基于MATLAB的二自由度和四自由度汽車振動模型分析

金琦珺，羅 騫

（武漢理工大學 汽車工程學院，湖北 武漢430070）

1 引言

機械振動對于人類的生產生活來說是一把雙刃劍，既可以服務于人類，又對人類的生產活動有重大危害。機械振動既有有利的一面也有有害的一面。需對振動進行動態分析，通過研究物體偏離平衡位置的位移、速度、加速度等的動態變化來達到目的。在物體的平衡點附近出現的物體的來回運動，有線性和非線性兩種振動模式。由于外界對系統的激勵或作用，使得機械設備產生噪聲及有損于機械結構的動載荷，從而影響設備的工作性能和壽命。尤其是發生共振情況時，可能使機器設備受到損壞，所以急需對機械振動的相關原理進行研究。為了合理減小振動對設備的危害，充分利用振動進行機器運作，對機械振動產生的規律進行了探討和研究。隨著計算機智能系統的快速發展，相關的仿真技術都出現了極大的提升空間，在日常的生產活動中，人們經常用到的相關軟件有adams、abaqus等。目前MATLAB計算機軟件在計算機的仿真方面使用更加廣泛一些，MATLAB是一款擁有強大繪圖能力的工程計算高級計算機語言。

2 建立數學模型

數學模型是將數學的推理邏輯和相關語言相融合在一起的高級數學工程模型，它建立在事物的系統特征和數量關系模型之上，運用被人所可以認知的數字語言，概括總結出某種相關系統的關系模型。從被人所熟悉的角度理解為，數學模型就是數學學習中常見的各種公式定理。又因為數學來源于日常生活中的各種原型事物，所以又可以理解為數學就是一門關于數學模型的數字科學理論。從不被人理解的角度看，數學模型反映的只是一些特定問題和數字結構，數學模型就是一個系統結構間的數字表達。數學模型包括線性和非線性兩種，線性模型即各數學量之間擁有的關系是線性的，可以將各方數字量進行疊加處理，可以理解為輸入量的同時作用力與輸出量的單獨作用力相等。線性模型結構簡單，在生活中的應用更加廣泛。非線性模型所表達是各系統量之間的關系是散亂的，沒有固定的規律可循，也不能直接疊加。然而在某些條件滿足的情況下，非線性與線性之間的分界線就會破裂，可以實現非線性到線性的轉化。具體表現為將非線性模型在允許的領域內展開成泰勒系數，再留下一階項，同時將高階項省略，從而得到線性模型。而本文所要研究的車輛懸掛就屬于非線性的模型數據。要想進行系統的仿真處理，就必須學會如何建立數學模型，因為一切計算機軟件都建立在數學模型的架構基礎上。

二自由度和四自由度的數學模型分別如圖1、圖2所示。圖1中k1為懸架剛度，c為懸架阻尼，k2為輪胎剛度，m2為車身質量，m1為輪胎質量。

圖1二自由度數學模型

圖2四自由度的數學模型

3 二自由度系統振動的模擬

3.1 微分方程的建立

根據牛頓第二定律建立其微分方程如下：

取狀態向量：

取輸入向量u=[q]，輸出向量：

代入系統運動微分方程得其狀態方程：

可以得出A、B、C、D。

3.2 系統仿真模型的建立

利用MATLAB軟件強大的計算分析，可以較好地分析振動情況，解決實際問題，根據所推導出的二自由度系統振動運動學方程，并運用MATLAB編程繪制出二自由度系統受迫振動的運動軌跡曲線，程序如下：

其Simulink圖如圖3所示。計算結果如圖4所示。

通過分析可以看出，運用MATLAB編程求出的二自由度無阻尼振動系統的運動軌跡曲線是符合要求的，從而驗證了該模型仿真結果的正確性以及二自由度無阻尼振動系統的振動規律的客觀性。

圖3 Simulink圖

圖4計算結果

4 四自由度系統的仿真

圖2中，m1、m2分別為前、后車輪的簧下質量，kg；m3為車體（懸掛）質量；k11、k12為前/后輪胎等效剛度，N/m；k21、k22為前/后懸架彈簧剛度，N/m；c1、c2為前/后減震器的阻尼系數，Ns/m；J為簧載質量繞其質心的轉動慣量；q為車體繞其質心的旋轉角度；z1、z2為前/后車輪軸的位移；z3為車體質心處的位移；z'1、z'2為車體在前/后懸架處的位移；u1、u2為主動控制力；r為路面激勵。其中，z1=z3-qa；z2=z3+qb所以z1=z3-qa；z2=z3-qb。

