以用梯形求積公式來逼近。假定方程（1）的解f(x)，g(x)，k(x,t)均為[a,b]區間的連續函數，并設節點為：

其中，hi(i=1,2,…,N)是步長，且：

將節點xi,i=0,1,2,…,N依次代入式（1），得：

式中，每個積分項用梯形求積公式可變為：

其中，fi=f(xi),gi=g(xi),kij=k(xi,xj)。

2.2 變步長策略

應用梯形求積公式求解線性Volterra積分方程，后面節點處的誤差要比前面節點處的誤差大。為減少最后節點處的誤差，考慮使N個小區間的長度逐漸減小。為此，提出如下變步長策略。

變步長1：步長h1,h2,…,hN為等差遞減數列，設公差為-d，即：hi－hi－1=d＞0，i=2,3,…,N，令最后步長為hN＝α，則：

將式（6）代入式（3），得：

由式（7）得最后步長，可表示為：

變步長2：步長h1,h2,…,hN為遞減等比數列，設步長hi=ke-λi，其中，常數k,λ＞0。將hi代入式（3）得：

給定參數λ，可由式（9）得k：

3 數值實驗

為了檢驗所提算法的有效性，針對算例進行數值實驗。所有相關計算在PC機（2.4 GHz CPU，4 G內存）上用Matlab7.0編程實現。

用精確解和近似解間的絕對誤差（Absolute Error，AE）評價所提算法的精度，定義如下：

其中，f(xi)為未知函數f(x)在xi的精確解，而(xi)為未知函數f(x)在xi處用所提方法得到的近似解。

等步長和變步長的梯形求積法求解第二類線性Volterra積分方程的近似解，具體如表1所示。近似解的散點圖和精確解的曲線如圖1所示。由數值結果可知，所提變步長方法在后幾個節點近似解精度明顯優于等步長方法在后幾個節點近似解精度，說明所提方法是可行的和有效的。

圖1 算例近似解與精確解的圖形

差誤解近似2(λ=0.11)長精確解長1(α=0.037)變步節點長結果比較差誤步長與變解步近似等表1 算例的步變確解精節點差誤解長等步近似精確解1.000 000 0 1.000 000 0 0.000 000 E+00 0.000 1.000 000 0 1.000 000 0 0.000 000 E+00 0.000 000 0 1.000 000 0 1.000 000 0 0.000 000 E+00 0.995 004 2 0.995 000 0 4.165 280 E-06 0.163 0.986 744 9 0.986 715 5 2.938 695 E-05 0.156 140 5 0.987 834 8 0.987 810 1 2.474 563 E-05 0.980 066 6 0.980 050 0 1.657 780 E-05 0.312 0.951 721 5 0.951 636 8 8.476 344 E-05 0.296 016 6 0.956 506 1 0.956 439 5 6.662 951 E-05 0.955 336 5 0.955 299 5 3.698 910 E-05 0.447 0.901 747 9 0.901 611 2 1.367 657 E-04 0.421 322 3 0.912 549 0 0.912 445 9 1.030 248 E-04 0.921 061 0 0.920 996 0 6.498 900 E-05 0.568 0.842 978 6 0.828 093 0 1.692 944 E-04 0.533 575 4 0.860 994 1 0.860 869 1 1.249 918 E-04 0.877 582 6 0.877 482 6 1.000 120 E-04 0.675 0.780 707 0 0.780 530 3 1.766 693 E-04 0.634 135 6 0.805 584 1 0.805 453 2 1.309 131 E-04 0.825 335 6 0.825 194 3 1.413 460 E-04 0.768 0.719 301 5 0.719 141 0 1.604 802 E-04 0.724 220 8 0.749 015 9 0.748 893 3 1.226 288 E-04 0.764 842 2 0.764 654 0 1.881 410 E-04 0.847 0.662 234 0 0.662 107 3 1.266 997 E-04 0.804 922 3 0.693 167 3 0.693 064 0 1.032 553 E-04 0.696 706 7 0.696 467 3 2.394 270 E-04 0.912 0.612 165 5 0.612 082 2 8.333 322 E-05 0.877 217 4 0.639 293 3 0.639 217 3 7.605 157 E-05 0.621 610 0 0.621 315 8 2.941 220 E-04 0.963 0.571 059 8 0.571 021 2 3.867 891 E-05 0.941 981 8 0.588 186 4 0.588 142 5 4.390 123 E-05 0.540 302 3 0.539 951 3 3.510 550 E-04 1.000 0.540 302 3 0.540 302 2 1.455 695 E-07 1.000 000 0 0.540 302 3 0.540 293 2 9.132 225 E-06節點0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

4 結語

針對變步長梯形求積公式求解線性Volterra積分方程時，后面節點處的誤差要比前面節點處的誤差大的缺點，本文提出了兩種變步長逐漸減小的方法。數值實驗驗證了所提變步長方法在后幾個節點近似解精度明顯優于等步長方法在后幾個節點近似解精度，整體精度有提高，說明所提方法是可行的和有效的。