動學方程：m1z1=k21（z'1-z1）+c1（z'1-z1）-k11（z1-r1）-u1=[k21（z3-z1-qa）+c1（z3-z1-qa）-k11（z1-r1）-u1]，m2z2=k21（z'2-z2）+c2（z'2-z2）-k12（z2-r2）-u2=[k22（z3-z2+qb）+c2（z3-z2-qb）-k12（z2-r2）-u2]，m3z3=k21（z'1-z1）-c1（z'1-z1）-k22(z'2-z2)-c2（z'2-z2）+u1+u2=k21（z3-z1-qa）-c1（z3-z1-qa）-k22（z3-z2+qb）-c2（z3-z2+qb）+u1+u2。

其仿真如圖5所示。路面模型的建立如圖6所示。仿真結果的分析如圖7所示。

4.1 懸架阻尼系數C的影響

在保持一定量數據不變的情況下，變化前懸架的相關阻尼數據，C2f系統仿真效果如圖7所示。因為車身存在固定的頻率1～2 Hz，所以可以得到如圖7所示的低頻段考慮，在1～2 Hz的周圍隨著阻尼系數的不斷增長，車身的整體質心位移角度不會出現太大的變化。然而從整體的車身結構來看，在適當的位置增加懸掛系統可以有效增強車身的整體穩定系數。同樣，在其他條件不出現改變的情況下，改變后懸架系統的阻尼數據C2R，結果如圖7所示。由圖7可以得知，通過增加后懸架系統的阻尼數據，在1～2 Hz的周圍，車身的整體質心沒有較大變化，而仰角出現了較大的改變，在阻尼數據繼續增加的情況下，車身質心振幅的增大帶來的是仰角趨于平穩，因此可以發現，阻尼數據的縮小對車身振幅的改變有較大作用。因此，通過適當縮小后懸架系統的阻尼數據可以增加汽車整體的平穩性。

圖5仿真情況

圖6路面模型的建立

圖7仿真結果的分析

4.2 懸架剛度系數K的影響

由數據模擬結果可以看出，在加大前懸架的剛度數據的情況下，在辨別的1～2 Hz周圍，車身的整體質心位移不會出現太大的變化，而仰角的幅度會有所增加，同時在2～3 Hz的周圍，車身的質心和仰角會隨著數據的變化而增大，因此，在設計車身時要注意適當調整前懸掛架，進行適當縮小。

同時考慮后懸掛架的相關數據模型，在1～2 Hz周圍可以觀察到車身的質心有較大的偏移，而仰角卻縮小。因此，從駕駛安全的角度考慮，需要適當擴大后懸掛的剛度數據。

4.3 輪胎剛度系數K1的影響

同時要關注輪胎的剛度數據，相關的模擬結果如圖4所示。由相關的數據結果表明，輪胎給車身質心變化帶來的影響非常小，輪胎的剛度數據的縮小會使懸掛架的變化增大，同時仰角縮小，但此時帶來的是輪胎載重數據的縮小，所以在對前輪胎進行修正時，不要充氣太足。

在相關數據沒有改變的情況下，通過調整后輪胎的剛度數據來進行實驗，如圖7所展現，在1～2 Hz周圍，當Kr1增加時，車身的質心垂直的加速度數值變化非常小，同時仰角度數會有一定減小，然而這對于車身振動性質的改變很有幫助。

通過分析不難發現，四自由度的MATLAB仿真模型符合要求，從而驗證了該模型仿真結果的正確性以及四自由度無阻尼振動系統的振動規律的客觀性。可以得出：增大前懸架的阻尼數據，同時縮小后懸架的阻尼數據可以讓汽車的整體平穩性得到提高；在前懸架系統的設計制造中，可以對其剛度數據進行適量縮小，同時可以通過提高后懸架系統的剛度來增加汽車的安全性；前輪胎的剛度數據變化對于車身的影響非常小，所以在車身整體的調節過程中，可以通過對后胎的調整來增加駕駛員的舒適性。

5 結論

通過對MATLAB編程工具的有效運用，可以充分模擬機械振動所產生的各項數據模型，讓整體的數據模型架構過程都得到有效提升，大大節省了時間，提高了效率。

同時運用MATLAB軟件驗證了該模型的正確性和客觀性，通過MATLAB仿真軟件的聯合仿真進行分析，得到仿真結果：二自由度無阻尼振動系統在激振力作用下受迫振動隨著固有頻率的改變，在一定條件下產生共振。因此，為了合理改善和利用機械振動，對實際工程中的機器設備的研究具有參考價值。